<< Предыдущая

стр. 39
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? 1 + i (u + c) + ? x0 ?
x2 x2 2
= x1 cos
? ?1 + ?2 x3
? ?

2 1/2
2 1/2
? x2 sin ? 1 + i (u + c) + ? x0
x2 x2 2
? ?1 + ?2 x3
? ? ;


F (u) = 2(u + c)?1 :
(u + c)2 = x0 ? x2 ? x2 , ?(u + c)2 = x2 + x2 + x2 ;
? ?1 ?2 ?1 ?2 ?3

F (u) = (u + c)?1 :
(u + c)2 = [?0 + w1 (?1 + i?2 )]2 ? [?3 + w2 (?1 + i?2 )]2 ,
x x x x x x
?(u + c)2 = [?1 + w1 (?0 + x3 )]2 + [?2 + w2 (?0 + x3 )]2 ,
x x ? x x ?

F (u) = 0 :
i(u + c) = x1 cos w1 (?0 + x3 ) + x2 sin w1 (?0 + x3 ) + w2 (?0 + x3 ),
? x ? ? x ? x ?
x1 sin w(u + c + x0 ) + x2 cos w(u + c + x0 ) + i?3 = 0,
? ? ? ? x
x0 + x1 sin w1 (i(u + c) + x3 )+ x2 cos w1 (i(u + c)+ x3 )+ w2 (i(u + c) + x3 ) = 0.
? ? ? ? ? ?

Здесь xµ = xµ + cµ , µ = 0, 3; cµ ? C1 — произвольные постоянные; w, w1 , w2 ?
?
C (C , C1 ) — произвольные функции.
2 1

В заключение кратко остановимся на геометрических свойствах решений си-
стему ДУЧП Даламбера–Гамильтона (1.2). Для этого нам понадобятся следую-
щие обозначения: S(u) = {x ? R(1, 3) : u(x) = 0} — поверхность уровня решения
u = u(x) системы (1.2); U = gµ? uxµ x? 3 µ,?=0 ; ?µ = ?µ (x), µ = 0, 3 — собственное
значение матрицы U .
Поскольку определитель матрицы U равен нулю, то одно из ее собственных
значений (скажем ?0 ) равно нулю. Исходя из общей теории поверхностей, можно
сказать, что величины ?1 , ?2 , ?3 — это главные кривизны поверхности S(u) (см.,
например, [7]).
Замечательным является то обстоятельство, что в рассматриваемом случае эти
кривизны вычисляются в явном виде. Согласно [1, 2], на решениях системы (1.2)
тождественно выполнены следующие равенства:

Tr U a = (?1)a?1 [(a ? 1)!]?1 F (a?1) (u), (3.53)
a = 1, 3,

где F (r) ? dr F/dur .
Совместность и решения нелинейных уравнений Даламбера и Гамильтона 159

Подставляя в (3.53) выражение F (u) = N (u + c)?1 , имеем

Tr U a = N (u + c)?a , (3.54)
a = (1, 3).

С другой стороны, из общей теории матриц известно, что собственные значения
матрицы удовлетворяют следующим соотношениям:

?a + ?a + ?a + ?a = Tr U a , (3.55)
a = 1, 3.
0 1 2 3

Из формул (3.54), (3.55) заключаем, что главные кривизны ?a поверхности
S(u), удовлетворяют системе нелинейных алгебраических уравнений

?a + ?a + ?a = N c?a , a = 1, 3.
1 2 3

общее решение которых задается формулами

1) N = 0, ?1 = ?2 = ?3 = 0;
= c?1 , ?2 = ?3 = 0;
2) N = 1, ?1
(3.56)
= ?2 = c?1 , ?3 = 0;
3) N = 2, ?1
= ?2 = ?3 = c?1 .
4) N = 3, ?1
Таким образом, главные кривизны поверхностей уровня решений системы ДУ-
ЧП Даламбера–Гамильтона постоянны и задаются формулами (3.56).
Следовательно, с геометрической точки зрения имеется четыре неэквивален-
тных типа решений системы (1.2).

1. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of nonlinear d’Alembert and Hamilton
equations, Preprint N 468, Minneapolis, Institute for Mathematics and its Applications, 1988, 5 p.
2. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of the nonlinear d’Alembert–Hamilton
system, Phys. Lett. A, 1989, 141, № 3-4, 113–115.
3. Бейтмен Г., Математическая теория распространения электромагнитных волн, М., Физматгиз,
1958, 179 с.
4. Картан Э., Семейства изопараметрических поверхностей в пространствах постоянной кривизны,
Собр. соч., т. 2, 1431–1445.
5. Соболев С.Л., Функционально-инвариантные решения волнового уравнения, Труды физико-
математического ин-та им. В.А. Стеклова, 1934, 5, 259–264.
6. Collins С.В., Complex potential equations. I. A tecknique for solution, Proc. Camb. Ph. Soc., 1976,
80, № 1, 165–171.
7. Cieciura G., Grundland A., A certain class of solutions of the nonlinear wave equation, Math. Phys.,
1984, 25, № 12, 3460–3469.
8. Фущич В.И., Жданов Р.З., Нелинейные спинорные уравнения: симметрия и точные решения,
Киев, Наук., думка, 1991, 250 с.
9. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On the reduction and some new exact solutions of the non-linear
Dirac and Dirac–Klein–Gordon equations, J. Phys. A: Math. Gеn., 1988, 21, № 1, L5–L9.
10. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, в 2 т., М.–Л., ГИТТЛ, 1951, 476 с.,
544 с.
11. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, New York, Acad. Press, 1965,
V. 1, 511 p., 1972, V. 2, 301 p.
12. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт № 82.33, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 53 c.
160 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

13. Жданов Р.З., О линеаризации и общем решении двухмерных нелинейных уравнений Дирака–
Гейзенберга и Максвелла–Дирака, Мат. физика и нелин. мех., 1989, вып. II, 43–46.
?
14. Lie S., Vorlesungen ubег continuerliche Gruppen, Leipzig, Teubner, 1893, 805 s.
15. Жданов Р.З., Об общем решении многомерного уравнения Монжа–Ампера, в сб. Симметрийный
анализ и решения уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1988,
13–16.
16. Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, М., Наука, 1976,
285 с.
17. Фущич В.И., Тычинин В.А., Жданов Р.З., Нелокальная линеаризация и точные решения не-
которых уравнений Монжа–Ампера, Дирака, Препринт № 85.34, Киев, Ин-т математики АН
УССР, 1985, 27 с.
18. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н., Метод дифференциальных связей и его приложения
в газовой динамике, Новосибирск, 1984, 270 с.
19. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976,
576 с.
20. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, М., Наука, 1967, 575 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 161–167.

Качественный анализ семейств
ограниченных решений нелинейного
трехмерного уравнения Шредингера
В.И. ФУЩИЧ, И.О. ПАРАСЮК
Известно, что нелинейное трехмерное уравнение Шредингера со степенной нелиней-
ностью допускает редукцию к набору обыкновенных дифференциальных уравнений.
В данной работе исследована задача о существовании и асимптотическом поведе-
нии ограниченных на полуоси решений этих уравнений. На основе такого подхода
описаны семейства pешений уравнения Шредингера. обладающих разнообразными
свойствами: квазипериодические, сферически симметрические, убывающие на беско-
нечности по пространственным переменным, неограниченно растущие во времени.


В [1, 2] проведена редукция трехмерного нелинейного уравнения Шредингера
? ? ??
3
?2
?i ? + 1 ? k ??
2 + ?|?| ? = 0,
?t 2m j=1 ?xj (1)
? : Rt ? Rx > C, ? ? R,
3
m > 0, k = 4/3,
к набору обыкновенных дифференциальных уравнений вида

a2 (? )?(? ) + a1 (? )z(? ) + a0 (? )|z(? )|k z(? ) = 0, (2)
z ?

где z : R? > C, an (? ) = Pn (? )/Qn (? ), Pn и Qn — полиномы второй степени,
n = 0, 1, 2.
Явный вид анзацев, редуцирующих (1) к (2), приведен в [1, 2].
В настоящей работе на основе качественного анализа редуцированных уравне-
ний описаны некоторые семейства ограниченных на множестве [t0 , ?) ? Rx реше-
3

ний уравнения (1) и исследованы их асимптотики.
1. Рассмотрим анзац
imx2
?3/2
?(t, x) = t exp z(? ),
2t

где ? = t?1 ?·x. Здесь и в дальнейшем ? ? R3 , ?2 = 1, и редуцированное уравнение
(см. (II) в [1], ? = ?1 ) имеет вид

z + a|z|4/3 z = 0, (3)
? a = 2?n.

Утверждение 1. Если a > 0, то общее решение уравнения (3) является квази-
периодической функцией

(4)
z = Z(?1 ? + ?1 , ?2 ? + ?2 ),
Укр. матем. журн., 1990, 42, № 10, C. 1344–1349.
162 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

где Z(?1 , ?2 ) : T 2 > C, T 2 — стандартный двухмерный тор, T 2 = {(?1 , ?2 ) ?
R2 | mod 2?}; ?1 , ?2 , ?1 , ?2 — вещественные параметры (произвольные посто-
янные).
Доказательство. Уравнение (3) в координатах q1 = Re z, q2 = Im z представляет
собой лагранжеву систему с лагранжианом
12 3a 2 5/3
q1 + q2 ?
?2 2
L= ? q1 + q2 ,
2 10
описывающую движение частицы в центральном поле. Если a > 0, то потенци-
альная энергия является положительно определенной функцией. Известно (см.,
например, [3]), что в этом случае совместная поверхность уровня полной энергии
и кинетического момента, являющихся интегралами движения, компактна и, сле-
довательно, является двухмерным тором. Общее решение уравнения (3) является
квазипериодической функцией, частоты которой ?1 , ?2 можно считать независи-
мыми параметрами.
2. Рассмотрим анзац “бегущая волна”

?(t, x) = z(? · x ? lt), l ? R.

и редуцированное уравнение для функции z(? ) (см. (VII), (IX) в [1])

z ? 2ik z + a|z|4/3 z = 0, (5)
? ? k = lm, a = 2?m.

Утверждение 2. Если a > 0, то уравнение (5) имеет квазипериодическое общее
решение вида (4). Если a < 0, то наряду с квазипериодическими решениями ви-
да (4) уравнение (5) имеет семейство асимптотически периодических решений
вида
?
µr?2 (s + ?)ds + ?
z = r(? + ?) exp i k? + ,
0

где µ, ?, ? — вещественные параметры, функция r(? ) : R > R удовлетворяет
при некоторых положительных ?, r? оценке

|r(? ) ? r? | = O(exp(??|? |)), ? > ?. (6)

Доказательство. Уравнение (5) отличается от уравнения (3) наличием “гироско-
пического члена” — 2ik z. Естественно поэтому положить z = r exp(i?). Тогда для
?
вещественных переменных r и ? получим систему

r ? r?2 + 2k ? + ar7/3 = 0,
? ? ?
(7)
r? + 2r? ? 2k r = 0.
? ?? ?
Умножив второе уравнение на r, будем иметь
d2 d
(r ?) = k (r2 ), ? = k + µr?2 , (8)
? ?
d? d?
где µ — произвольная постоянная.
С учетом (8) первое уравнение (7) примет вид

r ? µ2 r?3 + k 2 r + ar7/3 = 0. (9)
?
Качественный анализ решений нелинейного уравнения Шредингера 163

Это уравнение движения консервативной системы с одной степенью свободы, по-
тенциальная энергия которой имеет вид

?(r) = 2?1 (µ2 r?2 + k 2 r2 ) + 3 · 10?1 ar10/3 .

Если a > 0, то ситуация та же, что и в п. 1 (случай потенциальной ямы).
Если a < 0, то, уменьшая µ, можно добиться того, чтобы график ?(r) имел
локальный минимум в точке r? > 0 и локальный максимум в точке r? > r? .
На фазовой плоскости (r, r) линии уровня интеграла энергии 2?1 r + ? = E для
? ?
?
?(r? ) < E < ?(r ) в окрестности точки (r? , 0) замкнуты. Таким значениям соо-
тветствуют квазипериодические решения уравнения (5). Линия уровня для значе-
ния E = ?(r? ) является петлей сепаратрисы седла (r? , 0). Ей соответствует одно-
параметрическое семейство решений уравнения (9) r = r(? + ?), удовлетворяющее
оценке (6). Осталось воспользоваться формулой (7).
Замечание. Результаты данного пункта остаются справедливыми для уравнения
Шредингера с нелинейностью более общего вида ?(|?|)?. При этом если ?(0) < 0

<< Предыдущая

стр. 39
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>