<< Предыдущая

стр. 43
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0 1


Рассмотрим уравнение (24). Если ? = 2, то ? = ?Ce?? или ? = 1 ? Ce? .
Получаем решение уравнения эйконала
u2 = C(x0 ? x2 ) + x2 ? x2 ? x2 ? ?x2 , ? = 0, 1.
0 1 2 3

Если ? = 1, то ? = ?C 2 e?2? + 2Ce?? , C ? R, а потому
u2 = C(x0 ? x2 )2 ? 2Cx3 (x0 ? x2 ) + x2 ? x2 ? x2 .
0 1 2

Если ? = 0, то ? = ?Ce?? (1 ? Ce?? )?1 . Соответствующим решением уравнения
(?) является
x2
+ x2 ? x2 ? x2 ? x2 .
3
u2 =
1 ? C(x0 ? x2 ) 0 1 2 3
Редукция и точные решения уравнения эйконала 175

Если ? = 0, 1, 2, то ? задается неявно
{1 ? (2? ? ? 2 )?}1/2 ? ? + 1|??1 |{1 ? (2? ? ? 2 )?}1/2 + 1 = e??+C ,
{1 ? (2? ? ? 2 )?}1/2 + ? ? 1|??1 |{1 ? (2? ? ? 2 )?}1/2 ? 1 = e??+C .

Подставляя вместо ? выражение x2 ? x2 ? x2 ? u2 x?2 , получаем уравнения, ко-
0 1 2 3
торые в некоторых областях пространства R1,4 задают u как неявную функцию от
x0 , x1 , x2 , x3 .
Уравнение (25) имеет частные решения ? = 1 и ? = 0. Им соответствуют
решения
u2 = x2 ? x2 ? x2 ? x2 u2 = x2 ? x2 .
и
0 1 2 3 0 3

Если ? = ?1, ? = 0, то
? = Ce?/2 (Ce?/2 ? 1)?1 .
В этом случае
x2 + x2
+ x2 ? x2 ? x2 ? x2 .
1 2
2
u=
1 ? C(x0 ? x3 ) 0 1 2 3


Если ? = 1, ? = 0, то ? = ?Ce??/2 или ? = 1 ? Ce??/2 . Имеем такие решения
уравнения (?):
u2 = C(x0 ? x3 ) + x2 ? x2 , u2 = C(x0 ? x3 ) + x2 ? x2 ? x2 ? x2 .
0 3 0 1 2 3

Уравнение (27) распадается на два уравнения. Общее решение первого уравне-
ния задается соотношением

2 ln {(1 ? ?)(1 + ?2 ?)}1/2 ? 1 + ? ? ln |1 ? ?| +
{(1 ? ?)(1 + ?2 ?)}1/2
+ 2? arctg = ? + C,
?(1 ? ?)
а общее решение второго уравнения — соотношением

2 ln {(1 ? ?)(1 + ?2 ?)}1/2 + 1 ? ? ? ln |1 ? ?| ?
{(1 ? ?)(1 + ?2 ?)}1/2
? 2? arctg = ? + C.
?(1 ? ?)
Уравнение (28) имеет при ?2 = 1 такие решения:
? ln {?2 + (1 ? ?2 )?}1/2 ? ? + ln {?2 + (1 ? ?2 )?}1/2 + 1 = ? + C,
? ln {?2 + (1 ? ?2 )?}1/2 + ? + ln {?2 + (1 ? ?2 )?}1/2 ? 1 = ? + C.
Если ? = 1, то ? = Ce? или ? = 1 + Ce? . Во втором случае получаем решение
u2 = x2 ? x2 ? x2 ? C(x0 ? x2 ).
0 1 2

При ? = ?1 имеем ? = (1 ? Ce? )?1 и, соответственно,
Cx2
u2 = x2 ? x2 ? x2 ? 1
.
C ? (x0 ? x2 )
0 1 2
176 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Общим решением уравнения (29) при ? = 1 является ? = 1 + Ce??/2 . Соответ-
ствующим ему решением уравнения (?) будет
u2 = C(x0 + x3 ) + x2 ? x2 ? x2 ? x2 .
0 1 2 3
Уравнение (30) распадается на два уравнения, которые имеют соответственно
такие общие решения:
??1 2 ?+1 2
?
ln = ? + C, ln + = ? + C,
??1 ??1
?+1 ?+1
где ? = ((? + 4)/?)1/2 .
Интегрируя уравнение (33), находим, что при ? = 0
1 ? ?(?) ?(?) ? 1
1
±
?= + 2? arctg +
2? 4? 2??
?(?) ? 1 ? 2? (1 + ?2 )?
+ ln + + C,
?(?) ? 1 ? 2?
?
где ?(?) = (?4?2 ? + 4? + 1)1/2 , а при ? = 0
(4? + 1)1/2 ? 1 (4? + 1)1/2
1
± ln ?
?= + C.
(4? + 1)1/2 + 1
2? 2?
Уравнение (35) распадается на два уравнения, которые имеют такие общие
решения соответственно:
(1 ? 4? 2 )1/2 ? 1
2?
?=? ? 2 arctg ? C,
(1 ? 4? 2 )1/2 ? 1 2?
(1 ? 4? 2 )1/2 ? 1 (1 ? 4? 2 )1/2 ? 1
?=? ? C.
+ 2 arctg
2? 2?
Получаем следующие решения уравнения эйконала:
1 x2
u2 = (x0 ? x3 ) + 2 arctg z + 2 arctg + x0 + x3 + C ,
z x1
1 x2
u2 = (x0 ? x3 ) ? 2 arctg z + 2 arctg + x0 + x3 + C ,
z x1
где
1/2
2
? 4(x0 ? x3 ) ? x2 + x2
x2 x2 2
+
1 2 1 2
z= .
2(x0 ? x3 )
4. Неявные анзацы. Используя подалгебры L36 –L50 , получаем анзацы вида
? (x, u) = ?(?(x, u)), где ? и ? зависят от u. Такие анзацы задают в некоторых
областях пространства R1,4 u как неявную функцию от x0 , x1 , x2 , x3 и потому мы
их называем неявными анзацами:
1 1
L36 : u = ?(?) + (x0 ? x1 )2 , ? = 6(x0 ? x1 ) ? (x0 ? x1 )3 ? 6(x0 + x1 );
4 4
u
L37 : u = x0 ?(?) ? x2 , ? = ln x2 + u2 ? 2? arctg ;
2 2
1 1
x1
x0 ? u
x2
L38 : u2 = ? x2 + x2 ?(?) + x2 , ? = 2? arctg ? ln ;
1 2 0
x1 x0 + u
u
L39 : u2 = ?(?) ? x2 , ? = x0 + arctg ;
1
x1
Редукция и точные решения уравнения эйконала 177

v
(x0 + u) x2 + x2 + x2
1 2 3
x0 ? u ? ? 2? arctg (x0 + u) = 2?(?),
L40 :
(x0 + u)2 + 1
x2 + x2 + x2
?= 1 2 3
;
2
(x0 + u)
(x0 + u) x2 + x2 + x2 x2 + x2 + x2 x2 + x2
1 2 3
x0 ? u ? =1 2 3
?(?), ? = 1 2 2 ;
L41 :
(x0 + u)2 + 1 (x0 + u)2 + 1 x3
(x0 ? u) (x0 + u)2 + 1
?x0 ? u +
L42 : = ?(?),
x2 + x2 + x2
1 2 3
(x0 + u)2 + 1
? 2? arctg (x0 + u);
? = ln 2
x1 + x2 + x2
2 3
(x0 ? u) (x0 + u)2 + 1 x2 ? x2 (x0 + u)+ x1 x2 (x0 + u)2 ? 1
?2 1 2
?
L43 : 2 (x0 + u)2 + 1
x3
2
[x1 + (x0 + u)x2 ]
? (x0 + u) x2 x2 x2
+ + = ?(?), ?= ;
1 2 3
[(x0 + u)2 + 1] x3
(x0 + u) (x0 + u)2 ? 3
x0 ? u
? (x0 + u)? 2 ? x2 ? x2 +
L44 : 1 2
2
2 u)2
2 [(x0 + + 1]
v
1 ? 3(x0 + u)2 2
x1 x2 ? x1 x3 ?
+ 2 (x0 + u)2 + 1
[(x0 + u)2 + 1]
v
2(x0 + u)
? x2 x3 ? ? arctg (x0 + u) = ?(?),
(x0 + u)2 + 1
v v
2 2(x0 + u)x1 + 2 (x0 + u)2 ? 1 x2 + (x0 + u)2 + 1 x3
v
?= ;
3/2
2 [(x0 + u)2 + 1]
(x0 + u) (x0 + u)2 ? 3
x0 ? u
? (x0 + u)? 2 ? x2 ? x2 +
L45 : 1 2
2
2 2 [(x0 + u)2 + 1]
v
1 ? 3(x0 + u)2 2
x1 x2 ? x1 x3 ?
+ 2 (x0 + u)2 + 1
[(x0 + u)2 + 1]
v
2(x0 + u)
? x2 x3 ? ? arctg(x0 + u) = ?(ln ? + d arctg (x0 + u)),
(x0 + u)2 + 1
v v
2 2(x0 + u)x1 + 2 (x0 + u)2 ? 1 x2 + (x0 + u)2 + 1 x3
v
?= ;
3/2
2 [(x0 + u)2 + 1]
(x 2 ? 1)2 ? 4 x2 + x2 x0 (x 2 ? 1) + 2x1 x3 + 2x2 u
1 2
L46 : = ?(?), ? = ;
(x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2
x2 + x2 (x 2 + 1)2
3 4
L47 : = ?(?), ? = 2 ;
x2 + x2 x1 + x2
1 2 2
u2 x2 + 1
L48 : = ?(?), ? = ;
x2 + x2 + x2 u
1 2 3
4u2 + (x 2 + 1)2 x2 + 1
2x0
L49 : = ?(?), ? = ? arctg 2 + arctg ;
x ?1
x2 + x2 + x2 2u
1 2 3
178 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
v 2
3(x0 ? u)2 + 4x3
1 x2 1
v
u =? ?(u) ?
2
L50 : +
12 3(x0 ? u)2 + 4x3 x2
12 2
v v
3 2(x0 + u) + 2 3(x0 ? u)x3 + (x0 ? u)3
v ? 1.

<< Предыдущая

стр. 43
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>