<< Предыдущая

стр. 42
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u = (x0 ? x1 )?1 x2 + x2 ? x2 ? x2 (x0 ? x1 )2 + C(x0 ? x1 ) ? 1 .
0 1 2

Выпишем редуцированные уравнения, соответствующие всем остальным по-
далгебрам L2 –L12 . Редуцированному уравнению присвоим номер той алгебры Lj ,
2 ? j ? 12, которой оно соответствует:
?2 ? 1 = 0, (2–5)
?
4? ?2 ? (? ? 2? ?)2 ? 1 = 0, (6–7)
? ?
144(e? ? 1)?2 ? 96?? ? 16?2 ? 1 = 0, (8)
? ?
2
?2 ? ? ? 1 = 0, (9–11)
? ?
?
2??? + ?2 ? ? ?2 ? ? 2 (? + ?)?2 ? 1 = 0. (12)
?
Найдем общие решения редуцированных уравнений (2–12) и укажем соответ-
ствующие им точные решения уравнения эйконала. Общим решением редуциро-
ванного уравнения (2) является ? = ±? + C. Следовательно, получаем такие
решения уравнения эйконала:
1/2
u = ± x2 ? x2 ? · · · ? x2 u = ±x0 + C.
+ C, l = 1, 2, 3;
0 1 l
172 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Общим решением уравнения (6) является
1
?(?) + ?(?)?1 ? ?(?)?1 ,
1 + ? 1/2
?=
2
?1
1/2
где ?(?) = C или ?(?) = ± ? 1/2 ? 1 ? 1/2 + 1 . В первом случае
C2 ? 1
C2 + 1 2 1/2
x0 ? x2 C?R
u= + x2 ,
1
2C 2C
а во втором —
1/2
u = ± x2 ? x2 ? x2 .
0 1 2

Алгебре L7 соответствуют такие решения уравнения эйконала.
C2 ? 1
C2 + 1 2 1/2 1/2
x0 ? x2 ? x2 u = ± x2 ? x2 ? x2 ? x2
u= + x3 , .
1 2 0 1 2 3
2C 2C
Общим решением уравнения (9) является

? = ln |?| ± 1 + ? 2 + ln | 1 + ? 2 ? 1| ? ln |?| + C.

Следовательно, получаем решения уравнения эйконала

1 + x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? 1
1 + x2 ? x2 ? · · · ? x2 + ln 0 1 l
u= + C,
x0 ? xl
0 1 l


1 + x2 ? x2 ? · · · ? x2 + 1
u=? 1+ ? ? ··· ? 0 1 l
x2 x2 x2 + ln + C,
x0 ? xl
0 1 l


где l = 1, 2, 3.
Интегрируя уравнение (12), находим
1/2
? 3 + (C + ?)? 2 + (C? ? ? 2 ? 1)? ? ?
?=? .
? 2 (? + ?)
Соответствующее ему решение уравнения эйконала имеет вид
1/2
x0 ? x3
?? x2 ? x2 ?
x2 x2
u=
x0 ? x3 + ? 2
0 1 3
1/2
(x0 ? x3 )3 + (C + ?)(x0 ? x3 )2 + (C? ? ? 2 ? 1)(x0 ? x3 ) ? ?
? +
(x0 ? x3 )2 (x0 ? x3 + ?)
?x2 x1
+ + .
x0 ? x3 + ? x0 ? x3
3. Анзацы вида u2 = f (x)?(?) + g(x), ? = ?(x). Для построения анзацев
указанного вида используем подалгебры L13 –L35 . В результате несложных вычи-
слений получаем следующие анзацы:
1/2
u2 = ?(?) + x2 , ? = x2 + x2
L13 : ;
0 1 2
1/2
u2 = ?(?) + x2 , ? = x2 + x2 + x2
L14 : ;
0 1 2 3
1/2
u2 = ?(?) + x2 ? x2 , ? = x2 + x2
L15 : ;
0 3 1 2
Редукция и точные решения уравнения эйконала 173

= ?(?) ? x2 , ? = x0 ;
u2
L16 : 1
= ?(?) ? x2 ? x2 , ? = x0 ;
u2
L17 : 1 2
= ?(?) ? x1 ? x2 ? x2 , ? = x0 ;
u2 2
L18 : 2 3
= ?(?) + x0 ? x1 , ? = x0 ? x1 ;
u2 2 2
L19 :
= ?(?) + x2 ? x2 ? x2 ? x2 , ? = x0 ? x3 ;
u2
L20 : 0 1 2 3
x0 ? x1
u2 = ?(?) + x2 ? x2 ? x2 , ? = x0 ? x1 ;
L21 :
x0 ? x1 ? 1 2
0 1

x2 ? x2
u2 = x2 ?(?) ? x2 , ? = 0 2 3 ;
L22 : 2 1
x2
x1 + x2
2
u = x0 ?(?) ? x3 , ? = 2
2 2 2
L23 : ;
2
x0
1+?
u2 = ?x2 ?(?) + x2 ? x2 ? x2 , ? = ln x3 ? ln(x0 ? x2 );
L24 : 3 0 1 2
?
u2 = ? x2 + x2 ?(?) + x2 ? x2 ,
L25 : 1 2 0 3
x2
? = (1 + ?) ln x1 + x2 ? 2? ln(x0 ? x3 ) ? 2? arctg ;
2 2
x1
x2
u2 = ? x2 + x2 ?(?) + x2 ? x2 , ? = ln x2 + x2 ? 2? arctg
L26 : ;
1 2 0 3 1 2
x1
u2 = ? x2 + x2 ?(?) + x2 ? x2 ,
L27 : 1 2 0 3
x2
? = 2 ln(x0 ? x3 ) ? ln x2 + x2 ? 2? arctg ;
1 2
x1
u2 = ?x2 ?(?) + x2 ? x2 , ? = ? ln(x0 ? x2 ) ? (1 + ?) ln x1 ;
L28 : 1 0 2
u = x0 ? x3 ?(?) ? x2 ? x2 ,
2 2 2
L29 : 1 2
? = (1 + ?) ln(x0 + x3 ) + (1 ? ?) ln(x0 ? x3 );
u2 = (x0 ? x1 )?(?), ? = x0 + x1 + ln(x0 ? x1 );
L30 :
x2 ? x2 ? x2
u = (x0 ? x2 )?(?), ? = 0 + ln(x0 ? x2 );
1 2
2
L31 :
x0 ? x2
u2 = (x0 ? x3 )?(?) ? x2 ? x2 , ? = x0 + x3 + ln(x0 ? x3 );
L32 : 1 2
x2
u2 = ?(x0 ? x3 )?(?) + (x0 ? x3 ) ln(x0 ? x3 ) + 2? arctg + x2 ? x2 ,
L33 : 0 3
x1
x0 ? x3
?= 2 ;
x1 + x22
2
u2 = (x0 ? x2 )2 ? 4x3 ?(?) ? x2 , ? = 3 ln (x0 ? x2 )2 ? 4x1 ?
L34 : 1
? 2 ln 6(x0 + x2 ) ? 6x1 (x0 ? x2 ) + (x0 ? x2 )3 ;
x0 ? x3
x2
u2 = ?(x0 ? x3 )?(?) + 2(x0 ? x3 ) arctg + x2 ? x2 , ? = 2
L35 : .
0 3
x1 + x2
x1 2

Выпишем редуцированные уравнения, соответствующие указанным анзацам:

?2 + 4? = 0, (13–15)
?

?2 ? 4? = 0, (16–18)
?

? ? ? ? = 0, (19–21)
?
174 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

(? ? ? 2 )?2 + 2??? ? ?2 ? ? = 0, (22)
? ?

(? ? ? ?)2 ? ? ?2 ? ? = 0, (23)
? ?

? 2 ?2 ? 4(1 ? ??)? + 4(?2 ? ?) = 0, ? = ??1 (1 + ?), (24)
? ?

{(1 + ?)2 + ? 2 }?2 + 2{(1 + ?)? ? ?}? + ?2 ? ? = 0, (25)
? ?

(1 + ?2 )?2 + 2?? + ?2 ? ? = 0, (26)
? ?

(1 + ?2 )?2 ? 2?? + 2?2 + ?2 ? ? = 0, (27)
? ? ?

(1 + ?)2 ?2 + 4{? ? (1 + ?)?}? + 4?(? ? 1) = 0, (28)
? ?

(1 ? ?2 )?2 + 2?? + ?2 ? ? = 0, (29)
? ?

?2 + ?? ? ? = 0, (30–32)
? ?

? 3 ?2 + ? ? + ??2 ? 1 = 0, (33)
? ?

144(e? ? 1)?2 ? 96?? ? 16?2 ? 1 = 0, (34)
? ?

? 2 ?2 + ? + 1 = 0. (35)
? ?

Общим решением уравнения (13) является ? = ?(? + C)2 . Таким образом,
получаем следующие решения уравнения эйконала:
1/2
u2 = x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? 2C x2 + x2 ? C 2;
0 1 2 3 1 2
1/2
u2 = x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? 2C x2 + · · · + x2 , l = 2, 3.
0 1 1
l l

Решая уравнение (16), получаем такие решения уравнения эйконала:
u2 = x2 ? x2 ? · · · ? x2 + 2Cx0 + C 2 , l = 1, 2, 3.
0 1 l

Так как ? = C? является общим решением уравнения (19), то уравнение эйко-
нала имеет такие решения:
u2 = C(x0 ? x1 ) + x2 ? x2 , u2 = C(x0 ? x3 ) + x2 ? x2 ? x2 ? x2 ;
0 1 0 1 2 3
x0 ? x1
u2 = C(x0 ? x1 ) + x2 ? x2 ? x2 .
x0 ? x1 ? 1 2

<< Предыдущая

стр. 42
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>