<< Предыдущая

стр. 48
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5) J12 + cJ04 , c > 0; 6) J12 + P0 ; 7) J12 + P3 ; 8) J12 + M ;
9) J12 + J34 + P0 ; 10) J12 + cJ34 + P0 , 0 < c < 1; 11) J04 + P1 ;
12) J12 + cJ04 + P3 , c > 0; 13) G3 + P1 ; 14) G3 + 2T ;
15) G3 ? J12 + 2T ; 16) J12 + cJ34 + ?D , 0 < c ? 1, ? > 0;
17) J04 + ?D , 0 < ? ? 1; 18) J12 + cJ04 + ?D , 0 < c ? ?;
19) J04 ? D + 2T ; 20) J12 + c(J04 ? D + 2T ) .
?
Теорема 7. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры AP (1, 4),
удовлетворяющая условию L ? V ? P1 , P2 , P3 , P4 . Тогда она C(1, 4)-сопряжена
с одной из следующих алгебр:
1) P2 , P3 , J23 ; 2) J12 , P3 ; 3) J04 , P1 ; 4) J12 + cJ04 , P3 , c > 0;
5) G3 , P1 ; 6) J12 , J34 ; 7) J04 , J12 ; 8) G3 , J12 + cJ04 , c > 0;
9) J12 , J13 , J23 ; 10) J03 , J04 , J34 ; 11) J12 + P0 , P3 ; 12) J14 + P3 , P2 ;
13) J12 + M, P3 ; 14) J04 + P2 , P1 ; 15) G3 + P2 , P1 ;
16) G3 + 2T, P1 ; 17) J12 + P0 , J34 + ?0 P0 , ? ? 0;
18) J04 + P3 , J12 + ?P3 , ? ? 0; 19) J04 , J12 + P3 ;
20) J12 + M, G3 + ?T , ? = 0; 2; 21) J12 , G3 + 2T ;
22) G1 + P3 , G2 + µP2 + ?P3 , µ > 0, ? ? 0; 23) G3 , J04 + P1 ;
24) J12 + J34 , D ; 25) J12 + cJ34 , D , 0 < c < 1; 26) J04 , D ;
27) J12 + cJ04 , D , c > 0; 28) J04 + ?D, P1 , ? > 0;
29) J12 + cJ04 + ?D, P3 , c > 0, ? > 0;
30) J12 + ?D, J34 + ?D , ? > 0, ? ? 0;
31) J04 + ?D, J12 + ?D , ? > 0, ? ? 0; 32) J04 , J12 + ?D ;
33) P1 , J04 ? D + 2T ; 34) J12 + c(J04 ? D + 2T ), P3 , c > 0;
35) J04 + D + M, J12 + ?M , ? ? 0; 36) J04 + D, J12 + M ;
37) J04 ? 2D, G3 + 2T ; 38) J04 ? D, G3 + P1 ;
39) J12 + c(J04 ? 2D), G3 + 2T , c > 0.
?
Теорема 8. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 3 алгебры AP (1, 4).
Тогда она C(1, 4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) J04 , P1 , P2 , J12 ; 2) J04 , J12 , P3 ; 3) J12 , J13 , J23 , J04 ;
4) J04 + P3 , P1 , P2 , J12 ; 5) J04 + ?D, P1 , P2 , J12 , ? = 0;
6) J04 , D, P1 ; 7) J12 + cJ04 , DP3 , c > 0; 8) J04 , J12 , D ;
9) J12 , J13 , J23 , J04 + ?D ; 10) J04 + D + M, J12 + ?M, P3 , ? ? 0;
11) J04 + D, J12 + M, P3 ; 12) P1 , P2 , P4 , J12 , J14 , J24 ;
13) J12 , P3 , P4 , J34 ; 14) G3 , J04 , P1 ; 15) J12 , J13 , J23 , P4 ;
16) G3 , J04 , J12 ; 17) G1 , G2 , J12 , J04 ; 18) J03 , J04 , J34 , J12 ;
198 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

19) J12 + P0 , P3 , P4 , J34 ; 20) J12 + ?D, P3 , P4 , J34 ;
21) J03 , J04 , J34 , D ; 22) J03 , J04 , J34 , J12 + ?D , ? > 0;
J04 ? D + 2T, P1 , P2 , J12 ; 24) J12 , J13 , J23 , J04 ? D + 2T ;
23)
25) G3 , P1 , P2 , J12 ; 26) G1 , G2 , G3 , J12 , J13 , J23 ;
27) J01 , J02 , J03 , J12 , J13 , J23 ; 28) G3 + 2T, P1 , P2 , J12 ;
G1 , G2 ? P2 , P3 ; 30) G3 , J04 + P2 , P1 ; 31) G1 , G2 , J12 , J04 + P3 ;
29)
J04 + ?D, J12 + ?D, P3 , ?2 + ? 2 = 0; 33) G3 , J04 + ?D, P1 ;
32)
J12 , J34 , D ; 35) J04 ? 2D, G3 + 2T, P1 ; 36) J04 + D + M, G3 , P1 ;
34)
J12 , J04 ? 2D, G3 + 2T ; 38) AO(4).
37)

?
Теорема 9. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 4 алгебры AP (1, 4).
Тогда она (1, 4)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) P1 , P2 , P3 , P4 , J12 , J13 , J14 , J23 , J24 , J34 ; 2) J04 , P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 ;
3) J03 , J04 , J34 , P1 , P2 , J12 ;
4) AO (1, 3) ? P3 , где AO (1, 3) = J?? | ?, ? = 0, 1, 2, 4 ; 5) AO(1, 4);
6) J12 , D, P3 , P4 , J34 ; 7) D, P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 ;
8) J04 , D, P1 , P2 , J12 ; 9) J04 + ?D, P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 ;
10) J04 , J12 , D, P3 ; 11) G3 + ?D, J04 + ?D, P1 , P2 , J12 , ?2 + ? 2 = 0;
12) J12 , J14 , J24 , D, P3 ; 13) J03 , J04 , J34 , P2 , D ; 14) AO(4) ? D ;
15) J03 , J04 , J34 , J12 , D ; 16) J12 , J13 , J23 , J04 , D ; 17) AO (1, 3) ? D ;
18) J04 ? D + 2T, P1 , P2 , P3 , J12 , J13 , J23 ;
19) J04 ? 2D, G3 + 2T, P1 , P2 , J12 ; 20) J04 + D + M, G3 , P1 , P2 , J12 ;
21) J04 ? D, G1 , G2 + P2 , P3 .

10. Подалгебры оптической алгебры AOpt(1, 4). Целью настоящего пун-
кта является описание подалгебр алгебры AOpt(1, 4), не имеющих в R2,5 инва-
риантных вполне изотропных подпространств размерности 1. Подалгебры алгебры
AOpt(1, 4), имеющие в R2,5 инвариантное вполне изотропное подпространство ра-
?
змерности 1, сопряжены с подалгебрами расширенной алгебры Пуанкаре AP (1, 4)
и их классификация по рангам изложена в пп. 5–9.
Пусть L — подалгебра алгебры AOpt(1, 4). Если ? (L) ? C, T, Z , то L C(1, 4)-
?
? (1, 4) [14]. Учитывая это, доказываем следу-
сопряжена с подалгеброй алгебры AP
ющие теоремы.
Теорема 10. Одномерные подалгебры алгебры AOpt(1, 4), не сопряженные с по-
?
далгебрами алгебры AP (1, 4), исчерпываются с точностью до C(1, 4)-сопря-
женности такими алгебрами:
1) S + T ; 2) S + T ± M ; 3) J12 + ?(S + T ) , ? > 0;
4) S + T + ?Z , ? > 0; 5) J12 + ?(S + T ) ± M ;
6) J12 + S + T + G1 + P2 ; 7) J12 + ?(S + T ) + ?Z , ? > 0, ? > 0.

Теорема 11. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 2 алгебры AOpt(1, 4),
?
не сопряженная с подалгеброй алгебры AP (1, 4). Тогда она C(1, 4)-сопряжена с
Связные подгруппы конформной группы C(1, 4) 199

одной из следующих алгебр:
1) S + T + J12 , G1 + P2 ; 2) J12 , S + T ; 3) S + T + J12 + M, G1 + P2 ;
4) S + T, Z ; 5) S + T + ?J12 , Z , ? > 0;
6) S + T + J12 + ?Z, G1 + P2 , ? > 0; 7) J12 + ?Z, S + T + ?Z , ? > 0;
8) J12 , S + T + ?Z , ? > 0; 9) J12 + M, S + T + ?M ;
10) J12 , S + T + M .
Теорема 12. Пусть L — максимальная подалгебра ранга 3 или 4 алгебры
?
AOpt(1, 4), не сопряженная с подалгеброй алгебры AP (1, 4). Тогда она C(1, 4)-
сопряжена с одной из таких алгебр:
1) AO(3) ? (S + T + ?M , ? < 0; 2) S + T, J12 , Z ;
3) AO(3) ? S + T + ?Z ; 4) S + T + J12 , Z, H1 + P2 ;
v v
5) S + T + 2J12 + ?M, H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 , ? < 0;
v v
6) ?Z + S + T + 2J12 , H1 + P2 + 2P3 , H2 ? P1 ? 2H3 , ? ? R;
v v
7) Z, S + T + 2J12 , G1 + P2 + 2P3 , G2 ? P1 ? 2G3 ;
8) AO(3) ? S + T, Z .

1. Fushchych W.I., Shfelen W.M., The symmetry and some exact solutions of the eikonal equation,
Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, 498–502.
2. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
I. General method and the Poincar? group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1597–1624.
e
3. Patera J., Winternitz P., Subalgebras of real three- and four-dimensional Lie algebras, J. Math.
Phys., 1977, 18, № 7, 1449–1456.
4. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Continuous subgroups of the fundamental groups of physics.
II. The similitude group, J. Math. Phys., 1975, 16, № 8, 1615–1624.
5. Patera J., WinternUz P., Sharp R.T., Zassenhaus H., Subgroups of the similitudre Group of three-
dimensional Minkowski space, Gan. J. Phys., 1976, 54, № 9, 950–961.
6. Beckers J., Patera J., Perroud M., Winternitz P., Subgroups of the Euclidean group and symmetry
breaking in nonrelativistic quantum mechanics, J. Math. Phys., 1977, 18, № 1, 72–93.
7. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., Quantum numbers for particles in de Sitter space, J. Math.
Phys., 1976, 17, № 5, 717–728.
8. Patera J., Sharp R.Т., Winternltz P., Zassenhaus H., Continuous groups of the fundamental groups
of physics. III. The de Sitter groups, J. Math. Phys., 1977, 18, № 12, 2259–2288.
9. Burdet G., Patera J., Perrin H., Winternitz P., The optical group and its subgroups, J. Math. Phys.,
1978, 19, № 8, 1758–1780.
10. Федорчук В.M., Расщепляющиеся подалгебры алгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре P (1, 4),
Укр. мат. журн., 1979, 31, № 6, 717–722.
11. Федорчук В.M., Нерасщепляющиеся подалгебры Ли обобщенной группы Пуанкаре, Укр. мат.
журн., 1981, 33, № 5, 696–700.
12. Федорчук В.M., Фущич В.И., О подгруппах обобщенной группы Пуанкаре, Тр. Междунар.
семинара “Теоретико-групповые методы в физике” (Звенигород, 1979), M., Наука, 1980, Т. 1,
61–66.
13. Fushchych W.I., Barannik L.F., Fedorchuk V.M., Continuous subgroups of the Poincar? group
e
P (1, 4), J. Phys. A: Math. and Gen., 1985, 18, 2893–2899.
14. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах конформной группы пространства
Минковского R1,n , Препринт 88.34, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1988, 48 с.
200 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

15. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, M., Наука, 1978, 400 с.
16. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) и реду-
кция нелинейных волновых уравнений. I, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 11, 1552–1559.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 201–215.

Редукция многомерного
Пуанкаре-инвариантного нелинейного
уравнения к двумерным уравнениям
А.Ф. БАРАННИК, Л.Ф. БАРАННИК, В.И. ФУЩИЧ
Изучена структура инвариантов расширенной изохронной алгебры Галилея
?
AG(0, n ? 1), являющейся подалгеброй алгебры Пуанкаре AP (1, n). С использовани-
ем этих результатов проведена классификация максимальных подалгебр ранга n ? 2
и n ? 1 алгебры AP (1, n). По подалгебрам ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) постро-
ены анзацы, редуцирующие уравнение ?(2u, (?u)2 , u) = 0 к дифференциальным
уравнениям от двух инвариантных переменных.

1. Введение. Настоящая статья посвящена редукции нелинейного волнового
уравнения

? 2u, (?u)2 , u = 0 (1)

в пространстве Минковского R1,n к двумерным уравнениям. Здесь u = u(x) —
скалярная функция от переменной x, x = (x0 , x1 , . . . , xn ) ? R1,n ,

?2u ?2u ?2u
2u = ? ? ··· ? 2 ,
?x2 ?x2 ?xn
0 1
2 2 2
?u ?u ?u
? ? ··· ?
2
(?u) = .
?x0 ?x1 ?xn
Симметрийные свойства уравнения (1) при n ? 3 изучались в [1], а для
произвольного n — в [2, 3]. Частным случаем уравнения (1) являются уравне-
ния Клейна–Гордона, Даламбера, Лиувилля, Гамильтона–Якоби, уравнение синус-
Гордона и другие. Их изучению посвящены работы [1–8]. Для уравнения (1) ва-
жной является проблема редукции. Суть ее состоит в том, что вводятся новые
переменные ?1 (x), . . . , ?k (x), 1 ? k ? n, являющиеся функциями от x и обла-
дающие тем свойством, что анзац u = ?(?1 , . . . , ?k ) редуцирует уравнение (1) к
уравнению от меньшего числа переменных ?1 , . . . , ?k . В частном случае, когда
k = 1, указанный анзац редуцирует уравнение (1) к обыкновенному дифференци-
альному уравнению с неизвестной функцией ? = ?(?1 ). Построение всех анзацев
для уравнения (1) является очень трудной задачей. Эту трудность в значитель-
ной мере можно преодолеть в случае, когда ?1 , . . . , ?k являются инвариантными
переменными.
Уравнение (1) инвариантно относительно группы преобразований Пуанкаре
P (1, n) пространства R1,n . Функции ?1 (x), . . . , ?k (x) называются инвариантными
переменными, если они образуют полную систему инвариантов некоторой под-
группы группы P (1, n). Построение инвариантных переменных тесно связано с
Укр. матем. журн., 1991, 43, № 10, 1311–1323.
202 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

задачей классификации связных подгрупп группы P (1, n), которая сводится к за-
даче классификации подалгебр соответствующей алгебры Ли AP (1, n). В рабо-
те [3] описаны максимальные подалгебры ранга n алгебры AP (1, n) с точностью
до P (1, n)-сопряженности. Это позволило выделить семь анзацев, редуцирующих
уравнение (1) к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этой же работе
построены все анзацы, редуцирующие уравнение (1) к дифференциальным урав-
нениям от двух и трех инвариантных переменных в пространствах Минковского
R1,2 и R1,3 . По редуцированным уравнениям найдены некоторые классы точных
решений уравнений Клейна–Гордона, синус-Гордона и других уравнений.
Настоящая статья является продолжением исследований, выполненных в [7, 8].
В ней полностью изучена структура инвариантов расширенной изохронной алге-
?
бры Галилея AG(0, n ? 1), являющейся подалгеброй алгебры AP (1, n). Показано,
?
что инварианты алгебры AG(0, n ? 1) получаются из инвариантов ортогональной
алгебры AO(n ? 1), если в последних провести нелинейную замену переменных,
явный вид которой определяется структурой инвариантного подпространства для
подалгебры алгебры AO(n ? 1). Результаты, относящиеся к инвариантам алге-
?
бры AG(0, n ? 1), позволили дать классификацию максимальных подалгебр рачга
n ? 2 и n ? 1 алгебры AP (1, n). По подалгебрам ранга n ? 1 построены анзацы,
редуцирующие уравнение (1) к дифференциальным уравнениям от двух инвари-
антных переменных ?1 и ?2 . Подалгебры ранга n ? 2 алгебры AP (1, n) можно
использовать для редукции нелинейных уравнении Даламбера, Лиувилля, Борна–
Инфельда, Эйконала в пространстве Минковского R1,n .
2. Алгебра инвариантности уравнения (1). Уравнение (1) инвариантно отно-
сительно алгебры Пуанкаре AP (1, n), базис которой составляют такие векторные
поля:
Pµ = ?µ , J0a = x0 ?a + xa ?0 , Jab = xb ?a ? xa ?b ,
(2)
µ = 0, 1, . . . , n; a, b = 1, 2, . . . , n.

Они связаны следующими коммутационными соотношениями:

[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? ,
(3)
[Pa , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , [P? , P? ] = 0,

где g00 = ?g11 = · · · = ?gnn = 1, g?? = 0 при ? = ?, ?, ?, ?, ? = 0, 1, . . . , n.
Алгебра AP (1, n) содержит ортогональную алгебру AO(n) = Jab | a, b = 1, . . . , n ,
псевдоортогональную алгебру AO(1, n) = Jµ? | µ, ? = 0, 1, . . . , n , коммутативную
алгебру V = P0 , P1 , . . . , Pn . Важной подалгеброй алгебры AP (1, n) является ра-
?
сширенная специальная алгебра Галилея AG(2, n ? 1) = M, T, P1 , . . . , Pn?1 , G1 ,
. . . , Gn?1 ? (AO(n ? 1) ? J0n ), где M = P0 + Pn , T = 1 (P0 ? Pn ), Ga = J0a ? Jan ,
2
a = 1, . . . , n ? 1, AO(n ? 1) = Jab | a, b = 1, . . . , n ? 1 . Ее можно определить как
нормализатор изотропного пространства P0 + Pn в алгебре AP (1, n). Алгебра
? ?
AG(2, n ? 1) содержит расширенную изохронную алгебру Галилея AG(0, n ? 1) =
M, P1 , . . . , Pn?1 , G1 , . . . , Gn?1 ? AO(n ? 1).
Для проведения редукции уравнения (1) по подалгебрам алгебры AP (1, n) сле-
дует описать подалгебры алгебры AP (1, n) с точностью до P (1, n)-эквивалентнос-
ти. Две подалгебры K1 , K2 алгебры AP (1, n) называются P (1, n)-эквивалентными,
если для некоторого g ? P (1, n) алгебры gK1 g ?1 и K2 обладают одними и теми же
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 203

инвариантами. Две максимальные подалгебры K1 и K2 данного ранга r эквива-
лентны тогда и только тогда, когда K1 и K2 P (1, n)-сопряжены. Таким образом, в
классе всех подалгебр алгебры AP (1, n) эквивалентных между собой, существует
с точностью до P (1, n)-сопряженности только одна максимальная подалгебра. В
настоящей статье предложен метод, с помощью которого подалгебры такого рода
можно полностью описать.
Пусть K — некоторая подалгебра алгебры AP (1, n). Если P0 ? K, то любое
решение u = u(x) уравнения (1), инвариантное относительно K, не зависит от x0
и потому является решением уравнения
? ?2u, ?(?u)2 , u = 0 (4)
в евклидовом пространстве En , где

<< Предыдущая

стр. 48
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>