<< Предыдущая

стр. 47
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

7. Подалгебры ранга 3 алгебры AP (1, 4). Классификацию максимальных
?
подалгебр ранга 3 алгебры AP (1, 4) проводим по схеме, изложенной в п. 3. Вначале
находим максимальные подалгебры ранга 3, относящиеся к классу 0.
192 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

a) Подалгебры класса 0 алгебры AP (1, 4). Описывает все максимальные подал-
гебры класса 0 следующее предложение.
Предложение 4. Пусть F — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AP (1, 4)
?
и F ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда F P (1, 4)-сопряжена с одной из следующих
алгебр:
1) F1 = J12 , P3 , P4 , J34 ; 2) F2 = J03 , J04 , J34 , J12 ;
3) F3 = J12 + P0 , P3 , P4 , J34 ; 4) F4 = J01 , J02 , J03 , J12 , J13 , J23 ;
5) F5 = J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 ;
Предложение 4 доказывается аналогично предложению 1.
b) Подалгебры класса 1 алгебры AP (1, 4). Докажем следующее предложение.
Предложение 5. Пусть K — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AP (1, 4),
?
относящаяся к классу 1, ?0 (K) = 0 и K ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда K P (1, 4)-
?
сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) K1 = G1 , G2 , J12 , P3 ; 2) K2 = G3 , P1 , P2 , J12 ;
3) K3 = G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 ; 4) K4 = G3 + 2T, P1 , P2 , J12 ;
5) K5 = G1 , G2 + P2 , P3 ; 6) K6 = P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 ;
7) K7 = G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 , ? > 0; 8) K8 = J12 , J13 , J23 , P4 .
Доказательство. Пусть K ? V = 0 и V(1) = P0 + P4 , P1 , P2 ? P3 — разложение
пространства V(1) , удовлетворяющее условиям п. 3. Тогда G1 , G2 ? K и в силу ма-
ксимальности K имеем J12 ? K. Следовательно, K1 = G1 , G2 , J12 ? K и потому
K = K1 ? K . С учетом K ? V = 0 отсюда получаем, что K = 0. Однако, ранг ал-
гебры K1 равен 2, что противоречит условию. Если V(1) = P0 + P4 , P1 , P2 , P3 , то
получаем K = G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 . Если V(1) = P0 + P4 , P1 ? P0 + P4 , P2 ?
P0 + P4 , P3 , то K = G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 .
Случаи K ? V = P3 , K ? V = P1 , P2 рассматриваются аналогично. Предло-
жение доказано.
Предложение 6. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AP (1, 4),
?
относящаяся к классу 1, ?0 (L) = J04 и L?V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда L P (1, 4)-
?
сопряжена с одной из следующих, алгебр:
1) L1 = J04 , P1 , P2 , J12 ; 2) L2 = J12 , J13 , J23 , J04 ;
3) L3 = J04 + P3 , P1 , P2 , J12 ; 4) L4 = J04 + P2 , G1 , P3 ;
5) L5 = G1 , G2 , J12 , J04 + P3 ; 6) L6 = J04 , J12 , P3 .
Предложение 6 доказывается аналогично предложению 3.
с) Максимальные подалгебры ранга 3 алгебры AP (1, 4). Используя классифи-
кацию подалгебр, изложенную в пп. 7а) и 7b), а также классификацию максималь-
ных подалгебр ранга 2 алгебры AP (1, 4), изложенную в п. 6, получаем следующую
теорему.
?
Теорема 4. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AP (1, 4) и
?
L?V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда L P (1, 4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) F1 –F5 предложения 4; 2) K1 –K8 предложения 5;
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 193

3) L1 –L6 предложения 6; 4) J12 , J34 , D ;
5) J03 , J04 , J34 , D ; 6) J03 , J04 , J34 , J12 + ?D , ? > 0;
7) G1 + P3 , G2 + ?P2 + ?P3 , J04 ? 2D , ? > 0 ? ? = 0, ? > 0;
8) G1 , G2 + P2 , J04 ? D ; 9) G1 + P0 ? P4 , P2 , J04 ? 2D ;
10) G1 + P2 , P3 , J04 ? D ; 11) G1 , P3 , D ; 12) G1 , P3 , J04 + ?D , ? > 0;
13) G1 , P3 , J04 + D + M ; 14) G3 , J12 , D ; 15) G3 , J12 , J04 + ?D , ? > 0;
16) G3 , J12 , J04 + D + M ; 17) G3 + P0 ? P4 , J12 , J04 ? 2D ;
18) P2 , P3 , J23 , D ; 19) P2 , P3 , J23 , J04 + ?D , ? > 0;
20) P2 , P3 , J23 , J04 + D + M ; 21) G1 , G2 , J12 , D ; 21) G1 , G2 , J12 , D ;
22) G1 , G2 , J12 , J04 + ?D , ? = 0; 23) G1 , G2 , J04 + D + M ;
24) J12 , J13 , J33 , D ; 25) J12 , J13 , J23 , J04 + ?D , ? > 0;
26) J12 , J13 , J23 , J04 + D + M ; 27) J12 , P3 , D ;
28) J12 , P3 , J04 + ?D , ? > 0; 29) J12 , P3 , J04 + D + M ;
30) J12 + M, P3 , J04 + D ; 31) J12 + ?M, P3 , J04 + D + M , ? > 0;
32) J04 , P1 , D ; 33) J12 + cJ04 , P3 , D , c > 0;
34) J12 + cJ04 , P3 , J04 + ?D , c > 0, ? > 0; 35) J04 , J12 , D ;
36) G3 , J12 + cJ04 , D , c > 0; 37) G3 , J12 + cJ04 , J04 + ?D , c > 0, ? = 0.
Доказательство. Если L ? AP (1, 4), то справедливость теоремы вытекает из
предложений 4–6. Проведем классификацию максимальных подалгебр ранга 3
?
алгебры AP (1, 4), проекция которых на D совпадает с D . Согласно алгори-
тму, изложенному в п. 3, для каждой максимальной подалгебры ранга 2 алгебры
AP (1, 4) необходимо найти все ее неэквивалентные расширения ранга 3 в алгебре
?
AP (1, 4). Все вычисления приведены в таблице. Теорема доказана.
?
8. Подалгебры ранга 4 алгебры AP (1, 4). Классификацию максимальных
?
подалгебр ранга 4 алгебры AP (1, 4) проводим по схеме, изложенной в п. 3. В ре-
зультате получим следующую теорему.
?
Теорема 5. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 4 алгебры AP (1, 4) и
?
L?V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда L P (1, 4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) AO(1, 4); 2) AO (1, 3) ? P3 , где AO (1, 3) = J?? | ?, ? = 0, 1, 2, 4);
3) J03 , J04 , J34 , P1 , P2 , J12 ; 4) P1 , P2 , P3 , P4 , J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 ;
5) J12 , P3 , P4 , J34 , D ; 6) J01 , J03 , J13 , P4 , D ; 7) J03 , J04 , J34 , J12 , D ;
8) J01 , J02 , J03 , J12 , J13 , J23 , D ; 9) J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , D ;
10) G1 , G2 , J12 , P3 , D ; 11) G3 , P1 , P2 , J12 , D ;
12) G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , D ; 13) P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 , D ;
14) J04 , P1 , P2 , J12 , D ; 15) J12 , J13 , J23 , J04 , D ;
16) J04 , J12 , P3 , D ; 17) G1 , G2 , J12 , P3 , J04 + ?D , ? > 0;
18) G1 , G2 , J12 , P3 , J04 + D + M ;
19) G3 , P1 , P2 , J12 , J04 + ?D , ? > 0; 20) G3 , P1 , P2 , J12 , J04 + D + M ;
21) G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 + ?D , ? = 0;
194




Одномерные подалгебры
Нормализатор подалгебры
№ Максимальные подалгебры
нормализатора с нулевой
?
п/п ранга 2 алгебры AP (1, 4) в AP (1, 4)
проекцией на D
D
1 F1 = J12 , J34 F1 ? P0 , D
2 F3 = J03 , J04 , J34 D , J12 + ?D , ? > 0
F2 ? P1 , P2 , J12 , D
3 K1 = G1 + P3 , G2 + ?P2 + ?P3 K1 ? P0 + P4 , J04 ? 2D J04 ? 2D
4 K2 = G1 , G2 + P2 K2 ? P3 , P0 + P4 , J04 ? D J04 ? D
5 K3 = G1 + P0 ? P4 , P2 K3 ? P3 , P0 + P4 , J04 ? 2D J04 ? 2D
6 K4 = G1 + P2 , P3 K4 ? P3 , P0 + P4 , J04 ? D J04 ? D
7 K5 = G1 , P3 D , J04 + ?D , ? > 0, J04 + D + M
K5 ? P2 , P0 + P4 , J04 , D
8 K6 = G3 , J12 D , J04 + ?D , ? > 0, J04 + D + M
K6 ? P0 + P4 , J04 , D
9 K7 = G3 + P0 ? P4 , J12 K7 ? P0 + P4 , J04 ? 2D J04 ? D
10 K8 = P2 , P3 , J23 D , J04 + ?D , ? > 0, J04 + D + M
K8 ? P0 , P1 , P4 , J04 , D
11 K9 = G1 , G2 , J12 D , J04 + ?D , ? > 0, J04 + D + M
K9 ? P3 , P0 + P4 , J04 , D
12 K11 = J12 , J13 , J23 D , J04 + ?D , ? > 0, J04 + D + M
K11 ? P0 , P4 , J04 , D
13 K12 = J12 , P3 D , J04 + ?D , ? > 0, J04 + D + M
K12 ? P0 , P4 , J04 , D
14 K13 = J12 + M, P3 J04 + D , J04 + D + M
K13 ? P0 , P4 , J04 + D
D
15 L1 = J04 , P1 L 1 ? P2 , P 3 , D
16 L2 = J12 + cJ04 , D D , J04 + ?D , ? > 0
L2 ? J04 , D
D
17 L3 = J04 , J12 L 3 ? P3 , D
18 L4 = G3 , J12 + cJ04 L4 ? J04 , D D , J04 ? ?D , ? > 0
А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 195

22) G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 , J04 + D + M ;
23) P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 , J04 + ?D , ? > 0;
G3 + P0 ? P4 , P1 , P2 , J12 , J04 ? 2D ;
24)
P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 , J04 + D + M ; 26) G1 , G2 + P2 , P3 , J04 ? D ;
25)
J12 , J13 , J23 , P4 , D ; 28) G1 , G2 + P2 , G3 + ?P3 , J04 ? D , ? > 0;
27)
29) P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 , J04 .
?
9. Конформная сопряженность подалгебр алгебры AP (1, 4). В пп. 5–8 про-
?
ведена классификация максимальных подалгебр ранга 1, 2, 3 и 4 алгебры AP (1, 4)
?
с точностью до группы G1 P (1, 4)-автоморфизмов. Все эти автоморфизмы оставля-
?
ют инвариантным вполне изотропное подпространство V(1) = Q1 + Q7 . Получен-
?
ное множество подалгебр алгебры AP (1, 4) обозначим через U. Две подалгебры
L1 , L2 ? U могут быть сопряжены с помощью некоторого C(1, 4)-автоморфизма, не
входящего в G1 . Следовательно, на втором этапе выделяется задача классифика-
ции подалгебр из множества U с точностью до C(1, 4)-сопряженности. Отметим,
что если L1 , L2 ? U C(1, 4)-сопряжены, то подалгебры ? (L1 ) и ? (L2 ) относя-
? ?
тся одновременно либо к классу 0, либо к классу 1. Рассмотрим вначале случай,
когда ? (L1 ) и ? (L2 ) относятся к классу 0. Обозначим через C1 и C2 матрицы
? ?
diag [1, 1, 1, 1, 1, 1, ?1] и diag [1, 1, 1, 1, 1, ?1, 1] соответственно. Пусть ?i — C(1, 4)-
автоморфизм алгебры AC(1, 4), определяемый матрицей Ci , i = 1, 2. Полное реше-
ние задачи о сопряженности подалгебр L1 , L2 ? U будет опираться на следующее
предложение.
?
Предложение 7. Пусть L ? U — подалгебра алгебры AP (1, 4) и ? (L) относится ?
к классу 0. Если W — L-инвариантное вполне изотропное подпространство V ,
? ?
то существует такой P (1, 4)-автоморфизм f алгебры AP (1, 4), что f (L) = L
и f (W ) = Q1 + ?Q7 , где ? = ±1.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая, когда L ? V = 0. Слу-
чай L ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 рассматривается аналогично. Так как ? (L) — вполне
?
приводимая подалгебра алгебры AO(1, 4), то она либо полупроста, либо O(1, 4)-
сопряжена с алгеброй AO(1, 2) ? J34 . Если ? (L) полупроста, то она имеет только
?
расщепляемые расширения в алгебре AP (1, 4), а потому L сопряжена либо с ал-
геброй AO(1, k), 2 ? k ? 4, либо с алгеброй AO(1, k) ? D . В случае k = 4 W ?
Q1 , Q7 , а потому W = Q1 +?Q7 . Пусть k = 3, тогда W ? Q1 , Q6 , Q7 . Образую-
щий вектор Q пространства W запишем в виде Q = ?(Q1 +Q7 )+?(Q1 ?Q7 )+?Q6 .
Так как Q — изотропный вектор, то ? 2 ? 4?? = 0. Подействовав на вектор Q ав-
томорфизмом, определяемым элементом exp(ad tP6 ), получим
exp(?tP6 )Q exp(tP6 ) = (? + ?t + ?t2 )(Q1 ? Q7 ) + (? + 2?t)Q6 .
Если ? = 0, то ? = 0, а потому W = Q1 + Q7 . Допустим, что ? = 0. Положим
? + 2? = 0, тогда ? + ?t + ?t2 = 0. Следовательно, W = Q1 ? Q7 . Случай k = 2
рассматривается аналогично.
Алгебра AO(1, 2) ? J34 аннулирует в пространстве V только нулевое под-
пространство. Следовательно, она имеет только расщепляемые расширения в ал-
гебре AP (1, 4) и потому L сопряжена либо с алгеброй AO(1, 2) ? J34 , либо с
алгеброй AO(1, 2) ? J34 + ?D . Таким образом, этот случай аналогичен случаю
L = AO(1, 4). Предложение доказано.
196 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Пусть теперь f — C(1, 4)-автоморфизм, отображающий алгебру L1 ? U на ал-
гебру L2 ? U. Подпространство f ?1 (V(1) ) вполне изотропно и инвариантно отно-
сительно подалгебры L1 . В силу предложения 7 существует P (1, 4)-автоморфизм
?, отображающий Q1 ? Q7 на f ?1 (V(1) ), причем ?(L1 ) = L1 . Автоморфизм f ?
отображает L1 на L2 , a Q1 ? Q7 нa V(1) . Таким образом, можно предполагать,
что f (L1 ) = L2 и f ( Q1 ? Q7 ) = V(1) . Автоморфизм f ?1 отображает V(1) на V(1)
?
и потому f ?1 = f1 , где f1 — некоторый P (1, 4)-автоморфизм. Отсюда f = f1 ?1 .
Последнее соотношение дает возможность проверить, будут ли сопряжены алге-
бры L1 ? U и L2 ? U с помощью некоторого C(1, 4)-автоморфизма, не входящего
в G1 . С этой целью действуем на алгебру L1 автоморфизмом ?1 и получаем алге-
?
бру ?(L1 ). Если L1 и L2 сопряжены, то выполняется условие ?1 (L1 ) ? AP (1, 4).
При выполнении этого условия остается проверить алгебры ?1 (L1 ) и L2 на со-
?
пряженность относительно группы P (1, 4)-автоморфизмов, а эта задача решена в
предыдущих пунктах.
Пусть далее L1 , L2 ? U C(1, 4)-сопряжены и ? (L1 ), ? (L2 ) относятся к классу 1.
? ?
Вполне изотропное подпространство V(2) = Q1 + Q7 , Q2 + Q6 инвариантно отно-
сительно каждой из подалгебр L1 , L2 . Цепочка подпространств 0 ? V(1) ? V(2)
является композиционным рядом каждого из Li -модулей V(2) , i = 1, 2. Справедли-
во следующее предложение.
?
Предложение 8. Пусть L ? U — подалгебра алгебры AP (1, 4) и ? (L) относится
?
к классу 1. Если W — максимальное вполне изотропное подпространство V ,
инвариантное относительно L, и K — композиционный ряд L-модуля W , то
? ?
существует такой P (1, 4)-автоморфизм f алгебры AP (1, 4), что f (L) = L,
f (W ) = Q1 + ?1 Q7 , Q2 + ?2 Q6 , где ?i = ±1, i = 1, 2, а композиционный ряд
f (K) модуля f (W ) имеет один из следующих видов: а) 0 ? Q1 + ?1 Q7 ? f (W );
b) 0 ? Q2 + ?2 Q6 ? f (W ).
Предложение 8 доказывается аналогично предложению 7.
Покажем, как практически применить данное предложение к задаче сопряжен-
ности двух подалгебр L1 , L2 ? U относительно группы C(1, 4)-автоморфизмов.
Допустим, что L1 и L2 C(1, 4)-сопряжены и f — автоморфизм, отображающий L1
на L2 . Подпространство f ?1 (V(2) ) вполне изотропно и инвариантно относительно
?
подалгебры L1 . В силу предложения 8 существует P (1, 4)-автоморфизм ?, ото-
бражающий Q1 + ?1 Q7 , Q2 + ?2 Q6 на f ?1 (V(2) ), и ?(L1 ) = L1 . Кроме того,
автоморфизм ? отображает композиционный ряд K одного из видов а), b) пре-
дложения 8 на композиционный ряд модуля V(2) . Будем считать, что K имеет
такой вид: 0 ? Q2 + Q6 ? Q1 + Q7 , Q2 + Q6 . Обозначим через ? автомор-
01
физм, определяемый матрицей diag [T, 1, 1, 1, T ], где T = . Автоморфизм
10
? отображает K, на композиционный ряд 0 ? V(1) ? V(2) . Нетрудно убедиться,
? ?
что f = f1 , где f1 — некоторый P (1, 4)-автоморфизм алгебры AP (1, 4). Отсюда
?
вытекает, что если L1 и L2 C(1, 4)-сопряжены, то ?(L1 ) ? AP (1, 4) и подалгебры
?
?(L1 ) и L2 P (1, 4)-сопряжены. Автоморфизм ? обладает такими свойствами:
?(Pa ) = ?Ga , ?(J04 ) = ?D, ?(D) = ?J04 ,
?(Ga ) = Pa , ?(M ) = M.
Из изложенного выше вытекает, что дальнейшее упрощение подалгебр из мно-
жества U достигается за счет автоморфизмов вида f ?, f ??, f ?, где ? ? {?1 , ?2 },
?
f — P (1, 4)-автоморфизм. В результате получаем следующие теоремы.
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 197

Теорема 6. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 1 алгебры AP (1, 4).
Тогда она C(1, 4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) P1 ; 2) J12 ; 3) J12 + cJ34 , 0 < c ? 1; 4) J04 ;

<< Предыдущая

стр. 47
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>