<< Предыдущая

стр. 45
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

??
? ?
Отсюда вытекает, что если g1 ? G1 , то ?g1 ?1 ? G2 и, обратно, если g2 ? G2 ,
??
то ?1 g2 ? ? G1 . Значит, отображение ? индуцирует изоморфизм ?? : X > ?X?1
?
алгебры AC(1, 4) на алгебру AC(1, 4), который действует следующим образом:
? ? ? ?
P0 > ?P0 , P4 > ?P4 , Jab > Jab , Ja4 > ?Ja4 , J04 > ?J04 ,
? ? ? ?
J0a > ?J0a , K0 > ?K0 , K4 > ?K4 , Ka > Ka .
?
Докажем, например, что ?? (P0 ) = ?P0 . Действительно, пусть f (x0 , x, u) — прои-
звольная дифференцируемая функция. Тогда
1 u 1 u
v t+ , x, v t ?
?1 f (x0 , x, u) = f
m m
2 2
?
и значит, P0 ?1 f (x0 , x, u) = ? ?x0 . Следовательно, ?P0 ?1 = ? ?x0 = ?P0 , а потому
?f ?

?
?? (P0 ) = ?P0 .
?
Пусть H — произвольная подалгебра алгебры AC(1, 4), тогда ?? (H) = H яв-
? ?
ляется подалгеброй алгебры AC(1, 4), причем ранги алгебр H и H совпадают. Из
182 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

предыдущих результатов вытекает, что если ?1 , . . . , ?s — полная система инва-
риантов алгебры H, то ?(?1 ), . . . , ?(?s ) — полная система инвариантов алгебры
H. Анзац ?s = ?(?1 , . . . , ?s?1 ), соответствующий подалгебре H, редуцирует урав-
нение (?) к дифференциальному уравнению F (?1 , . . . , ?s?1 , ?, ?1 , . . . , ?s?1 ) = 0,
содержащему только переменные ?1 , . . . , ?s?1 , функцию ? и частные произво-
дные ?1 , . . . , ?s?1 от ? по переменным ?1 , . . . , ?s?1 соответственно. Анзац ?(?s ) =
?
?(?(?1 ), . . . , ?(?s?1 )) = 0, соответствующий подалгебре H, редуцирует уравнение
(??) к дифференциальному уравнению F (?(?1 ), . . . , ?(?s?1 ), ?, ?1 , . . . , ?s?1 ) = 0,
имеющему тот же вид, что и предыдущее. Это утверждение вытекает из равен-
ства
4m 1
u2 ? u2 ? u2 ? u2 ? 1 = ? (?v)2
vt +
0 1 2 3
(m + vt )2 2m
и соотношений
v
m ? vt 2
ua = ?
u0 = , va , a = 1, 2, 3,
m + vt m + vt
которые связывают производные функций u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ) и v = ?1 u.

1. Fushchych W.I., Shtelen W.M., The symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal
equation, Lettere al Nuovo Cimento, 1982, 34, № 16, 498–502.
2. Фущич В.И., Федорчук В.М., Федорчук И.М., Подгрупповая структура обобщенной группы
Пуанкаре и точные решения некоторых нелинейных волновых уравнений, Препринт № 86.27,
Киев, Ин-т математики АН УССР, 1986, 36 с.
3. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 15,
P. 3645–3656.
4. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах конформной группы пространства
Минковского R1,n , Препринт № 88.34, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1988, 48 с.
5. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 183–200.

Связные подгруппы
конформной группы C(1, 4)
А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ
Предложен метод описания максимальных подалгебр ранга r, 1 ? r ? 4, конформ-
ной алгебры AC(1, 4), являющейся максимальной алгеброй инвариантности уравне-
ния эйконала. С помощью этого метода проведена классификация с точностью до
C(1, 4)-эквивалентности всех максимальных подалгебр L ранга 1, 2, 3 и 4 алгебры
AC(1, 4), удовлетворяющих условию L ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 , где V — пространство
трансляций.

Введение. Уравнение эйконала
2 2 2 2
?u ?u ?u ?u
? ? ? (1)
=1
?x0 ?x1 ?x2 ?x3
инвариантно относительно конформной группы C(1, 4) пространства Минковского
R1,4 с метрикой x2 ? x2 ? x2 ? x2 , где x4 = u [1]. Применение методов группового
0 1 3 4
анализа для построения точных решений уравнения (1) связано с задачей выделе-
ния в группе C(1, 4) связных подгрупп, удовлетворяющих заданным требованиям.
Изучение связных подгрупп группы C(1, 4) сводится к изучению подалгебр соо-
тветствующей алгебры Ли AC(1, 4). Систематическое изучение подалгебр алгебр
преобразований квантовой механики начато в основополагающей работе Патеры,
Винтериитца и Цассенхауза [2], в которой предложен метод для описания отно-
сительно определенной сопряженности классов подалгебр конечномерной алгебры
Ли с нетривиальным разрешимым идеалом и, в частности, с нетривиальным абе-
левым идеалом.
Этим методом проведена классификация подалгебр произвольных веществен-
?
ных трех- и четырехмерных алгебр Ли [3] и таких алгебр: AP (1, 3) [2], AP (1, 3) [4],
?
AP (1, 2) [5], AE(3) [6], AO(1, 4) [7], AO(2, 3) [8], AOpt(1, 2) [8], AOpt(1, 3) [9],
AP (1, 4) [10–13]. Подалгебры конформной алгебры AC(1, 4) изучены с точностью
до C(1, 4)-сопряженности в работе [14].
В настоящей работе предложен новый метод для классификации подалгебр
алгебры инвариантности AC(1, 4) уравнения (1). Он основан на том, что подал-
гебры алгебры AC(1, 4) изучаются с точностью до C(1, 4)-эквивалентности. Две
подалгебры L1 , L2 ? AC(1, 4) называются эквивалентными, если для некоторого
g ? C(1, 4) подалгебры gL1 g ?1 и L2 обладают одними и теми же инвариантами.
Классификацию всех подалгебр конформной алгебры проводим по рангам. Две
максимальные подалгебры L1 , L2 данного ранга r эквивалентны тогда и только
тогда, когда L1 и L2 C(1, 4)-сопряжены. Таким образом, в классе всех подал-
гебр алгебры AC(1, 4), эквивалентных между собой, существует с точностью до
C(1, 4)-сопряженности только одна максимальная подалгебра. В работе предложен
метод, с помощью которого подалгебры данного рода можна полностью описать.
Укр. мат. журн., 1991, 43, № 7–8, С. 870–884.
184 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Указанный метод основан на разложении пространства трансляций в ортогональ-
ную сумму подпространств и на разбиении множества всех подалгебр алгебры
AC(1, 4) на классы, каждый из которых характеризуется изотропным рангом. В
ходе решения задачи получено также описание максимальных подалгебр расши-
?
ренной алгебры Пуанкаре AP (1, 4) и решена задача о конформной сопряженности
?
подалгебр алгебры AP (1, 4).
2. Конформная группа C(1, 4) и ее алгебра Ли. Пусть R1,4 — пространство
Минковского с метрикой g?? , где g?? = 0 при ? = ?, ?, ? = 0, 1, . . . , 4, g00 =
?g11 = · · · = ?g44 = 1. Отображение xi = xi (y0 , y1 , . . . , y4 ), i = 0, 1, . . . , 4, области
U ? R1,4 в U называется конформным, если

?xk kl ?xl
g = ?(x)g?? ,
?y? ?y?

где ?(x) = 0, x = (x1 , . . . , x4 ). Множество всех конформных преобразований про-
странства R1,4 образует группу C(1, 4).
Пусть O(2, 5) — группа изометрий псевдоевклидова пространства R2.5 с метри-
кой ?ab , где ?ab = 0 при a = b, a, b = 1, 2, . . . , 7, ?11 = ?22 = ??33 = · · · = ??77 = 1.
Известно (см., например [14]), что существует гомоморфизм ?: O(2, 5) > C(1, 4),
сопоставляющий матрице C ? O(2, 5) конформное преобразование ?C пространс-
тва R1,4 . Ядро гомоморфизма ? состоит из ±E7 , где E7 — единичная матрица
порядка 7. Поэтому часто отождествляют C(1, 4) c O(2, 5).
Гомоморфизм ?: O(2, 5) > C(1, 4) индуцирует изоморфизм f алгебры AO(2, 5)
на алгебру AC(1, 4). Если отождествить алгебры AO(2, 5) и AC(1, 4), то группа
O(2, 5)-автоморфизмов алгебры AO(2, 5) совпадает с группой C(1, 4)-автоморфиз-
мов алгебры AC(1, 4). Выпишем изоморфизм f в явном виде. Пусть Iab — матрица
порядка 7, имеющая единицу на пересечении a-й строки и b-го столбца и нули на
всех остальных местах (a, b = 1, . . . , 7). Базис алгебры AO(2, 5) образуют матрицы
?12 = I12 ? I21 , ?ab = ?Iab + Iab , a < b; a, b = 3, . . . , 7, ?ia = ?Iia ? Iai , i = 1, 2;
a = 3, . . . , 7. Они связаны такими коммутационными соотношениями:

[?ab ?cd ] = ?ad ?bc + ?bc ?ad ? ?ac ?bd ? ?bd ?ac , a, b, c, d = 1, . . . , 7.

Базис алгебры AC(1, 4) составляют генераторы псевдовращений J?? , ?, ? =
0, 1, . . . , 4, трансляций (сдвигов) P? , нелинейных конформных преобразований K? ,
? = 0, 1, . . . , 4, и дилатации D. Они удовлетворяют коммутационным соотношени-
ям [14]

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? , [P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? ,
[P? , P? ] = 0, [K? , J?? ] = g?? K? ? g?? K? , [K? , K? ] = 0, (2)
[D, P? ] = P? , [D, K? ] = ?K? , [D, J?? ] = 0, [K? , P? ] = 2(g?? D ? J?? ),

где g00 = ?g11 = · · · = ?g44 = 1, g?? = 0 при ? = ?, ?, ?, ?, ? = 0, 1, . . . , 4.
Изоморфизм f : AO(2, 5) > AC(1, 4) задается таким образом:

f (??+2,?+2 ) = J?? , f (?1,?+2 ? ??+2,7 ) = P? ,
f (?1,?+2 + ??+2,7 ) = K? , f (?17 ) = ?D, ?, ? = 0, 1, . . . , 4.
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 185

В дальнейшем будем отождествлять прообраз с образом при изоморфизме f . В свя-
зи с этим получаем два набора обозначений для одного и того же базиса, а именно:
1
??+2,?+2 = J?? , ?1,?+2 = (P? + K? ),
2 (3)
1
= (K? ? P? ), ?17 = ?D,
??+2,n+3 ?, ? = 0, 1, . . . , 7; ? < ?.
2
Пусть Q1 , . . . , Q7 — ортонормированный базис псевдоевклидова пространства
R2,5 с метрикой
?(X, X) = x2 + x2 ? x2 ? · · · ? x2 , X = xi Qi .
1 2 3 5

Нормализатор одномерного вполне изотропного пространства Q1 + Q7 в алгебре
?
AO(2, 5) совпадает с расширенной алгеброй Пуанкаре AP (1, 4) = P0 , P1 , . . . , P4 ?
(AO(1, 4) ? D ), а нормализатор двумерного изотропного пространства Q1 +
Q7 , Q2 + Q6 совпадает с алгеброй
AOpt(1, 4) = M, P1 , P2 , P3 , G1 , G2 , G3 ? (AO(3) ? C, S, T, Z ),
где
AO(1, 4) = J?? | ?, ? = 0, 1, . . . , 4 , AO(3) = J?? | a, b = 1, 2, 3 ,
M = P0 + P4 , Ga = J0a ? Ja4 , a = 1, 2, 3, C = ?(J04 + D),
1 1
Z = J04 ? D, S = (K0 + K4 ), T = (P0 ? P4 ).
2 2
Алгебра AOpt(1, 4) называется оптической алгеброй пространства R1,4 .
?
Базисные элементы алгебры AP (1, 4) удовлетворяют коммутационным соотно-
шениям (2). Генераторы алгебры AOpt(1, 4) удовлетворяют следующим коммута-
ционным соотношениям:
[Ga , Jbc ] = gab Gc ? gac Gb , [Ga , Gb ] = 0, [Pa , Gb ] = ?ab M,
[Ga , M ] = [Pa , M ] = [Jab , M ] = 0. [C, S] = 2S, [C, T ] = ?2T, [T, S] = C,
[Z, M ] = ?2M, [Z, Ga ] = ?Ga , [Z, Pa ] = ?Pa ,
[Z, C] = [Z, S] = [Z, T ] = 0, [C, Ga ] = Ga , [C, Pa ] = ?Pa , [C, M ] = 0,
[S, Ga ] = 0, [S, Pa ] = ?Ga , [S, M ] = 0, [T, Ga ] = Pa , [T, Pa ] = 0,
[T, M ] = 0, a, b, c = 1, 2, 3.
3. Алгебра инвариантности уравнения эйконала. В работе [1] доказано, что
максимальной алгеброй инвариантности уравнений эйконала (1) является алгебра
Ли AC(1, 4) конформной группы C(1, 4) пространства Минковского R1,4 с метри-
кой x2 ? x2 ? x2 ? x2 ? x2 , где x4 = u. Базис алгебры AC(1, 4) составляют такие
0 1 2 3 4
векторные поля:
P? = ?? , J?? = g ?? x? ?? ? g ?? x? ?? , D = ?x? ?? ,
K? = ?2(g ?? x? )D ? (g ?? x? x? )?? ,
где g00 = ?g11 = ?g22 = ?g33 = ?g44 = 1, g?? = 0 при ? = ?, ?, ?, ? = 0, 1, 2, 3, 4.
Пусть G — подгруппа Ли группы C(1, 4). Вещественная функция f (x) =
f (x0 , x1 , . . . , x4 ), определенная на некоторой области U пространства R1,4 и не
186 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

являющаяся тождественно постоянной, называется инвариантом группы G, если
f (x) постоянна на G-орбите каждой точки x ? U . Функцию f (x) называют также
инвариантом алгебры Ли AG группы G. Пусть r? = r? (?) — общий ранг каса-
тельного отображения ? группы G [15]. Число r? (AG) = r? называется рангом
алгебры AG. Пусть L1 и L2 — подалгебры алгебры AC(1, 4). Если для некоторого
g ? C(1, 4) подалгебры gL1 g ?1 и L2 обладают одними и теми же инвариантами,
то L1 и L2 будем называть C(1, 4)-эквивалентными.
Множество подалгебр алгебры AC(1, 4) = AO(2, 5) разобьем на три класса:
1) подалгебры, не имеющие в R2,5 инвариантных вполне изотропных подпро-
странств; 2) подалгебры, имеющие в R2,5 инвариантное вполне изотропное под-
пространство размерности 1; 3) подалгебры, имеющие в R2,5 , инвариантное впол-
не изотропное подпространство размерности 2 и не имеющее в R2,5 инвариантных
вполне изотропных подпространств размерности один. Подалгебры второго клас-
?
са являются подалгебрами расширенной алгебры Пуанкаре AP (1, 4). Подалгебры
третьего класса являются подалгебрами оптической алгебры AOpt(1, 4) и не сопря-
?
жены с подалгебрами алгебры AP (1, 4). Основная трудность — в задаче классифи-
?
кации подалгебр расширенной алгебры Пуанкаре AP (1, 4). Решение такой задачи
опирается на следующий алгоритм построения максимальных подалгебр ранга r
?
алгебры AP (1, 4), не содержащихся в AP (1, 4) [16].
1. Для максимальной подалгебры K ? AP (1, 4) ранга r ? 1 находим ее нор-
?
мализатор в алгебре AP (1, 4). Пусть, например. NorAP (1,4) K = K + N, где N —
?
подалгебра.
2. Проводим классификацию с точностью до группы внутренних автоморфизмов
алгебры N всех одномерных подалгебр алгебры N с ненулевой проекцией на D .
3. Если D1 + X1 , . . . , Dt + Xt — все одномерные подалгебры алгебры N, то
K ? D1 + X1 , . . . , K ? Dt + Xt — все расширения ранга r подалгебры K алгебры
?
AP (1, 4), содержащие подалгебру K.
В настоящей работе используются следующие обозначения: V = P0 , P1 , . . .,
?
P4 — пространство трансляций расширенной алгебры Пуанкаре AP (1, 4); ?0 , ? ,
??
?
?
? — проектирования AP (1, 4) на J04 , D , AO(3), AO(1, 4) соответственно; ?,
?
? — проектирования AOpt(1, 4) на AO(3) и D, S, T, Z соответственно.
?
Пусть L — произвольная подалгебра алгебры AC(1, 4). Если P0 ? L или
P0 + P4 ? L, то уравнение (1) не имеет вещественных решений, инвариантных
относительно L. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что все рассматрива-
емые подалгебры L ? AC(1, 4) удовлетворяют условию L ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 .
4. Подалгебры класса 0 алгебры AC(1, 4). Подалгебру F ? AO(2, 5) отне-
сем к классу 0, если она не имеет в R2,5 инвариантных вполне изотропных подпро-

<< Предыдущая

стр. 45
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>