<< Предыдущая

стр. 41
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

v
|?(0, x)| ? ? min 1, x ?3/2 , x = x2 .

Для 0 < t < 1 в силу (24) получаем
?3/4 3/4 ?3/2
|?(t, x)| ? ? 1 ? t2 min 1, 1 ? t2 (25)
,x
и
?3/4
|?(0, x)| = 1 ? t2 |?(0, 0)|. (26)
Из (25) получаем оценку
?3/2
|?(t, x)| ? ? x ,
а из (26) следует неограниченный рост решения в точке x = 0 при t > 1. Таким
образом, рассмотренное решение моделирует характерный режим с обострени-
ем [6]. Аналогичное поведение демонстрируют решения пп. 4, 5 при t > t? , если
предварительно преобразовать t > t ? t? .

1. Fushchych W.I., Serov N.I., On some exact solutions of the three-dimensional non-linear Schr?din-
o
ger equation, J. Phys. A: Math. and Gen., 1987, 20, 929–933.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
3. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М., Наука, 1974, 432 с.
4. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, М., Изд-во иностр.
лит., 1954, 216 с.
5. Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., Мир, 1970, 720 с.
6. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Режимы с обострением в
задачах для квазилинейных параболических уравнений, М., Наука, 1987, 480 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 168–182.


Редукция и точные решения
уравнения эйконала
А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ

С использованием подалгебр ранга 3 алгебры AC(1, 4), являющейся максимальной
алгеброй инвариантности уравнения эйконала, построены анзацы, редуцирующие
данное уравнение к обыкновенным дифференциальным уравнениям. По решениям
редуцированных уравнений найдены широкие классы точных решений уравнения
эйконала.


Релятивистским аналогом классического уравнения Гамильтона является уравне-
ние эйконала
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u
? ? ? (?)
= 1.
?x0 ?x1 ?x2 ?x3

Установлено [1], что максимальной алгеброй инвариантности уравнения (?) явля-
ется алгебра AC(1, 4), являющаяся алгеброй Ли группы C(1, 4) конформных пре-
образований пространства Минковского R1,4 . Симметрийная редукция уравнения
(?) по подалгебрам алгебры AP (1, 4) исследовалась в [2]. Некоторые точные ре-
?
шения этого уравнения с использованием одномерных подалгебр алгебры AP (1, 2)
определены в [3, 4].
В настоящей статье находятся вещественные решения уравнения эйконала с
помощью анзацев, редуцирующих уравнение к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям. Большинство из полученных таким образом дифференциальных
уравнений удается проинтегрировать и тем самым построить решения исходного
уравнения. Для построения анзацев используются подалгебры ранга 3 алгебры
AC(1, 4). Исследуется также зависимость между уравнением эйконала и уравне-
нием Гамильтона–Якоби
1
(??)
ut + (?u) = 0,
2m
где u = u(t, x ), x = (x1 , x2 , x3 ), m — постоянная (масса частицы).
1. Подалгебры ранга 3 алгебры AC(1, 4). Максимальной алгеброй инвари-
антности уравнения эйконала является конформная алгебра AC(1, 4), обладающая
базисом
P? = ?? , J?? = g ?? x? ?? ? g ?? x? ?? , D = ?x? ?? ,
K? = ?2(g ?? x? )D ? (g ?? x? x? )?? ,

где g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = ?g44 = 1, g?? = 0 при ? = ? (?, ?, ? =
0, 1, . . . , 4) содержит алгебру Пуанкаре AP (1, 4) = P0 , P1 , P2 , P3 , P4 ? AO(1, 4),

Укр. мат. журн., 1991, 43, № 4, С. 461–474.
Редукция и точные решения уравнения эйконала 169

?
где AO(1, 4) = Jµ? | µ, ? = 0, 1, . . . , 4 , расширенную алгебру Пуанкаре AP (1, 4) =
AP (1, 4) ? D , а также оптическую алгебру AOpt(3), обладающую базисом
1
(P0 + P4 + K0 ? K4 ), Z1 = ?J04 ? D, C1 = J04 ? D,
S1 + T 1 =
2
1
M1 = P0 ?P4 ,
T1 = (P0 +P4 ), Pa , Ha = J0a +Ja4 , Jab (a, b = 1, 2, 3).
2
?
Алгебра AP (1, 4) содержит расширенную алгебру Галилея AG(3), порожденную
генераторами
1
Ga = J0a ?Ja4 , (P0 ?P4 ), M = P0 +P4 (a, b = 1, 2, 3).
Pa , Jab , T=
2
В данной статье подалгебры ранга 3 алгебры AC(1, 4) используются для реду-
кции и поиска точных решений уравнения (?). Если L — одна из таких подалгебр,
? (x, u), ?(x, u) — ее основные инварианты, то анзац ? = ?(?) редуцирует уравне-
ние (?) к обыкновенному дифференциальному уравнению с неизвестной функцией
?(?). Каждому решению ? = ?(?) редуцированного уравнения соответствует L-
инвариантное решение u = u(x) исходного уравнения (?). Для классификации
всех таких решений следует описать с точностью до C(1, 4)-эквивалентности по-
далгебры ранга 3 алгебры AC(1, 4). При этом две подалгебры L1 , L2 ? AC(1, 4)
называются C(1, 4)-эквивалентными, если с точностью до C(1, 4)-сопряженности
они обладают одними и теми же инвариантами.
Так как мы ищем только вещественные решения уравнения (?), то необходимо
исключить из рассмотрения те подалгебры алгебры AC(1, 4), которые с точностью
до эквивалентности содержат P0 + P2 или P0 . Действительно, пусть L — подалге-
бра алгебры AC(1, 4), содержащая P0 + P2 . Если решение u ? u(x) = 0 уравнения
эйконала инвариантно относительно L, то u = u(x0 ? x2 , x1 , x3 ). Но тогда
2 2
?u ?u
(?u) = ? ?
2
,
?x1 ?x3
откуда
2 2
?u ?u
? ? = 1,
?x1 ?x3
и мы приходим к противоречию. Аналогично рассматривается случай P0 ? L.
Используя классификацию с точностью до C(1, 4)-сопряженности подалгебр
конформной алгебры AC(1, 4) [4], получаем с учетом изложенного выше требуе-
мый перечень C(1, 4)-неэквивалентных подалгебр ранга 3 алгебры AC(1, 4).
Подалгебры ранга 3 алгебры AC(1, 4):
1) L1 = J01 ? D, J02 ? J21 + P4 , P3 ; 2) L2 = P1 , P2 , P3 ;
3) L3 = J01 , P2 , P3 ; 4) L4 = J01 ? J12 , J02 , P3 ;
5) L5 = J01 ? J13 , J02 ? J23 , J03 ; 6) L6 = J01 , D, P3 ;
7) L7 = J01 , J02 , J12 , D ; 8) L8 = J01 ? J12 + P0 ? P2 , J02 ? 2D, P3 ;
9) L9 = J01 + P4 , P2 , P3 ; 10) L10 = J01 ? J12 , J02 + P4 , P3 ;
11) L11 = J01 ? J13 , J02 ? J23 , J03 + P4 ;
12) L12 = J01 ? J13 + P4 , J02 ? J23 + ?P2 + ?P4 , J03 ? D , ? > 0, ? ? 0;
170 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

13) L13 = J04 , J12 , P3 ; 14) L14 = J12 , J13 , J23 , J04 ;
15) L15 = G3 , J04 , J12 ; 16) L16 = J14 , P2 , P3 ;
= J12 , J14 , J24 , P3 ; 18) L18 = J12 + J34 , J13 ? J24 , J23 + J14 ;
17) L17
= J04 ?J41 , P2 , P3 ; 20) L20 = J01 ?J13 , J02 ?J23 , J04 ?J43 ?J12 ;
19) L19
= J04 ? J41 , J02 ? J21 ? P2 , P3 ; 22) L22 = J03 , J14 , D ;
21) L21
= J12 , J34 , D ; 24) L24 = J02 + ?D, J01 ? J12 , J04 ? J42 , ? = 0;
23) L23
= J03 + ?D, J12 + ?D, J04 ? J43 , ? = 0, ? ? 0;
25) L25
= J04 , J12 + ?D, J03 ? J34 , ? > 0;
26) L26
= J12 + ?J03 , J04 ? J43 , D , ? > 0;
27) L27
= J04 ? J42 , J02 + ?D, P3 , ? = 0;
28) L28
29) L29 = J12 , J14 , J24 J03 + ?D , ? > 0;
30) L30 = P2 , P3 , J01 + D + P0 + P1 ;
= J01 ? J12 , J02 + D + P0 + P2 , P3 ;
31) L31
32) L32 = J12 , J14 , J24 , J03 + D + P0 + P3 ;
= J03 + D + P0 + P3 , J12 + ?(P0 + P3 ), J04 ? J43 , ? > 0;
33) L33
= J03 ? J32 + P0 ? P2 , J14 , J02 ? 2D ;
34) L34
= J03 + D, J12 + P0 + P3 , J04 ? J43 ;
35) L35
= J04 ? J41 + P0 ? P1 , P2 , P3 ; 37) L37 = J14 + ?D, P2 , P3 ;
36) L36
38) L38 = J12 + ?J04 , D, P3 ? > 0; 39) L39 = J14 + P0 , P2 , P3 ;
= AO(3) ? S1 + T1 + ?M1 , ? < 0; 41) L41 = S1 + T1 , J12 , Z1 ;
40) L40
= AO(3) ? S1 + T1 + ?Z1 ; 43) L43 = S1 + T1 , J12 , Z1 , H1 + P2 ;
42) L42
v v
L44 = S1 + T1 + 2J12 + ?M1 , H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 , ? < 0;
44)
v v
L45 = ?Z1 + S1 + T1 + 2J12 , H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 , ? ? R;
45)
46) L46 = P1 + K1 + 2J03 , P2 + K2 + 2J04 , J12 + J34 ;
L47 = P0 + K0 , J12 , J34 ; 48) L48 = AO(3) ? P0 + K0 ;
47)
L49 = P0 ? K0 ? ?(K4 ? P4 ), J12 , J13 , J23 , ? > 0, ? = 0;
49)
v v
L50 = P2 + K2 + 3(P1 + K1 ) + 2J03 , ?P3 ? K3 + 2J02 ? 2 3J01 ,
50)
P0 + K0 ? 4J23 ;
v v
L51 = 2J12 + J34 , 2J13 + 2J24 ? 3(K4 ? P4 ), 2J23 ? 2J14 + 3(K3 ? P3 ) .
51)
2. Анзацы вида u = f (x)?(?) + g(x), ? = ?(x). В настоящем пункте для
построения анзацев, редуцирующих уравнение (?) к обыкновенным дифференци-
альным уравнениям, используются подалгебры L1 –L12 . Рассмотрим, например, по-
далгебру L1 . Ее полный набор основных инвариантов состоит из функций
(x0 ? x1 )u ? x2
? = x0 ? x1 .
?= ,
1/2
(x2 ? x2 ? x2 )
0 1 2
Поэтому алгебре L1 соответствует анзац ? = ?(?), который можно записать в
следующем виде:
1/2
x2 ? x2 ? x2 x2
u= 0 1 2
? = x0 ? x1 .
?(?) + ,
x0 ? x1 x0 ? x1
Редукция и точные решения уравнения эйконала 171

Аналогично получаем анзацы и для остальных подалгебр
1/2
? = x2 ? x2
L2 : u = ?(?), ? = x0 ; L3 : u = ?(?), ;
0 1
1/2
? = x2 ? x2 ? x2
L4 : u = ?(?), ;
0 1 2
1/2
? = x2 ? x2 ? x2 ? x2
L5 : u = ?(?), ;
0 1 2 3
x2 ? x2
u = x2 ?(?), ? = 0 2 1 ;
L6 :
x2
x0 ? x2 ? x2
2
1 2
L7 : u = x3 ?(?), ? = ;
2
x3
u = (x0 ? x2 )2 ? 4x1 ?(?), ? = 3 ln (x0 ? x2 )2 ? 4x1 ?
L8 :
? 2 ln 6(x0 + x2 ) ? 6x1 (x0 ? x2 ) + (x0 ? x2 )3 ;
1/2
u = ?(?) ? ln(x0 ? x1 ), ? = x2 ? x2
L9 : ;
0 1
1/2
u = ?(?) ? ln(x0 ? x2 ), ? = x2 ? x2 ? x2
L10 : ;
0 1 2
1/2
u = ?(?) ? ln(x0 ? x3 ), ? = x2 ? x2 ? x2 ? x2
L11 : ;
0 1 2 3
1/2
x0 ? x3
u=? ?? x2 ? x2
x2 x2
L12 : ?(?) +
x0 ? x3 + ? 2
0 1 3

?x2 x1
, ? = x0 ? x3 .
+ +
x0 ? x3 + ? x0 ? x3
Анзац, соответствующий подалгебре L1 , редуцирует уравнение (?) к уравнению
2?? ? ? ?1 ?2 ? ? ?1 (1 + ? 2 ) = 0. (1)
?
Общим решением уравнения (1) является функция ? = (? 2 + C? ? 1)1/2 . В этом
случае
1/2 1/2

<< Предыдущая

стр. 41
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>