<< Предыдущая

стр. 44
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

+
x2 3(x0 ? u)2 + 4x3
4 2

Указанные анзацы редуцируют уравнение эйконала к следующим уравнениям:
9??2 + 4 = 0; (36)
?

(? ? ?2 )?2 + 4?2 ? + 4?3 ? 4?2 = 0; (37)
? ?

(4 + ?2 ?2 )?2 + ?4 ? ?3 = 0; (38)
?

(? ? 1)?2 ? 4?2 = 0; (39)
?

2??2 + ? + 2? = 0; (40)
?

2?(? + 1)2 ?2 + 2?2 + 1 = 0; (41)
?
v
2?2 ? (4? + 2 2?)? + 2?2 + 1 = 0; (42)
? ?

(? + ? 2 )?2 ? 2??? + ?2 + 4? + 1 = 0; (43)
? ?

3?2 + 12? 2 + 4? = 0; (44)
?

12 + 12?2 + (4? + 12?)? + 3?2 = 0; (45)
? ?

(16? 2 ? 1)?2 + 2(5? ? 1)? ? + 16?(? ? 1) = 0; (46)
? ?

(? 2 + 4)?2 ? 4??? ? 4? ? 4?2 = 0; (47)
? ?

(4 + ??)?2 + 4??? + 4?2 (? + 1) = 0; (48)
? ?

(??2 ? + ? + 4)?2 + ?2 (? + 4)2 = 0; (49)
?

?9[?2 ? 256(? 2 + 1)2 ]?2 + 6??? ? ? 2 ? 1 = 0. (50)
? ?

Общим решением уравнения (36) является ? = ?(? + C)2/3 . Ему соответствует
решение
2/3
4u + 6(x0 ? x1 )u ? (x0 ? x1 )3 ? 6(x0 + x1 ) + C ? (x0 ? x1 )2 = 0
уравнения (?).
По решениям уравнения (37) находим следующие решения уравнения эйконала:
(1 + ?2 ) (x2 + u2 ) ? ?2 x0
1
? arctg +
?x0
u
(1 + ?2 ) (x2 + u2 ) ? ?2 x0 ? x0 ? ? arctg
+ ln + C = 0,
1
x1
(1 + ?2 ) (x2 + u2 ) ? ?2 x0
?? arctg 1
+
?x0
u
(1 + ?2 ) (x2 + u2 ) ? ?2 x0 + x0 ? ? arctg
+ ln + C = 0.
1
x1
Редукция и точные решения уравнения эйконала 179

Уравнение (38) имеет решения ? = 0, ? = 1 и
1/2
1?? (1 ? ?)1/2 ? (1 + ?2 ?)1/2
?2? ? = ±? + C.
+ ln
(1 ? ?)1/2 + (1 + ?2 ?)1/2
1 + ?2 ?
Если ? = 0, то u = ±x0 .
Общим решением уравнения (39) является
? ? 1 ? arctg ? ? 1 + C = ±?.
Следовательно, получаем решение уравнения эйконала
u
x2 + u2 ? 1 ? arctg x2 + u2 ? 1 ± x0 + arctg + C = 0.
1 1
x1
По решениям редуцированных уравнений (40)–(50) находим следующие реше-
ния уравнения эйконала:
(x0 + u) x2 + x2 + x2
1 2 3
?x0 + u + + 2? arctg (x0 + u) ±
2+1
(x0 + u)
x2 + x2 + x2 + 2? [(x0 + u)2 + 1]
± ? 2 arctg ?1 2 3
+
x2 + x2 + x2
1 2 3

? (x2 + x2 + x2 ) (x2 + x2 + x2 + 2? [(x0 + u)2 + 1])
1 2 3 1 2 3
+ = 0,
2 + 1]
? [(x0 + u)
v (x0 + u) (x0 + u)2 ? 3
?u + 2(x0 + u)? + v x2 ? x2 +
2
1 2
2 + 1]2
2 [(x0 + u)
v
2 1 ? 3(x0 + u)2 2 2(x0 + u)
x1 x2 ? x1 x3 ?
+ x2 x3 +
2 (x0 + u)2 + 1 (x0 + u)2 + 1
[(x0 + u)2 + 1]
v v 3
+ 2? arctg(x0 + u) ± 2 2 arcsin ? + C = 0,
|?|
v v
2 2(x0 + u)x1 + 2 (x0 + u)2 ? 1 x2 + (x0 + u)2 + 1 x3
v
?= .
3/2
2 [(x0 + u)2 + 1]
5. О связи между уравнениями эйконала и Гамильтона–Якоби. Макси-
мальной алгеброй инвариантности уравнения (??) является конформная алгебра
AC(1, 4) [5], обладающая базисом
1
P0 = ? v (?0 + m?u ),
? ? ?
Jab = xb ?a ? xa ?b , P a = ?a ,
2
1
P4 = ? v (?0 ? m?u ),
? ?
D = ?(t?0 + xa ?a + u?u ),
2
1 1
J0a = ? v
? ?
J04 = t?0 ? u?u , xa ?0 + t + u ?a + mxa ?u ,
m
2
1 1
Ja4 = ? v ?xa ?0 + t ? u ?a + mxa ?u ,
m
2
v x2 m 2 u2
1
K0 = ? 2 t2 + ?0 + t + u xa ?a + x+ ?u ,
2 m 2 m
180 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

v x2 m 2 u2
1
t2 ??0 + t ? u xa ?a + x?
K4 = 2 ?u ,
2 m 2 m
2
Ka = ?2xa D + tu ? x 2 Pa ,
m

где x 2 = x2 + x2 + x2 , a, b = 1, 2, 3.
1 2 3
Чтобы установить связь между уравнениями (?) и (??), рассмотрим пространс-
тва Xt ? V и X ? U , где X = {(x0 , x1 , x2 , x3 )} и Xt = {(t, x1 , x2 , x3 )} — про-
странства, представляющие независимые переменные, а U = {u} и V = {v} —
пространства зависимых переменных. Отображение ?: (t, x, v) > (x0 , x, u), опреде-
ленное с помощью формул
1 v 1 v
x0 = v t + u= v t?
, xa = xa , ,
m m
2 2
является отображением пространства Xt ? V на пространство X ? V . В предпо-
ложении, что ?u/?x0 + 1 = 0, подстановка ? переводит уравнение (?) в уравнение
(??). Аналогично, отображение ?1 : (x0 , x, u) > (t, x, v), определенное с помощью
формул
1 m
t = v (x0 + u), v = v (x0 ? u),
xa = xa ,
2 2
является отображением пространства X ? U на пространство Xt ? V и если
m + vt = 0, то подстановка ?1 переводит уравнение (??) в (?). Так как ??1 —
тождественное преобразование пространства X ? U , а ?1 ? — тождественное пре-
образование пространства Xt ? V , то ?1 = ??1 .
Исследуем зависимость между уравнениями (?) и (??) более подробно. С этой
целью рассмотрим пространства Xt ? V ? V (1) и X ? U ? U (1) , координаты ко-
торых представляют независимые переменные, зависимые переменные и произво-
дные первого порядка от зависимых переменных. Выделим в Xt ?V ?V (1) открытое
подпространство M1 состоящее из тех векторов (t, x, v, v0 , v1 , v2 , v3 ), У которых
v0 + m = 0, а в X ? U ? U (1) — открытое подпространство M2 , состоящее из тех
векторов (x0 , x, u, u0 , u1 , u2 , u3 ), у которых u0 + 1 = 0. Покажем, что отображение
?
? : Xt ? V > X ? U можно продолжить до отображения ?: M1 > M2 .
Возьмем произвольную функцию v = f (t, x) и пусть
?f = {(t, x, f (t, x) | (t, x) ? ?} ? Xt ? V
— ее график, где ? — область определения функции f . Отображение ? переводит
?f в
? · ?f = {(x0 , x, u) = ?(t, x, v) | ((t, x, v) ? ?f }.
Множество ? · ?f в общем случае не является графиком какой-либо однозначной
?
функции u = f (x0 , x). Однако, поскольку m + vt = 0, то результат преобразо-
вания ? · ?f = ?f является графиком некоторой однозначной гладкой функции
?
?
u = f (x0 , x). Докажем это. Действительно, имеем
m 1
v (x0 ? u) ? v v (x0 + u), x1 , x2 , x3 (51)
= 0.
2 2
Редукция и точные решения уравнения эйконала 181

Найдем производную по u:
m 1 1
? v ? vt v = ? v (m + vt ).
2 2 2
По условию m + vt = 0. Поэтому уравнение (51) определяет в некоторой окрестно-
?
сти точки (x0 , x1 , x2 , x3 , u) u как однозначную неявную функцию f от x0 , x1 , x2 ,
? ?
x3 . Функция f называется образом f при отображении ? и обозначается f = ? · f .
Отметим также, что если vt = 0, то уравнение Гамильтона–Якоби не имеет ве-
щественных решений. Поэтому следует предполагать, что vt = 0 и m + vt = 0.
?
При таком предположении u0 + 1 = 0. Продолжение ?: M1 > M2 отображе-
ния ? определяется так, что оно преобразует производные функции v = f (t, x )
?
в соответствующие производные преобразованных функций u = f (x0 , x). Про-
долженное действие отображения ? определено корректно. Действительно, пусть
(t0 , x 0 , v 0 , v0 , v1 , v2 , v3 ) — заданная точка в M1 . Выберем произвольную гладкую
0000

функцию v = f (t, x), определенную в окрестности точки (t0 , x 0 ), график которой
лежит в M1 и которая имеет данные производные v0 , v1 , v2 , v3 в точке (t0 , x 0 ).
0 0 0 0

Преобразованная функция ? · f определена в окрестности соответствующей точки
(x0 , x 0 , u) = ?(t0 , x 0 , v 0 ). Определим теперь действие продолженного преобразо-
0
?
вания ? на точку (t0 , x 0 , v 0 , v0 , v1 , v2 , v3 ), вычисляя производные преобразованной
0000

функции ? · f в точке (x0 , x 0 ). Пользуясь цепным правилом, получаем, что это
0
определение зависит лишь от производных функции f в точке (t0 , x 0 ), т.е. от са-
мой точки (t0 , x 0 , v 0 , v0 , v1 , v2 , v3 ), и следовательно, не зависит от выбора функции
0000

f , представляющей точку (t0 , x 0 , v 0 , v0 , v1 , v2 , v3 ).
0000

Пусть ?1 и ?2 — многообразия, определяющиеся уравнениями (?) и (??) со-
ответственно, M1 — множество, состоящее из всех точек многообразия ?1 , для
которых u0 + 1 = 0, a M2 — множество, состоящее из всех точек многообразия
?2 , для которых vt + m = 0. Очевидно, M1 = M1 ? ?1 , M2 = M2 ? ?2 и в
?
силу изложенного выше ? отображает M1 на M2 . Инвариантность уравнения (?)
относительно группы G1 = exp AC(1, 4) означает, что многообразие ?1 инвариан-
?
тно относительно действия продолженной группы G1 . Аналогично, многообразие
? ?
?2 инвариантно относительно продолженной группы G2 , где G2 = exp AC(1, 4).

<< Предыдущая

стр. 44
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>