<< Предыдущая

стр. 46
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

странств. Используя описание неприводимых подалгебр алгебр AO(2, 1), AO(2, 3)
и AO(2, 2), а также соотношения (3), доказываем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть F — подалгебра класса 0 алгебры AC(1, 4). Тогда справедли-
вы следующие утверждения:
a) если F — максимальная подалгебра ранга 1, то она сопряжена с одной
из таких алгебр:

1) F1 = P0 + K0 + ?J12 , ? > 0, ? = 2; 2) F2 = P0 + K0 ;
3) F3 = P0 + K0 + ?J12 + ?J34 , 0 < ? ? ?, ?, ? = 2;
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 187

b) если F — максимальная подалгебра ранга 2, то она сопряжена с одной
из таких алгебр:

1) F1 = P0 + K0 , J12 ; 2) F2 = P0 + K0 , J12 + ?J34 , 0 < ? ? 1;
3) F3 = J12 + ?(P0 + K0 ), J34 + ?(P0 + K0 ) , ? > 0, ? ? 0,
2? = 1 при ? = 0;

c) если F — максимальная подалгебра ранга 3, то она сопряжена с одной
из таких алгебр:

1) F1 = P1 + K1 + 2J03 , P2 + K2 + 2J04 , J12 + J34 ;
2) F2 = AO(3) ? P0 + K0 ; 3) F3 = P0 + K0 , J12 , J34 ;
4) F4 = P0 ? K0 ? ?(K4 ? P4 ), J12 , J13 , J23 , ? > 0, ? = 1;

d) если F — максимальная подалгебра ранга 4, то она сопряжена с одной
из таких алгебр:

1) F1 = P0 + K0 ? 2J12 ? 2J34 , P1 + K1 + 2J02 , P3 + K3 + 2J04 , J13 + J24 ;
v
2) F2 = P0 + K0 ? 4J23 , P2 + K2 3(P1 + K1 ) + 2J03 ,
v
?P3 ? K3 + 2J02 ? 2 3J01 , K4 ? P4 ;
3) F3 = J12 ? J34 + ?(P0 + K0 ) ?
? J12 + J34 , J13 ? J24 , J14 + J23 , ? > 0;
4) F4 = P0 + K0 ? AO(3) ? K4 ? P4 ;
5) F5 = P0 + K0 ? 2J12 + J34 ,
v v
3 3
J13 + J24 ? (K4 ? P4 ), J23 ? J14 + (K3 ? P3 ) ;
2 2
6) P0 + K0 ? AO(4);
7) J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 , K1 ? P1 , K2 ? P2 , K3 ? P3 , K4 ? P4 ;
8) P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? J03 , J04 , J34 ;
9) P1 + K1 , P2 + K2 , J12 ? K3 ? P3 , K4 ? P4 , J34 .

?
5. Одномерные подалгебры алгебры AP (1, 4). Пусть V = P0 , P1 , . . ., P4 —
пространство трансляций алгебры Пуанкаре AP (1, 4). Подалгебра L ? AO(1, 4)
называется подалгеброй класса 0, если V не содержит вполне изотропного под-
пространства, инвариантного относительно L. Будем говорить, что подалгебра
L ? AO(1, 4) относится к классу 1 или имеет изотропный ранг 1, если ранг ма-
ксимального вполне изотропного подпространства V , инвариантного относительно
L, равен 1. Для подалгебры класса 0 изотропный ранг полагаем равным нулю.
Очевидно, любая подалгебра алгебры AO(1, 4) имеет изотропный ранг 0 или 1.
Аналогично определяются эти понятия и для подалгебры алгебры AO(1, 4).
Пусть L — подалгебра класса 0 алгебры AO(1, 4). Тогда пространство V явля-
ется прямой ортогональной суммой неприводимых L — подпространств V0 , V1 , . . .,
Vs , каждое из которых невырождено. По теореме Витта можно предполагать, что
V0 = P0 , P1 , . . . , Pk0 , V1 = Pk0 +1 , . . . , Pk0 +k1 , . . ., Vs = P?+1 , . . . , P?+ks , где
? = k0 + k1 + · · · + ks?1 , ? + ks = 4, k0 ? 0, ki ? 1, i = 1, . . . , s. Здесь V0
188 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

— псевдоевклидово пространство типа (1, k0 ), если k0 = 0, Vi — евклидово про-
странство размерности ki , i = 1, . . . , s. Естественно возникает задача определе-
ния подобного разложения для подалгебры L класса 1 алгебры AO(1, 4). Всегда
можно предполагать, что такая подалгебра L оставляет инвариантным подпро-
странство V(1) = P0 + P4 , P1 , P2 , P3 . Пространство V(1) с точностью до O(1, 4)-
сопряженности является прямой ортогональной суммой L-инвариантных подпро-
странств U и W , удовлетворяющих двум условиям [16]:
а) пространство U изотропно и является ортогональной суммой U = U1 +· · ·+Us
L-инвариантных подпространств U1 = P0 + P4 ? V1 , . . ., Us = P0 + P4 ? Vs , где
V1 = P1 , . . . , Pk1 , . . ., Vs = P?+1 , . . . , P?+ks , ? = k1 + · · · + ks?1 ; каждое из
подпространств U1 содержит только следующие L-инвариантные подпространства:
0, P0 + P4 , Ui ;
b) пространство W невырождено и является прямой ортогональной суммой
подпространств W1 = Pl0 +1 , . . . , Pl0 +l1 , . . ., Wt = P?+1 , . . . , P?+lt , t ? 0, l0 =
? + ks , ? = l0 + · · · + lt?1 , ? + lt = 3; каждое из подпространств Wi неприводимо и
инвариантно относительно L.
Отметим, что максимальная подалгебра класса 1 алгебры AO(1, 4), оставляю-
щая V(1) инвариантным, совпадает с алгеброй G1 , G2 , G3 ? (AO(3) ? J04 ), где
Ga = J0a ? Ja4 , AO(3) = J12 , J13 , J23 , a = 1, 2, 3.
Применим эти результаты к задаче классификации максимальных подалгебр
?
данного ранга алгебры AP (1, 4). В настоящем пункте рассматривается классифи-
?
кация одномерных подалгебр алгебры AP (1, 4).
?
Теорема 2. С точностью до P (1, 4)-сопряженности одномерные подалгебры
?
алгебры AP (1, 4) исчерпываются следующими алгебрами:

1) L1 = J12 ; 2) L2 = J12 + P0 ; 3) L3 = J12 + P0 + P4 ;
4) L4 = J12 + P3 ; 5) L5 = J12 + ?J34 , 0 < ? ? 1;
6) L6 = J12 + ?J34 + P0 ; 7) L7 = G1 ; 8) L8 = G1 + P2 ;
9) L9 = G1 + P0 ? P4 ; 10) L10 = J12 + G3 ;
11) L11 = J12 + G3 + P0 ? P4 ; 12) L12 = J04 ;
13) L13 = J04 + P1 ; 14) L14 = J12 + cJ04 , c > 0;
15) L15 = J12 + cJ04 + P3 , c > 0; 16) L16 = J12 + ?D , ? > 0;
17) L17 = J12 + J34 + ?D , ? > 0;
18) L18 = J12 + cJ34 + ?D , c > 0, ? > 0; 19) L19 = J04 + ?D , ? > 0;
20) L20 = J12 + cJ04 + ?D , c > 0, ? > 0; 21) L21 = G3 + D ;
22) L22 = J12 + G3 + ?D , ? > 0; 23) L23 = J04 + D + M ;
24) L24 = J12 + ?(J04 ) + D + M ) , ? > 0; 25) L25 = D ;
26) L26 = P1 .

Доказательство. Пусть одномерная подалгебра L содержится в AP (1, 4) и отно-
сится к классу 0. Тогда пространство V является прямой суммой неприводимых
L-подпространств. С точностью до O(1, 4)-сопряженности V = P0 ? P1 , P2 ?
P3 , P4 . Следовательно, L = J12 + ?34 + ?P0 . Если ? = 0, то автоморфизм вида
exp(ad tD) отображает L на J24 + ?J34 + ?P0 , ? = ±1. Так как автоморфизм,
соответствующий матрице diag [?1, 1, 1, 1, 1], отображает алгебру J12 + ?J34 ? P0
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 189

на алгебру J12 + ?34 + P0 , то в рассматриваемом случае L сопряжена либо с L5 ,
либо с L6 .
Пусть далее одномерная подалгебра L, являющаяся подалгеброй алгебры
AP (1, 4), относится к классу 1 и ?0 (L) = 0. Если V(1) = P0 + P4 ? P1 , P2 ? P3 ,
?
то ?(L) = J12 . Поэтому L = J12 + X , где X ? P0 , P3 , P4 . В силу теоремы
Витта существует такая изометрия пространства P0 , P3 , P4 , которая отобража-
ет X в один из генераторов ?P0 , ?P3 , ?(P0 + P4 ). Рассмотрим, например, алге-
бру J12 + ?P0 , ? = 0. Автоморфизм вида exp(ad tD) отображает ее на алгебру
J12 + ?P0 , ? = ±1. Если ? = ?1, то автоморфизм, соответствующий матрице
diag [?1, 1, 1, 1, 1], отображает алгебру J12 + P0 на алгебру J12 + P0 . В двух
?
других случаях показываем, что L P (1, 4)-сопряжена с алгебрами J12 + P3 и
J12 + P0 + P4 соответственно. Аналогично, если пространство V(1) допускает ра-
зложение V(1) = P0 + P4 , P1 ? P2 ? P3 , то получаем алгебры G1 , G1 + P2
и G1 + P2 и G1 + P0 ? P4 , а если V(1) = P0 + P4 , P3 ? P1 , P2 , — то алгебры
J12 + G3 , J12 + G3 + P0 ? P4 .
Пусть L является подалгеброй алгебры AP (1, 4) и ? (L) = J04 . Допустим,
?
?
например, что V(1) = P0 + P4 ? P1 , P2 ? P3 . Тогда с точностью до P (1, 4)-
сопряженности L = J12 + cJ04 + X , X = ?P3 , c = 0. Автоморфизм, соответству-
ющий, матрице diag [1, T, 1, 1],

01
T=
10

отображает L на J12 ?cJ04 +?P3 . Следовательно, можно предполагать, что c > 0.
Как и выше, нетрудно убедиться, что ? = 1.
Рассмотрим, наконец, случай, когда проекция L на D совпадает с D . Тогда
L = D + X , где X ? AP (1, 4). Поэтому задача сводится к исследованию всех
случаев, изложенных выше. Если X = J12 + cJ34 + ?P0 , то очевидно, алгебра
L сопряжена с алгеброй J12 + cJ34 + ?D , ? > 0. Аналогично рассматриваются
остальные случаи. Теорема доказана.
Так как каждая одномерная подалгебра является максимальной подалгеброй
ранга 1, то доказанная теорема дает полную классификацию максимальных подал-
? ?
гебр ранга 1 алгебры AP (1, 4) с точностью до P (1, 4)-сопряженности.
?
6. Подалгебры ранга 2 алгебры AP (1, 4). В настоящем пункте проводим
?
классификацию максимальных подалгебр ранга 2 алгебры AP (1, 4) с точностью
?
до P (1, 4)-сопряженности, используя одномерные подалгебры алгебры AP (1, 4),
классификация которых изложена в п. 5. Указанная задача решается в три этапа.
a) Подалгебры класса 0 алгебры AP (1, 4). Все максимальные подалгебры ранга
2, относящиеся к классу 0, описываются следующим предложением.
Предложение 1. Пусть F — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры AP (1, 4),
?
относящаяся к классу 0, и F ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда она P (1, 4)-сопряжена
с одной из следующих алгебр:

1) F1 = J12 , J34 ; 2) F2 = J12 + P0 , J34 + ?P0 , ? ? 0;
3) F3 = J03 , J04 , J34 .

Доказательство. Пусть F — максимальная подалгебра ранга 2, относящаяся к
классу 0, и F ? V = 0. Тогда пространство V является прямой ортогональной
190 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

суммой неприводимых F -подпространств. Допустим, например, что V = P0 ?
P1 , P2 ? P3 , P4 . Из условия F ? V = 0 вытекает, что F = J12 + ?P0 , J34 + ?P0 .
Если ? = ? = 0, то получаем алгебру F = J12 , J34 . В случае ?2 + ? 2 = 0 можно
предполагать, что ? = 0. С помощью автоморфизма вида exp(ad tD) алгебру F ото-
бражаем на алгебру F = J12 +?P0 , J34 +? P0 , где ? = ±1. Автоморфизм, соответ-
ствующий матрице diag [?1, 1, 1, 1, 1], отображает F на F = J12 +P0 , J34 +? P0 .
Всегда можно считать, что ? 2 ? 0. Разложению V = P1 ? P2 ? P0 , P3 , P4 про-
странства V соответствует подалгебра F3 предложения 1. Предложение доказано.
b) Подалгебры класса 1 алгебры AP (1, 4). Вначале проведем классификацию
подалгебр алгебры AP (1, 4), проекция которых на J04 равна 0. Описывает такие
подалгебры следующее предложение.
Предложение 2. Пусть K — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры
AP (1, 4), относящаяся к классу 1, ?0 (K) = 0 и K ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 . То-
?
?
гда K P (1, 4)-сопряжена с одной из следующих, алгебр:
1) K1 = G1 + P3 , G2 + ?P2 + ?P3 , ? > 0 ? ? = 0, ? ? 0;
2) K2 = G1 , G2 + P2 ; 3) K3 = G1 + P0 ? P4 , P2 ;
4) K4 = G1 + P2 , P3 ; 5) K5 = G1 , P3 ; 6) K6 = G3 , J12 ;
7) K7 = G3 + P0 ? P4 , J12 ; 8) K8 = P2 , P3 , J23 ; 9) K9 = G1 , G2 , J12 ;
10) K10 = J12 + P0 + P4 , G3 + ?(P0 ? P4 ) , ? ? 0;
11) K11 = J12 , J13 , J23 ; 12) K12 = J12 , P3 ;
13) K13 = J12 + P0 + P4 , P3 ; 14) K14 = J12 + P3 , P4 ;
15) K15 = J12 + P0 , P3 .
Доказательство. Пусть K — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры
AP (1, 4), K ? V = 0 и V(1) = P0 + P4 , P1 , P2 , P3 – разложение пространс-
тва V(1) , удовлетворяющее условиям п. 5. Тогда K = G1 , G2 , G3 ? AO(3), где
AO(3) = J12 , J13 , J23 . Однако ранг алгебры K равен 3, что противоречит усло-
вию предложения. Пусть V(1) = P0 + P4 , P1 , P2 ? P3 . В этом случае G1 , G2 ? K.
В силу максимальности K имеем J12 ? K, а потому K = G1 , G2 , J12 , и алгебра
K относится к типу 9 предложения 2.
Пусть V(1) = P0 + P4 , P1 ? P0 + P4 , P2 ? P3 . Если проекция K на P3 равна
?
0, то с точностью до P (1, 4)-сопряженности K обладает базисом G1 , G2 + P2 и
потому относится к типу 2 предложения 2. Пусть проекция K на P3 отлична от
нуля. Тогда K относится к типу 1 предложения 2.
Пусть V(1) = P0 + P4 , P3 ? P1 , P2 . Алгебра K содержит генераторы G3 +
?(P0 ? P4 ) и J12 + ?(P0 + P4 ). В результате алгебра K относится к типам 6, 7, 10
предложения 2.
Случай K ? V = P3 рассматривается аналогично. Предложение доказано.
Предложение 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры
?
AP (1, 4), ?0 (L) = J04 и L ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда L P (1, 4)-сопряжена
?
с одной из следующих алгебр:
1) L1 = J04 , P1 ; 2) L2 = J12 + cJ04 , P3 , c > 0; 3) L3 = J04 , P12 ;
4) L4 = G3 , J12 + cJ04 , c > 0; 5) L5 = J04 + P2 , P1 ;
6) L6 = J04 + P3 , J12 + ?P3 , ? ? 0; 7) L7 = J04 , J12 + P3 ;
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 191

8) L8 = G3 , J04 + P1 .

Доказательство. Согласно алгоритму, изложенному в п. 2, классификация всех
максимальных подалгебр ранга 2 алгебры AP (1, 4), удовлетворяющих предложе-
нию 3, сводится к нахождению всех неэквивалентных расширений одномерных
подалгебр F ранга 1, для которых ?0 (F ) = 0, с помощью одномерных подалгебр
?
вида J04 + X , X ? AP (1, 4).
1? . Алгебра F = J12 . Нормализатор NorAP (1,4) F1 алгебры F1 в AP (1, 4) сов-
падает с алгеброй F1 ? AP (1, 2), где AP (1, 2) = P0 , P3 , P4 , J03 , J04 , J34 . Поэто-
му задача свелась к нахождению всех одномерных подалгебр алгебры AP (1, 2)
с точностью до P (1, 2)-сопряженности. Алгебра AP (1, 2) содержит только такие
одномерные подалгебры с ненулевой проекцией на J04 : J04 , J04 + ?P3 , ? > 0.
Таким образом, получаем следующие расширения ранга 2 алгебры F1 : J12 , J04 ,
J12 , J04 + ?P3 , ? > 0.
2? . Алгебра F2 = J12 + P3 . Очевидно, NorAP (1,4) F2 = F2 ? P0 , P3 , P4 , J04 .
Алгебра P0 , P3 , P4 , J04 содержит следующие одномерные подалгебры с ненулевой
проекцией на J04 : J04 , J04 + ?P3 , ? ? 0. В результате получаем такие ма-
ксимальные подалгебры ранга 2: J12 + P3 , J04 , J12 + P3 , J04 + ?P3 . Последняя
подалгебра сопряжена с алгеброй J04 + P3 , J12 + ?P3 , ? ? 0.
Остальные случаи рассматриваются аналогично. Предложение доказано.
?
с) Максимальные подалгебры ранга 2 алгебры AP (1, 4). Используя классифи-
кацию подалгебр, изложенную в пп. 6а) и 6b), получаем следующую теорему.
?
Теорема 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры AP (1, 4) и
?
L?V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда L P (1, 4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:

1) F1 –F3 предложения 1; 2) K1 –K15 предложения 2;
3) L1 –L8 предложения 3; 4) J12 , J34 + ?D , ? > 0;
5) J12 , J04 + ?D , ? > 0; 6) J12 , G3 + D ; 7) J12 , D ;
8) J12 + ?J34 , D , 0 ? ? ? 1; 9) J12 + ?J34 , J12 + ?D , 0 ? ? ? 1, ? ? 0;
10) G3 , D ; 11) G3 , J04 + D + M ; 12) G3 , J04 + ?D , ? > 0;
13) G3 , J12 + ?D , ? > 0; 14) G3 , J12 + cJ04 + ?D , c > 0, a > 0;
15) J12 + M, J04 + D ; 16) J12 + ?M, J04 + D + M , ? ? 0;
17) G1 + P2 , J04 ? D ; 18) G1 + P0 ? P4 , J04 ? 2D ; 19) J04 , D ;
20) J04 , J12 + ?D , ? > 0; 21) J12 + cJ04 , D , c > 0;
22) J12 + cJ04 , J04 + ?D , c > 0, ? > 0; 23) P3 , D ;
24) P3 , J12 + ?D , ? > 0; 25) P3 , J04 + ?D , ? > 0;
26) P3 , J12 + cJ04 + ?D , c > 0, ? > 0; 27) P3 , G1 + D ;
28) P3 , J04 + D + M ; 29) P3 , J12 + c(J04 + D + M ) ;
30) G3 + P0 ? P4 , J12 + c(J04 ? 2D) , c > 0.

Теорема доказывается с использованием алгоритма, изложенного в п. 3.
?

<< Предыдущая

стр. 46
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>