<< Предыдущая

стр. 38
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

мы ДУЧП (3.33) является выполнение равенства

(3.34)
?Pz1 /?z2 = ?Pz2 /?z1 .

Так как, в силу уравнения 2) из (3.28), имеют место цепочки равенств
?? ? ?? ? ?
?Pz1 /?z2 = A(R(Gz1 ))R(Gz1 )Gz1 z2 = A(R(Gz1 ))R(Gz1 )R(Gz1 )Gz1 z1 ,
? ? ?? ?
?Pz /?z1 = Q(A(R(Gz ))) A(R(Gz ))R(Gz )Gz z ,
2 1 1 1 11

||
?
R(Gz1 )

то условие (3.34) выполнено, т.е. система ДУЧП (3.33) находится в инволюции.
Ее общее решение может быть представлено в виде

? (3.35)
P= A(R(Gz1 ))dz1 .

Таким образом, формулы (3.30)–(3.33), (3.35) задают общее решение системы
ДУЧП (2.32) при ? = 0, Pz1 z1 Gz1 z1 = 0.
Пусть имеет место случай б), т.е. Pz1 z1 = Gz1 z1 = 0. Тогда функции P (z), G(z)
имеют вид (2.42), причем f = f (z2 ), g = g(z2 ) удовлетворяют системе ОДУ (2.43)
при ? = 0. Эта система имеет два класса решений:
1) g = c1 z2 + c2 , f = c3 z2 + c4 ;
g = (1 + ?2 )1/2 (1 ? z2 )1/2 .
2
2) 2

Здесь f ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция, c1 , . . . , c4 , ?2 — произвольные
комплексные постоянные.
Подстановка полученных выражений в формулы (2.42) дает общее решение
системы ДУЧП (2.32) при ? = 0, Gz1 z1 = Pz1 z1 = 0, которое задается одним из
следующих выражений:
1) G = cn zn + c3 , P = c3+n zn + c6 ;
(3.36)
G = (1 + c2 )1/2 (1 ? z2 )1/2 + c1 z1 ,
2
2) P = c2 z1 + f (z2 ),
1

где c1 , . . . , c6 ? C1 — произвольные константы.
Рассмотрим теперь случаи в). Как было установлено в предыдущем параграфе
функция P (z) определяется таким соотношением:

ca ? C1 . (3.37)
P = cn zn + c3 ,

При этом уравнения 2), 4), 5) системы (2.32) удовлетворяются тождественно, а
общее решение системы ДУЧП 1), 3) задается формулами (3.30)–(3.32).
Нам осталось проинтегрировать систему (2.32) при Gz1 z1 = 0, Pz1 z1 = 0. В этом
случае функция G(z) с точностью до P (1, 3)-сопряженности задается формулами
(2.47а,б). Для того, чтобы получить выражение для функции P (z), необходимо
переписать формулу (2.50) в переменных zn , P (z) согласно (2.49).
В результате имеем

P = y1 z1 + Q(y1 )z2 ? Z(y1 ), (3.38)
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 155

где y1 = y1 (z1 , z2 ) — гладкая функция, определяемая из соотношения
?
z1 + Q(y1 )z2 ? z(y1 ) = 0,
?
а Q, Z ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции, удовлетворяющие равенству (2.52)
(если G(z) задается формулой (2.47а)) либо равенству
? ? ? ? ?
(1 + Q2 ) 1 ? (?Z + ?0 )2 ? Z 2 + ?2 (Q ? i)2 (1 ? Z 2 ) +
(3.39)
? ? ??
+ 2?(?Z + ?0 )(Q ? i)QZ = 0
(если G(z) задается формулой (2.47б)).
Таким образом, мы доказали, что общее решение системы ДУЧП (2.32) при
? = 0, задается формулами ((3.31), (3.35)), (3.36), ((3.37), (3.31)), ((2.47а,б),
(3.38)). Для того, чтобы получить общее решение системы (1.42), следует в этих
выражениях совершить замену переменных, обратную к (2.31),
vn = zn (1 ? zm ? G2 )?1/2 ,
2

w(v) = G(1 ? zm ? G2 )?1/2 ,
2 (3.40)
?(v) = P (1 ? zm ? G2 )?1/2 .
2


Мы не приводим соответствующие формулы из-за их громоздкости.
III. Рассмотрим случай, когда rank uµ? = 1. Согласно результатов §§ 1, 2
система (1.2) совместна, если и только если F (u) задается одной из формул
F (u) = N (u + c)?1 , N = 0, 1,
причем ее общее решение, определяемое с точностью до P (1, 3)-сопряженности,
имеет вид
u(x) = x0 (1 + wa (v))1/2 + xa wa (v) + ?(v),
2
(3.41)
где v = v(x) — гладкая функция, которая находится из соотношения
x0 wa wa (1 + wb )?1/2 + xa wa + ? = 0,
?
2
(3.42)
? ?
а ? = ?(v), wa = wa (v) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции, удовлетворяющие
одной из систем ОДУ (1.43), (1.44).
1. F (u) = 0. Вводя сферическую систему координат
w1 = ?(v) cos ?(v) cos ?(v),
w2 = ?(v) sin ?(v) cos ?(v),
w3 = ?(v) sin ?(v),
переписываем систему (1.43) в виде
?2 cos2 ? + ?2 = ?(v 2 ? 1)?2 ,
?
?
(3.43)
? = (v 2 ? 1)1/2 .
Следовательно, общее решение уравнений (1.43) задается формулами
w1 = (v 2 ? 1)1/2 cos ? cos ?, w2 = (v 2 ? 1)1/2 sin ? cos ?,
(3.43 )
w3 = (v 2 ? 1)1/2 sin ?,
где ?(v), ?(v) — произвольные гладкие функции, связанные соотношением (3.43).
156 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

2. F (u) = (u+c)?1 . Умножая первое уравнение системы (1.44) на wa и суммируя
?
полученное равенство по a, приходим к ОДУ на функцию f (v) ? wa (v) ? 1
2
?
f? + 2vf 2 = 0,
откуда f (v) = (v 2 + c0 )?1 , c0 ? C1 . C учетом этого система (1.44) перепишется
в виде
wa = ?(v 2 + c0 )?1 (v wa ? wa ), ? = ?(v 2 + c0 )?1 (v ? ? ?),
? ? (3.44а)
? ?

wa = (v 2 + c0 )?1 , wa = v 2 ? 1,
?2 2
(3.44б)

Согласно [19], общее решение ОДУ
? ?
(v 2 + c0 )h(v) + v h(v) ? h(v) = 0,
задается следующими формулами:
h = c1 v + c2 (v 2 + c2 )1/2 , cn ? C1 ,
1) c0 = 0, 0
?1
h = c1 v + c2 v , cn ? C1 ,
2) c0 = 0,
Пусть вначале c0 = 0, тогда общее решение уравнений (3.44а) имеет вид
wa (v) = ca v + da (v 2 + c2 )1/2 , ?(v) = ?1 v + ?2 (v 2 + c2 )1/2 , (3.45)
0 0

где ca , da , ?n ? C1 — произвольные постоянные. Подставляя (3.45) в соотношения
(3.44б) и расщепляя полученные равенства по степеням величины v, имеем
c2 = 1 + c?2 .
c2 + d2 = 1, (3.46)
ca da = 0, a a a 0

Используя преобразования из группы вращений 0(3), векторы c, d, удовлетво-
ряющие (3.46), можно привести к виду

c = c?1 (1 + c2 )1/2 (1, 0, 0), d = ic?1 (0, 1, 0). (3.47)
a
0 0

Подставляя формулы (3.45), (3.47) в (3.41), (3.42), имеем
u(x) = (x0 + ?1 )v + c?1 (1 + c2 )1/2 vx1 + i(v 2 + c2 )1/2 (x2 ? i?2 c0 ) ,
0 0
0
x0 + ?1 + c?1 (1 + c2 )1/2 x1 + iv(v 2 + c2 )?1/2 (x2 ? i?2 c0 ) = 0.
0 0
0

С помощью сдвигов по переменным x0 , x2 это решение приводится к виду

u(x) = vx0 + c?1 (1 + c2 )1/2 vx1 + i(v 2 + c2 )1/2 x2 , (3.48)
0 0
0

где v = v(x) — гладкая функция, определяемая соотношением

x0 + c?1 (1 + c2 )1/2 x1 + iv(v 2 + c2 )?1/2 x2 = 0.
0 0
0

Обратимся теперь к случаю c0 = 0. При таком условии общее решение системы
ОДУ (3.44а) имеет вид
wa = ca v + da v ?1 , ? = ?1 v + ?2 v ?1 , (3.49)
где ca , da , ?n ? C1 — произвольные постоянные.
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 157

Подстановка полученных выражений в (3.44б) дает систему алгебраических
уравнений на ca , da
1
ca da = ? ,
c2 = 1, d2 = 0.
a a
2
Общее решение этих соотношений о точностью до O(3)-сопряженности можно
представить в виде
1
d = ? (1, i, 0). (3.50)
c = (1, 0, 0),
2
Подставляя формулы (3.49), (3.50) в (3.41), (3.42), получаем следующий класс
решений системы ДУЧП (1.2):
1
u(x) = (x0 + x1 + ?1 )v ? v ?1 (x1 + ix2 ? 2?2 ),
2
1
x0 + x1 + ?1 + v ?2 (x1 + ix2 ? 2?2 ) = 0.
2
С помощью сдвигов по переменным x0 , x2 это решение приводится к виду
1
u(x) = (x0 + x1 )v ? v ?1 (x1 + ix2 ), (3.51)
2
где v = v(x) — гладкая функция, определяемая из соотношения
1
x0 + x1 + (x1 + ix2 )v ?2 = 0.
2
Таким образом, при условии rank uµ? = 1 общее решение системы ДУЧП
(1.2) с точностью до P (1, 3)-сопряженности задается формулами (3.43 ), (3.48),
(3.51).
Нами получено полное описание решений системы ДУЧП Даламбера–Гамиль-
тона (1.2). В ряде случаев удается разрешить неявные соотношения, с помощью
которых задаются решения, относительно функции u(x) и тем самым построить
решение уравнений (1.2) в явном виде.
В качестве примера рассмотрим решение системы ДУЧП (1.2), определяемое
неявными формулами (3.1), (3.2), (3.7). Подставляя выражение ? = ca va + c0 (1 +
vb )1/2 в равенства (3.1), (3.2), имеем
2


xa + x0 (1 + vb )?1/2 = 0,
u + c = x(1 + va )1/2 + xa va ,
2 2
(3.52)
? ? ? ?
где xµ = xµ + cµ , µ = 0, 3.
?
Разрешая последние три уравнения этой системы относительно функций va =
va (x), имеем
va (x) = ??a (?µ xµ )?1/2 ,
x x? a = 1, 3.
Подставляя полученный результат в первое уравнение из (3.52), приходим к
точному решению системы ДУЧП Даламбера–Гамильтона
1/2
u + c = (?µ xµ )1/2 ? [(xµ + cµ )(xµ + cµ )]
x? ,
которое удовлетворяет уравнениям (1.2) при F (u) = 3(u + c)?1 .
158 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Ниже приводятся некоторые другие классы точных решений системы уравне-
ний Даламбера–Гамильтона, полученные аналогичным образом,

F (u) = 3(u + c)?1 :
(u + c)2 ? xµ xµ = (?0 + x3 )w (?0 + x3 )(?1 + i?2 )?1 ?
?? x ? x ?x x
(?0 +?3 )(?1 +i?2 )?1
xxx x
? (?1 + i?2 )
x x z w(z)dz,
?
2 1/2
2 1/2
? 1 + i (u + c) +
x2 x2 2
?1 + ?2 x3
? =

2 1/2
2 1/2

<< Предыдущая

стр. 38
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>