<< Предыдущая

стр. 4
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

уравнение (4.3), получаем редуцированное уравнение
2
?? ??
2
?9 ? ? 256 ? + 1 ? ? 2 ? 1 = 0.
2 2
+ 6??
?? ??
x2 +x2 x2
1) J12 +cJ04 , D, P3 . Анзац u = 1 t 2 ?(?), ? = 2 ln t?ln x2 + x2 +2c arctg x1 ,
1 2
соответствующий данной алгебре, редуцирует уравнение (1.1) к уравнению
2 1 + c2 ?2 + (2m ? 4?)? + 2?2 ? m? = 0.
? ?
Решим это уравнение при c = 1. Находим, что
2? ? m ± m2 ? 4?2
?= .
4
Рассмотрим случай “+”. Используя подстановку Эйлера, получаем
2m2 ? 4?2 ? 2m m2 ? 4?2 m2 ? 4?2 ? m
? 2 arctg
ln = ? + C.
2m2 ? 2m m2 ? 4?2 2?

а вместо ? ? 2 ln t ?
tu
Подставив в это уравнение вместо ? выражение ,
x2 +x2
1 2
ln x2 + x2 + 2 arctg x2 , приходим к такому решению уравнения Гамильтона–Яко-
1 2 x1
би:
? ?
x2 + x2 2u2
ln ? 1 2 2 ? ??
t 2 + x2 ) ? m m2 (x2 + x2 )2 ? 4t2 u2
m2 (x1 2 1 2

m2 (x2 + x2 ) ? 4t2 u2 x2 ?
? 2 arctg ? 2 arctg
1 2
+ C = 0.
2tu x1
12 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

3
2) J04 + P3 , P1 , P2 . Рассмотрим анзац u = 1 ?(?), где ? = te?x . Он преобра-
t
зует уравнение (1.1) в уравнение
2m(1 ? ?)
?2 =
? ?.
?2
Если m? > 0, то
v 2
v 1???1
m
2 1 ? ? + ln v
?= +C .
1??+1
2
Соответствующие решение уравнения Гамильтона–Якоби имеет вид
v 2
v 1 ? te?x3 ? 1
m
2 1 ? te?x3 + ln v
u= +C .
1 ? te?x3 + 1
2t
Здесь m произвольное, a 1 ? te?x3 ? 0. Если 1 ? te?x3 < 0 и m < 0, то имеем
решение
v v 2
2m
C + te?x3 ? 1 ? arctg te?x3 ? 1
u=? .
t
4) J04 , P1 , P2 :
1 m
?2 = 2m?; (x3 + C)2 .
u= ?(x3 ), ? u=
t 2t
5) J04 , J12 , P3 :
2
1 m
1/2
x2 x2 2
x2 x2
u = ?(?), ?= + , ? = 2m?;
? u= + +C .
1 2 1 2
t 2t
6) J12 , J13 , J23 , J04 :
1 1/2
?(?), ? = x2 + x2 + x2 ?2 = 2m?;
u= , ?
1 2 3
t
2
m 2 + x2 + x2 + C
u= x1 .
2 3
2t
7) J04 + ?D, P1 , P2 (? = 0; 1):
1??
?+1
? = tx3 ? ,
u = t ??1 ?(?),
2
?2 (? + 1) 2?4?
? 1?3?
2
? + 2m
? ? ? + 2m
? ? ??1 ? = 0.
??1
1?? (? ? 1)3
8) J04 + D, P1 , P2 :
mx23
u = x2 ?(?), m? + 2?2 = 0;
? = t, ? u= .
3
2t + C
9) J04 , D, P1 :
x2 x2 m2
(1 + ? 2 )?2 ? 4??? + 4?2 ? 2m? = 0;
u = 3 ?(?), ?= , ? ? u= x.
2t 3
t x3
Редукция и точные решения уравнения Гамильтона–Якоби 13

10) J04 , J12 , D :

x2 + x2 x2 + x2
2? 2 (? + 1)?2 + 4??? + 2?2 ? m? = 0;
u= 1 2
? = 1 2 2,
?(?), ? ?
t x3
m2
x1 + x2 .
u= 2
2t
11) J12 , J13 , J23 , J04 + ?D (? = 1):

x2 + x2 + x2 2?
1 2 3
?(?), ? = x2 + x2 + x2 t 1?? ,
u= 1 2 3
t
2
2?2
2? 2 4? 2? m2
? ? = 0; u = C + x + x2 + x2 .
?+
? ?+ ? ?+
?
1?? 2t 1 2 3
m m m

12) J12 , J13 , J23 , J04 + D :

m x2 + x2 + x2
1 2 3
x2 x2 x2 2
u= + + ?(?), ? = t, m? + 2? = 0;
? u= .
1 2 3
2t + C
13) J04 + D + M, J12 + ?M, P3 (? ? 0):
v
x2
? 2t
2? arctg
x2 x2 x2 x2 x1
u= + ?(?), ?= + e ,
1 2 1 2
v
2
(1 + ?2 )? 2 ?2 + 2??? ? m? ? + ?2 = 0.
? ? ?
2
14) J04 + D, J12 + M, P3 :
v x2
? t, ?2 ? m? + 2?2 = 0;
u = x2 + x2 ?(?), ?= 2 arctg ? ?
1 2
x1
3
2
? ?m ?
x2 x2
(x2 x2 )
m2 8u2
+ +
1 2
1 2

2
? 24u2 m2 (x2 + x2 ) ? 8u2 ? m x2 + x2 =
1 2
1 2
v x2
? 12tu3 + Cu3 ,
= 12 2u3 arctg
x1
2
m2 (x2 + x2 ) ? 8u2 ? 2m x2 + x2
2 1 2
1 2
+
u
v
16u x2
? t + C.
+ = 2 arctg
x1
2
m2 (x2 + x2 ) ? 8u2 ? m (x2 + x2 )
1 2 1 2

§ 5. Анзацы вида u = f (t, x)?(?) + g(t, x), ? = ?(t, x).
1/2
1) J12 , J13 , J23 , P4 . Анзац u = ?(?) ? mt, ? = x2 + x2 + x2 , соответствую-
1 2 3
щий данной алгебре, редуцирует уравнение (1.1) к уравнению ? ?2m2 = 0. Общим
2
?
v
решением этого уравнения является функция ? = ± 2? + C. Ей соответствует
такое решение уравнения Гамильтона–Якоби:
v 1/2
u = ?mt ± 2 x2 + x2 + x2 + C.
1 2 3
14 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
v x2
2) J12 +P0 , P3 , P4 . Анзац u = ?(?)?mt? 2m arctg x1 , редуцирует уравнение
(1.1) к уравнению
?2 ? 1
?2 = 2m2
? ,
?2
общим решением которого является
v ?+1
? = ±m 2 ?2 arctg ? ? 2 ? 1 + C.
??1

Соответствующим решением уравнения (1.1) является
? ?
v 1/2
(x2 + x2 ) + 1
? = ±m 2 ??2 arctg ??
1/2
? x2 + x2 ? 1
1 2
1 2
2 + x2 )1/2 ? 1
(x1 2
v x2
? mt + 2m arctg + C.
x1
3) J03 , J04 , J34 , J12 + ?D (? > 0). Применяя анзац
x2 + x2 mx2
1 2 3
u= ?(?) + ,
2t 2t
получаем редуцированное уравнение
(?2 + 1)?2 ? 2?? + ?(? ? m) = 0.
? ?
Следовательно,
?± m(?2 + 1)? ? ?2 ?2

<< Предыдущая

стр. 4
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>