<< Предыдущая

стр. 40
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

и ?(r) принимает положительные значения для достаточно больших r, то уравне-
ние может иметь решения типа “уединенная бегущая волна”.
3. Рассмотрим анзац

?(t, x) = t?3/4 z(t?1/2 ? · x)

и редуцированное уравнение (см. (IV), (V) в [1], ? = ?1 )
3
z ? im? z ? imz + a|z|4/3 z = 0, (10)
? ? a = 2?m.
2
Утверждение 3. Уравнение (10) имеет семейство ограниченны на всей оси ре-
шений z = Z(?, c), где c — комплексный параметр, причем Z(?, c) = Z(??, c) и
Z(?, c) = O(? ?3/2 ) при ? > ?.
Доказательство. Положим s = 2?1 ? 2 . Тогда уравнение (10) примет вид

d2 z 1 dz 3im a
+ ?im + ? z + |z|4/3 z = 0.
ds2 2s ds 4s 2s
Стандартной заменой убираем член с производной
1 1 ims
= vs?1/4 exp
im ? (11)
z = v exp ds .
2 2s 2
Получим

d2 v m2 im 3 a
v + s?4/3 |v|4/3 v = 0.
? (12)
+ +
ds2 16s2
4 2s 2
Исследуем соответствующее линейное уравнение (a = 0). Для него s = 0 —
регулярная особая точка. Определяющее уравнение ?2 ? ? + 3/16 = 0 имеет два
корня: ?1 = 1/4, ?2 = 3/4. Поэтому для любого решения уравнения (12) при a = 0
существует конечный предел

lim v(s)s?1/4 < ?. (13)
s>0
164 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

Исследуем поведение решений при s > ?. Для корней уравнения
m2 im
?
?2 + =0
4 2s
справедливо асимптотическое разложение

m2 im im 1 1
?± (s) = ±i ? =± + +O .
s2
4 2s 2 2s
Поскольку Re (?1 (s) ? ?2 (s)) = 0, то уравнение (12) при a = 0 имеет фундамен-
тальную систему решений v+ (s), v? (s), вронскиан которых равен 1 и для которых
имеет место асимптотика [4]
s
?± (s1 )ds1 (c± + o(1)) = O s±1/2 . (14)
v± (s) = exp
s0

Кроме того, для этих решений выполнено условие (13).
Теперь задача об ограниченных на [0, ?) решениях уравнения (12) стандар-
тным образом с помощью метода вариации произвольных постоянных сводится к
интегральному уравнению
s
a
v+ (?)??4/3 |v(?)|4/3 v(?)d? +
v(s) = v? (s) c +
2 1
(15)
?
a
v? (?)??4/3 |v(?)|4/3 v(?)d? = A[v],
def
+ v+ (s)
2 s

где c — комплексный параметр.
Нетрудно показать, что оператор A на полном метрическом пространстве BK
непрерывных функций f : [0, ?) > C с метрикой ?(f, g) = sup |f (s) ? g(s)| и
s?[0,?)
таких, что
s ? [0, 1];
Ks1/4 ,
|f (s)| ? (16)
Ks?1/2 , s ? (1, ?)

при всех достаточно малых |c| и K > 0 является оператором сжатия. Действитель-
но, условия (13), (14) гарантируют существование константы K1 > 0, не зависящей
от c и K, такой, что
K1 |c| + K 7/3 s1/4 , s ? [0, 1];
|A[f ]| ?
K1 |c| + K 7/3 s?1/2 , s ? (1, ?),
?(A[f ], A[g]) ? K1 K 4/3 ?(f, g),
если f, g ? BK . Теперь ясно, что уменьшением |c| и K можно добиться выполнения
условий сжатия:

K1 |c| + K 7/3 ? K, K1 K 4/3 < 1.

Отсюда следует, что уравнение (16) для всех достаточно малых c имеет решение
v(s, c), удовлетворяющее условию (13) и имеющее асимптотику v(s, c) = O s?1/2
при s > ?. Осталось подставить это решение в формулу (11).
Качественный анализ решений нелинейного уравнения Шредингера 165

4. Рассмотрим анзац

imx2 x2
?(t, x) = t?3/2 exp z
t2
2t

и редуцированное уравнение (см. (II) в [1], ? = ?2 )

3 a ?m
z + |z|4/3 z = 0, (17)
z+
? ? a= .
2? ? 2
Утверждение 4. Если a > 0, то уравнение (17) имеет семейство решений
вида z = exp(i?)r(?, c), где ?, c — вещественные параметры, а r(?, c) при
фиксированном c является ограниченной на полуоси [0, ?) функцией класса
C 1 [0, ?) ? C 2 (0, ?) и удовлетворяет условиям

r(?, c) = O ? ?3/10
lim r(?, c) · ? < ?, при ? > ?.
?
? >0

Замечание 1. В силу первого условия анзац является классическим решением
уравнения (1) в области (0, ?) ? Rx .
3

Доказательство. Положим z = exp(i?)r, где ? ? R — параметр, а r = r(? ) —
вещественное решение уравнения
3 a
r + r7/3 = 0. (18)
r+
? ?
2? ?
Выполняя затем подстановку r = ? ?1/2 p, получаем
1
p + a? ?5/3 p7/3 = 0.
p+
? ?
2?
Производная функции

V (?, p, p) = 2?1 (p)2 + 3 · 10?1 a? ?5/3 p10/3
? ?

в силу этого уравнения удовлетворяет оценке

V = ?? ?1 2?1 (p)2 + 2?1 a? ?5/3 p10/3 ? ?? ?1 V.
? ?

Значит, V (?, p(? ), p(? )) = O ? ?1 , а тогда p10/3 (? ) = O ? 2/3 , p(? ) = O ? 1/5 , и,
?
следовательно, r(? ) = O ? ?3/10 для любого решения (18).
Покажем теперь, что уравнение (18) имеет однопараметрическое семейство ре-
шений r(?, c), для которых существует конечный предел lim r(?, c) < ?.
? >+0
?s
Положим ? = e . Уравнение (18) примет вид

d2 r 1 dr
+ ae?s r7/3 = 0.
? (19)
2
ds 2 ds
Это уравнение имеет для любого достаточно малого c решение с асимптотикой [5]

s > ?.
r = r(s, c) = c + o(1),
?
166 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

Положим r(?, c) = r(? ln ?, c). При фиксированном c эта функция непрерывна и
?
ограничена по ? на полуоси [0, ?). Так как для ? > 0 она удовлетворяет уравнению
(17), то справедливо представление
?
?3/2 1/2
r(?, c) = ?a? ?1 r7/3 (?1 , c)d?1 .
?
0

Из этой формулы легко выводятся требуемые свойства функции r(?, c).
Замечание 2. Можно показать, что если a < 0, то уравнение (17) имеет семейство
решений с асимптотикой O ? ?3/4 , ? > ?. Однако ли такое решение имеет
особенность при типа ? = 0 типа ? ?3/4 .
5. Рассмотрим анзац

?(t, x) = t?3/4 z x2 t?1

и редуцированное уравнение (см. (VI) [1], ? = ?2 )
1 3 3im a ?m
? im z ? z + |z|4/3 z = 0, (20)
z+
? ? a= .
2 ? 8? ? 2
Утверждение 5. Уравнение (20) имеет семейство решений z = Z(?, c), где c —
комплексный параметр, а Z(?, c) при фиксированном c является ограниченной
на полуоси [0, ?) функцией класса C 1 [0, ?)?C 2 (0, ?) и удовлетворяет условию
lim Z(?, c)? < ? и Z(?, c) = O ? ?3/4 при ? > ? (см. замечание 1 п. 4).
?
? >0
Доказательство. Подставляя
1 3 im?
? ?3/4 v
z = exp ? ? im d? v = exp
4 ? 4
в уравнение (20), имеем

m2 3 a 4/3
|v| v = 0. (21)
v+
? + v+
16? 2 ?2
16
Любое решение этого уравнения, для которого v(?0 ) достаточно мало, где ?0 > 0,
ограничено на полуоси [?0 , ?). Значит, малые решения уравнения (20) имеют
асимптотику O ? ?3/4 при ? > ?. Теперь нужно среди таких решений выбрать
семейство решений, остающихся ограниченными при подходе к точке ? = 0. После
подстановки ? = e?s доказательство существования этого семейства проводится
аналогично п. 4.
Замечание. Утверждение остается в силе на полуоси (??, 0].
6. Рассмотрим анзац

im tx2 x2
3 /4
?(t, x) = 1 ? t exp ?
2
z
2 1 ? t2 1 ? t2
и соответствующее редуцированное уравнение (см. (I) в [1], ? = ?2 )

m2
3 a ?m
z + |z|4/3 z = 0, (22)
z+
? z+
? a= .
2? 4 ? 2
Качественный анализ решений нелинейного уравнения Шредингера 167

Утверждение 6. Уравнение (22) имеет семейство решений z = Z(?, c), где c —
комплексный параметр, а функция Z(?, c) обладает свойствами, указанными
в утверждении 5.
Доказательство. Выполним подстановку z = ? ?3/4 v. Уравнение для v имеет вид
m2 3 a 4/3
|v| v = 0. (23)
v+
? + v+
16? 2 ?2
4
Дальнейшие рассуждения проводятся так же, как и в п. 5.
Для интерпретации результата данного пункта нам понадобится следующее его
уточнение: для любого ? > 0 можно указать такое c0 (?) > 0, что если |c| < c0 (?),
то
|Z(?, c)| ? ? min 1, ? ?3/4 ? ? ? [0, ?). (24)

Это уточнение легко получается из теорем [5], использованных в пп. 4, 5.
7. В заключение отметим, что рассмотренные выше решения моделируют про-
цессы самоорганизации в системе, описываемой уравнением (1). Например, рас-
смотрим решение, получаемое в соответствии с утверждением 6. Покажем, что
равномерно малое в момент t = 0 решение п. 6 при t > 1 локализуется в окре-
стности точки x = 0, причем в самой точке оно неограниченно растет.
Действительно, в соответствии с оценкой (24), если |c| < c0 (?), то в начальный
момент t = 0 имеем

<< Предыдущая

стр. 40
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>