<< Предыдущая

стр. 37
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Переписывая формулы (3.3)–(3.6) в переменных va , ?(v), имеем следующие
классы точных решений системы (1.38):

?(v) = ca va + c0 (1 + va )1/2 ;
2
1)
?(v) = Rn (? )vn + ? v3 ? (1 + va )1/2 Q(? ),
2
(3.7)
2)
? ?
0 = Rn (? )vn + v3 ? (1 + va )1/2 Q(? ),
2


где cµ ? C1 — произвольные константы, Rn (? ), Q(? ) — произвольные дважды
непрерывно-дифференцируемые функции, удовлетворяющие соотношению (3.4).
Пусть теперь имеет место случай 2). Тогда система ДУЧП (2.3) после пре-
образования Эйлера (2.15) принимает вид (2.16). Общее решение уравнений (2.16)
задается формулой (2.17), где R(y1 , y2 ), Q(y1 , y2 ) — произвольные решения одной
из систем ДУЧП (2.20), (2.21) при ? = 0, такие, что det iQyn ym ? y3 Ryn ym = 0.
В силу последнего условия величины 1 + Ryn , 1 + Q2n одновременно не равны
2
y
нулю и, следовательно, обе системы ДУЧП (2.20), (2.21) при ? = 0 эквивалентны
системе трех уравнений вида

(1 + Q2n )(1 + Rym ) ? (Ryn Qyn )2 = 0,
2
1) y
(1 + Q2n + Ryn )?Q ? (Ryn Rym + Qyn Qym )Qyn ym = 0,
2
(3.8)
2) y
(1 + Q2n + Ryn )?R ? (Ryn Rym + Qyn Qym )Ryn ym = 0.
2
3) y
150 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Используя соотношение (2.22), нетрудно показать, что третье уравнение из
(3.8) является следствием первых двух. Система ДУЧП
(1 + Q2n )(1 + Rym ) ? (Ryn Qyn )2 = 0,
2
1) y
(3.9)
(1 + Q2n + Ryn )?Q ? (Ryn Rym + Qyn Qym )Qyn ym = 0
2
2) y

согласно теоремы Коши–Ковалевской [10, 18] находится в инволюции, и ее общее
решение запиcывается через три произвольные функции от одной переменной.
Возвращаясь согласно формул (2.15), (2.2) к переменным va , ?(v), получаем
следующий класс решений системы (1.38) (при ? = ? = 0):
?(v) = yn vn + R(y1 , y2 )v3 ? i(1 + va )1/2 Q(y1 , y2 ),
2
(3.10)
где yn = yn (v) определяются из соотношений
vn + v3 Ryn ? i(1 + va )1/2 Qyn = 0,
2
(3.11)
a R, Q ? C 2 (C2 , C1 ) — произвольные решения системы ДУЧП (3.9), удовлетворя-
ющие условию (2.19).
Таким образом, в случае, когда ранг матрицы uµ? равен трем, общее реше-
ние уравнений Даламбера–Гамильтона (1.2) с точностью до P (1, 3)-сопряженности
задается неявными формулами (3.1), (3.7), (3.10).
II. Рассмотрим случай, когда rank uµ? = 2. Согласно результатов §§ 1, 2,
система (1.2) совместна, если и только если F (u) задается одной из формул
F (u) = N (u + c)?1 , N = 0, 1, 2,
причем ее общее решение имеет вид
u + c = x0 (1 + vn + w2 )1/2 + xn vn + x3 w + ?,
2
(3.12)
где vn = vn (x) — гладкие функции, определяемые соотношениями
xn + x3 wvn + x0 (vn + wwvn )(1 + vn + w2 )?1/2 + ?vn = 0,
2
(3.13)
n = 1, 2,
а скалярные функции w(v1 , v2 ), ?(v1 , v2 ) удовлетворяют одной из систем ДУЧП
(1.40)–(1.42).
1. F (u) = 0. В этом случае функции w(v1 , v2 ), ?(v1 v2 ) удовлетворяют системе
уравнений (1.40). Эта система согласно теоремы Коши–Ковалевской [10, 18] на-
ходится в инволюции, и ее общее решение выражается через три произвольные
функции одной переменной.
2. F (u) = (u + c)?1 . При таком условии функции w(v1 , v2 ), ?(v1 v2 ) удовле-
творяют переопределенной системе ДУЧП (1.41). Проинтегрируем сначала первые
два уравнения этой системы, совершив в них следующую замену независимых
переменных:
(3.14)
v1 = R cos ?, v2 = R sin ?.
В результате имеем
1 + wR + R?2 w? + (RwR ? w)2 = c,
2 2
1)
(3.15)
(R?1 wR? ? R?2 w? )2 + wRR (R?2 w?? + R?1 wR ) = 0,
2)
где wR = ?w/?R, w? = ?w/?? и т.д.
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 151

Дописывая к системе (3.15) два ДУЧП, который получаются из 1) диффе-
ренцированием по переменным R, ?, приходим к системе четырех уравнений на
w = w(R, ?). Исключая из этой системы функции w? , w?R , w?? , имеем
{R[R(RwR ? w) + wR ]wRR }2 = 0. (3.16)
Если выполнено равенство
R(RwR ? w) + wR = 0,
то w = ?(?)(1 + R2 )1/2 , где ?(?) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция. Под-
становка полученного соотношения в первое уравнение системы (3.15) дает такое
условие ?2 = ?1. Но тогда 1 + vn + w2 ? 1 + R2 + ?2 (1 + R2 ) = 0, что невозможно.
2

Следовательно, ДУЧП (3.16) эквивалентно уравнению wRR = 0, общее решение
которого дается формулой
(3.17)
w = ?1 R + ?2 ,
где ?n = ?n (?) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции.
Подставляя (3.17) в уравнение 1) из (3.15) и расщепляя полученное соотноше-
ние по степеням R, приходим к системе ОДУ на ?n (?)
? ?
1 + ?2 + ?2 = 0, ?2 = 0.
n 1

Общее решение выписанной системы дается одной из следующих формул:
?1 = i(1 + c2 )1/2 R sin(? + c1 ), ?2 = c2 ;
2
(3.18)
?1 = c1 exp(±i?), ?2 = ±i.
Подстановка выражений (3.18) в (3.17) дает общее решение система ДУЧП
(3.15), которое в исходных переменных vn может быть представлено в виде
(3.19а)
w = ? n vn + ? 3 ,
где ?n , ?3 — произвольные комплексные постоянные, удовлетворяющие соотноше-
нию
?2 + ?2 + 1 = 0. (3.19б)
n 3

Подставляя (3.19а) в третье и четвертое уравнения системы (1.41), приходим к
следующей системе ДУЧП на ?(v1 , v2 ):
1 + vn + (?n vn + ?3 )2 det ?vn vm =
2
1)
= (vn ?vn ? ?)[(?3 vn + ?n )(?3 vm + ?m )?vn vm ], (3.20)
2) ?3 [(?3 vn + ?n )(?3 vm + ?m )?vn vm ] = 0.
Если справедливо равенство
(?3 vn + ?n )(?3 vm + ?m )?vn vm = 0,
то, в силу условия 1 + vn + w2 = 0, из первого уравнения системы (3.20) вытекает,
2

что
det ?vn vm = 0.
152 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Легко видеть, что при этом определитель (1.39) равен нулю. Пришли к проти-
воречию. Следовательно, ?3 = 0, и система (3.20) сводится к одному уравнению
1 + vn + (?n vn )2 det ?vn vm = (vn ?vn ? ?)?n ?m ?vn vm .
2
(3.21)
Далее необходимо отдельно рассмотреть два случая
а) det ?vn vm = 0,
б) det ?vn vm = 0.
В случае а) уравнение (3.21) переписывается в виде
1) det ?vn vm = 0,
(3.22)
vn ?vn ? ? = 0.
2)
Общее решение уравнения 2) из (3.22) задается формулой
?1
? = (vn )1/2 ?(v1 v2 ),
2
(3.23)
где ? ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция.
Непосредственная проверка показывает, что функция (3.23) тождественно
удовлетворяет первому уравнению системы (3.22). Следовательно, формула
(3.23) определяет общее решение системы ДУЧП (3.22).
Обратимся теперь к случаю б). Используя преобразования из группы O(2),
уравнение (3.21) с дополнительным условием (3.19б) можно привести к виду
(1 + v2 ) det ?vn vm = (? ? vn ?vn )?v1 v1 .
2
(3.24)
Совершим в (3.24) преобразование Лежандра [11, 12]
vn = Hyn , ?vn = yn , ? = yn Hyn ? H, Hy1 y1 = ? ?1 ?v2 v2 ,
(3.25)
Hy2 y2 = ? ?1 ?v1 v1 , Hy1 y2 = ?? ?1 ?v1 v2 , ? = det ?vn vm ,
откуда
2
(3.26)
1 + Hy2 + HHy2 y2 = 0.
Уравнение (3.26) интегрируется, его общее решение имеет вид
1/2
H = ?y2 + ?1 (y1 )y2 + ?2 (y1 )
2
,
где ?n ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции.
Возвращаясь согласно формул (3.25) к переменным vn , ?(v), получаем общее
решение ДУЧП (3.24)
? = vn yn ? (?1 y2 + ?2 ? y2 )1/2 ,
2
(3.27)
где yn = yn (v1 v2 ) — гладкие функции, определяемые из соотношений
1?
v1 ? (?1 y2 + ?2 )(?1 y2 + ?2 ? y2 )?1/2 = 0,
? 2
2
1
v2 + (2y2 ? ?1 )(?1 y2 + ?2 ? y2 )?1/2 = 0,
2
2
?n (y1 ) ? C 2 (C1 , C1 ) — производные функции.
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 153

3. F (u) = 2(u + c)?1 . В этом случае функции w(v1 v2 ), ?(v1 , v2 ) определяются
из системы ДУЧП (2.42) при ? = 0. Последняя с помощью локальной замены
переменных (2.31) приводится к виду (2.32) при ? = 0.
Далее необходимо отдельно рассмотреть такие возможности

a) Pz1 z1 Gz1 z1 = 0;
б) Pz1 z1 = Gz1 z1 = 0;
в) Pz1 z1 = 0, Gz1 z1 = 0;
г) Pz1 z1 = 0, Gz1 z1 = 0.

Согласно результатов § 2, в случае а) система (2.32) перепишется в виде
? ? ?
(1 + R2 )(1 ? G2 ) ? (z1 + z2 R)2 + (1 ? zn )(RGz1 ? R)2 +
2
1)
? ?
+ 2G(z1 R ? z2 )(RGz ? R) = 0,
1

(3.28)
2) Gz2 = R(Gz1 ),
3) Pz2 = Q(Pz1 ),
? ?
4) R(Gz1 ) = Q(Pz1 ),

?
причем Q = 0.
Проинтегрируем уравнения 1), 2) с помощью преобразования Эйлера (2.49),
где вместо функции P (z) следует подставить G(z). В новых переменных yn , H(y)
уравнение 2) принимает вид

Hy2 = ?R(y1 ),

откуда

H = ?R(y1 )y2 + Z(y1 ). (3.29)

В (3.29) Z ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция.
Переписывая первое уравнение системы (3.28) в переменных yn , H(y) и под-
ставляя в полученное соотношение формулу (3.29), имеем
? ? ? ? ? ?
1 + R2 ? Z 2 + (y1 R ? R)2 ? (y1 Z ? Z)2 ? (RZ ? ZR)2 = 0. (3.30)

Возвращаясь к переменным zn , G(z), получаем общее решение уравнений 1),
2) системы ДУЧП (3.28)

G = y1 z1 + R(y1 )z2 ? z(y1 ), (3.31)

где y1 = y1 (z1 , z2 ) — гладкая функция, определяемая неявным соотношением
? ?
z1 + R(y1 )z2 ? Z(y1 ) = 0, (3.32)

а R, Q ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции, связанные равенством (3.30). Да-
? ? ?
лее, поскольку Q = 0, то функция Q = Q(Pz1 ) имеет обратную, которую обозначим
символом A. С учетом этого факта уравнения 3), 4) переписываются в виде
? ? (3.33)
Pz1 = A(R(Gz1 )), Pz2 = Q(Pz1 ) = Q(A(R(Gz1 ))).
154 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Необходимым и достаточным условием совместности переопределенной систе-

<< Предыдущая

стр. 37
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>