<< Предыдущая

стр. 49
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2 2
?2u ?2u ?u ?u
2u = + ··· + 2 , + ··· +
2
(?u) = .
?x2 ?xn ?x1 ?xn
1

Уравнение (4) инвариантно относительно алгебры Евклида AE(n) = P1 , . . . , Pn ,
J12 , . . . , Jn?1,n , генераторы которой имеют вид (2). Аналогично, если P0 +Pn ? K,
то любое решение уравнения (1), инвариантное относительно K, имеет вид u =
u(x0 ? xn , x1 , . . . , xn?1 ) и потому является решением уравнения (4) в евклидовом
пространстве En?1 . Таким образом, случаи P0 , P0 + Pn ? K свелись к задаче
классификации подалгебр алгебр Евклида AE(n) и AE(n ? 1) и мы их рассмотрим
отдельно.
В работе будут использованы следующие обозначения:
AO[r, s] = Jab | a, b = r, . . . , s , r ? s;
AE[r, s] = Pr , . . . , Ps ? AO[r, s], r ? s;
AE1 [r, s] = Gr , . . . , Gs ? AO[r, s] r ? s;
?
?0 , ?, ? — проектирование AG(2, n?1) на J0n , AO[1, n?1] и G1 , . . . , Gn?1 соо-
?
тветственно; ?0 — проектирование AP (1, n) на AO(1, n); M[r, s] = Gr , . . . , Gs , Pr ,
. . . , Ps — векторное пространство над R, натянутое на Gr , . . . , Gs , Pr , . . . , Ps .
?
3. Инварианты расширенной изохронной алгебры Галилея AG(0, n ? 1).
?
При изучении структуры инвариантов произвольной подалгебры алгебры AG(0, n?
1) используется понятие примарной части подалгебры ортогональной алгебры
AO(n ? 1), введенное в работе [9].
Предложение 1. Пусть l = q1 d1 , m0 ? 0, L = (L ? M[m0 + 1, m0 + l])+ F — ?
полупрямая сумма подалгебры L ? M[m0 + 1, m0 + l], и примарной алгебры
F ? AO[m0 + 1, m0 + l], являющейся подпрямой суммой неприводимых подал-
гебр соответственно алгебр AO[m0 + 1, m0 + d1 ], AO[m0 d1 + 1, m0 + 2d1 ],. . . ,
AO[m0 + (q1 ? 1)d1 + 1, m0 + q1 d1 ]. Если P0 , P0 + Pn ? L, L ? V = 0 и ?(L) =
Gm0 +1 , . . . , Gm0 +q1 d1 , то L сопряжена с алгеброй N1 ? F , где N1 обладает
базисом
Gm0 +1 + ?1 Pm0 +1 , . . . , Gm0 +d1 + ?1 Pm0 +d1 ,
Gm0 +d1 +1 + ?2 Pm0 +d1 +1 , . . . , Gm0 +2d1 + ?2 Pm0 +2d1 , (5)
·························································
Gm0 +(q1 ?1)d1 +1 + ?q1 Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 , . . . , Gm0 +q1 d1 + ?q1 Pm0 +q1 d1 .
204 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Если P0 , P0 + Pn ? L, L ? V = 0 и ?(L) = Gm0 +1 , . . . , Gm0 +(q1 ?1)d1 , то L
сопряжена с алгеброй N2 ? F , где N2 обладает базисом
Gm0 +1 + ?1 Pm0 +1 + ?1 Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 , . . . , Gm0 +d1 + ?1 Pm0 +d1 + ?1 Pm0 +q1 d1 ,
Gm0 +d1 +1 + ?2 Pm0 +d1 +1 + ?2 Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 , . . . ,
Gm0 +2d1 + ?2 Pm0 +2d1 + ?2 Pm0 +q1 d1 ,
(6)
···········································································
Gm0 +(q1 ?2)d1 +1 + ?q1 ?1 Pm0 +(q1 ?2)d1 +1 + ?q1 ?1 Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 , . . . ,
Gm0 +(q1 ?1)d1 + ?q1 ?1 Pm0 +(q1 ?1)d1 + ?q1 ?1 Pm0 +q1 d1 .

Доказательство. В силу условия P0 + Pn ? L подалгебра L ? M[m0 + 1, m0 + l]
коммутативная. Поэтому первая часть предложения 1 вытекает из работы [10].
Пусть далее ?(L) = Gm0 +1 , . . . , Gm0 +(q1 ?1)d1 . Тогда можно предполагать, что L?
M[m0 +1, m0 +l] есть подпрямая сумма алгебры Gm0 +1 +?1 Pm0 +1 , . . . , Gm0 +(q1 ?1)d1
+?(q1 ?1)d1 Pm0 +(q1 ?1)d1 и алгебры Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 , . . . , Pm0 +q1 d1 . при этом ?1 =
· · · = ?d1 , ?d1 +1 = · · · = ?2d1 , . . . , ?(q1 ?2)d1 +1 = · · · = ?(q1 ?1)d1 .
Алгебра L ? M[m0 + 1, m0 + l] является прямой суммой алгебр M1 , . . . , Mq?1 ,
где Mj — алгебра, обладающая базисом
j j
Gm0 +(j?1)d1 +1 + ?j Pm0 +(j?1)d1 +1 + ?11 Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 + · · · + ?1d1 Pm0 +q1 d1 ,
········································································
j j
Gm0 +jd1 + ?j Pm0 +jd1 + ?d1 1 Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 + · · · + ?d1 d1 Pm0 +q1 d1 ,
j = 1, . . . , q1 ? 1.
Связывающая матрица
?j ?
j
?11 · · · ?1d1
? ··· ··· ··· ?
?j =
j j
?d1 1 · · · ?d1 d1
сплетает представления неприводимой части алгебры F в пространствах
Gm0 +(j?1)d1 +1 , . . . , Gm0 +jd1 и Pm0 +(q1 ?1)d1 +1 , . . . , Pm0 +q1 d1 . Поэтому ?j = µj Cj ,
где µj — вещественное число, а Cj — ортогональная матрица. O(n)-автоморфизм,
соответствующий матрице
? ?
Ed1 · · · 0
? ··· ··· ··· ?
? ?
? · · · Cj · · · ?
? ?
? ··· ··· ··· ?
· · · Ed1
0
оставляет неизменным F , Ml при l = j и преобразует пространство Mj в про-
странство, которому соответствует связывающая матрица µj Ed1 . Предложение до-
казано.
?
Пусть L — произвольная подалгебра алгебры AG(0, n ? 1), обладающая нену-
левой проекцией ?(L) на AO(n ? 1), P0 , P0 + Pn ? L. Обозначим через A1 , . . . , At
примарные части ?(L). Тогда алгебра L ? M[1, n ? 1] коммутативна и инвариантна
относительно ?(L). Согласно работе [11] она является прямой суммой
W = W1 ? · · · ? Wt ? W , (7)
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 205

подалгебр Wi , i = 1, . . . , t, W , удовлетворяющих соотношениям [Wi , Ai ] = [Ai , W ]
= Wi , [Aj , Wi ] = 0 при j = i, W = {y ? W [L, y] = 0}. Изучим структуру ин-
вариантов алгебр Li = Wi ? Ai , i = 1, . . . , t, так как они в значительной мере
определяют структуру инвариантов алгебры L. Не нарушая общности, можно огра-
ничиться рассмотрением алгебры L1 . Ее примарная часть совпадает с A1 и являе-
тся подпрямой суммой неприводимых подалгебр соответственно алгебр AO[1, d1 ],
AO[d1 + 1, 2d1 ],. . . ,AO[(q1 ? 1)d1 + 1, q1 d1 ]. Инварианты алгебры L1 будем рассма-
тривать в пространстве функций от переменных x0 ?xn , x1 , . . . , xq1 d1 . Если W1 = 0,
то всегда можно предполагать, что ?(L1 ) = G1 , . . . , Gq d1 , где 1 ? q ? q1 . В за-
висимости от значения q рассмотрим три случая.
a) Случай q = q1 . В силу предложения 1 алгебра W1 с точностью до O(n ?
1)-сопряженности обладает базисом (5) (если положить m0 = 0). Так как ранг
алгебры W1 равен q1 d1 , то она имеет два основных инварианта. В качестве этих
инвариантов можно взять функции x0 ? xn и
q1
x0 ? xn
?x2 (i?1)d1 +1 + · · · + xid1 + xn .
x2 2 2
?= +
x0 ? xn + ?i
0
i=1

Так как каждая из них является инвариантом алгебры A1 , то система функций
x0 ? xn , ? образует полную систему инвариантов алгебры L1 .
b) Случай q = q1 ? 1. В силу предложения 1 алгебра W1 с точностью до
O(n ? 1)-сопряженности обладает базисом (6) (если положить m0 = 0). Так как
ранг алгебры W1 равен (q1 ? 1)d1 , то ее полная система инвариантов состоит из
d1 + 2 функций. Очевидно, инвариантами W1 являются функции x0 ? xn и
q1 ?1
x0 ? xn
?x2 (i?1)d1 +1 + · · · + xid1 + xn .
x2 2 2
?= +
x0 ? xn + ?i
0
i=1

Эти инварианты функционально независимы. Найдем остальные d1 функциональ-
но независимых инварианта алгебры W1 , которые дополняют систему двух ин-
вариантов x0 ? xn и ? алгебры W1 до полной системы инваиантов W1 . Легко
убедиться, что инвариантом алгебры W1 является функция
q1 ?1
?i x(i?1)d1 +1
? x(q1 ?1)d1 +1 . (8)
y1 =
x0 ? xn + ?i
i=1

Подействовав на нее генератором J1j + Jd1 +1,d1 +j + · · · + J(q1 ?1)d1 +1,(q1 ?1)d1 +j ,
j = 2, . . . , d1 , получим такой инвариант алгебры W1 :
q1 ?1
?i x(i?1)d1 +j
? x(q1 ?1)d1 +j . (9)
yj =
x0 ? xn + ?i
i=1

Мы нашли d1 функционально независимых инварианта y1 , . . . , yd1 алгебры W1 , ко-
торые вместе с инвариантами x0 ? xn и ? образуют полную систему инвариантов
алгебры W1 . Запишем генераторы примарной алгебры B, являющейся подпрямой
суммой алгебр AO[1, d1 ], AO[d1 + 1, 2d1 ],. . . , AO[(q1 ? 1)d1 + 1, q1 d1 ] в новых пе-
ременных y1 , y2 , . . . , yd1 . Рассмотрим, например, генератор
?
Jab = Jab + Jd1 +a,d1 +b + · · · + J(q1 ?1)d1 +a,(q1 ?1)d1 +b , a < b, 1 ? a, b ? d1 .
206 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Используя формулы (7) и (8), получаем, что в переменных y1 , y2 , . . . , yd1 генератор
? ?
Jab принимает вид Jab = ya ?yb ? yb ?ya . Отсюда вытекает, что A1 можно рас-
? ?

? ? ?
сматривать как подалгебру ортогональной алгебры AO(d1 ) = J12 , . . . , Jd1 ?1,d1 ,
?
действующую в евклидовом пространстве Ed , состоящем из d1 -мерных векторов
(y1 , y2 , . . . , yd1 ).
Допустим, что ранг алгебры A1 равен r. Тогда полная система инвариантов
алгебры A1 , в пространстве функций от y1 , y2 , . . . , yd1 состоит из d1 ? r функций.
Пусть это будут функции ?1 , . . . , ?d1 ?r . Используя эти функции, легко находим
полную систему инвариантов алгебры L1 . Она состоит из функций x0 ? xn , ?,
?1 , . . . , ?d1 ?r , где вместо y1 , . . . , yd1 подставлены из выражения (7) и (8).
c) Случай q < q1 ? 1. Аналогично случаю b) A1 можно рассматривать как
подалгебру примарной алгебры B, являющейся подпрямой суммой ортогональных
? ? ?
алгебр AO[1, d1 ], AO[d1 + 1, 2d1 ],. . . , AO[(q1 ? q )d1 ? d1 + 1, (q1 ? q )d1 ]. Генераторы
этих алгебр записаны в переменных y1 , . . . , yd1 , . . . , y(q1 ?q )d1 , которые являются
инвариантами алгебры W1 , не зависящими от u.
Допустим, что ранг алгебры A1 равен r. Тогда полная система инвариантов
алгебры A1 в пространстве функций от переменных y1 , . . . , y(q1 ?q )d1 , состоит из
(q1 ? q )d1 ? r функций ?1 , . . . , ?(q1 ?q )d1 ?r . Используя их, получаем, что полная
система инвариантов алгебры L состоит из функций x0 ?xn , ?, ?1 , . . . , ?(q1 ?q )d1 ?r .
Результаты, изложенные в настоящем пункте, сводят задачу построения ин-
вариантов произвольной подалгебры алгебры AP (1, n) к задаче построения инва-
риантов неприводимых подалгебр ортогональной алгебры AO(k) для всех k ? n.
Известно [12], что неприводимая подалгебра L либо полупроста, либо является
полупрямой суммой L = S ? Z(L) полупростого идеала S и одномерного центра
Z(L) Задача построения инвариантов полупростой алгебры в общем случае нера-
зрешима в квадратурах. Учитывая это обстоятельство, в дальнейшем будем пред-
полагать, что если, например, 1 — примарная часть алгебры ?(L), то она является
подпрямой суммой алгебр AO[1, d1 ], AO[d1 +1, 2d1 ],. . . , AO[(q1 ?1)d1 +1, q1 d1 ], т. е.
рассматриваются лишь те неприводимые подалгебры алгебры AO[(i ? 1)d1 + 1, id1 ],
которые совпадают с AO[(i ? 1)d1 + 1, id1 ], i = 1, . . . , q1 . Этому условию удовле-
творяют, очевидно, все разрешимые подалгебры алгебры AP (1, n). Однако класс
подалгебр алгебры AP (1, n), который выделяется с помощью данного условия,
является более широким, чем класс разрешимых подалгебр.
?
4. Максимальные подалгебры ранга n ? 2 и n ? 1 алгебры AG(0, n ? 1).
Используя результаты, изложенные в пп. 2 и 3, найдем максимальные подалгебры
?
ранга n ? 2 и n ? 1 алгебры AG(0, n ? 1). Пусть d1 , . . . , dt — натуральные числа,
удовлетворяющие соотношениям 0 = d0 < d1 < · · · < dt = m. Для любых двух
натуральных чисел r и s, r ? s, положим

?(r, s, ?) = Gr + ?Pr , . . . , Gs + ?Ps ? AO[r, s], ? ? R.

?
Теорема 1. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n?2 алгебры AG(0, n?1)
и P0 , P0 + Pn ? L. Тогда L P (1, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) B1 = ?(d0 + 1, d1 , ?1 ) ? · · · ? ?(dt?1 + 1, m, ?t ) ? AE[m + 1, n ? 2];
2) B2 = L1 ? ?(d + 1, d2 , ?2 ) ? · · · ? ?(dt?1 + 1, m, ?t ) ? AE[m + 1, n ? 1], где
L1 = W1 ? A1 , W1 обладает базисом (6) при m0 = 0, l = d, A1 — диагональ в
AO[1, d1 ] ? · · · ? AO[(q ? 1)d1 + 1, q1 d1 ];
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 207

3) B3 = AO[1, d] ? ?(d + 1, d2 , ?2 ) ? · · · ? ?(dt?1 + 1, m, ?t ) ? AE[m + 1, n ? 1],
d = 1, . . . , n ? 2, m = d + 1, , . . . , n ? 1, n ? 4;
4) B4 = L1 ? AE[m + 1, n ? 1], где L1 = W1 ? A1 , W1 обладает базисом (6)
при m0 = 0, l = m, A1 — диагональ в AO[1, d1 ] ? · · · ? AO[(q1 ? 1)d1 + 1, q1 d1 ],
m = 2, . . . , n ? 1, n ? 4;
5) B5 = L1 ? AE[m + 1, n ? 1], где L1 = W1 ? A1 , W1 обладает базисом (6)
при m0 = 0, l = m = 2q1 , A1 = J + ?M , а J = J12 + · · · + Jl?1,l , m = 2, . . . , n ? 1,
n ? 4;
6) B6 = L1 ? ?(d + 1, d2 , ?2 ) ? · · · ? ?(dt?1 + 1, m, ?t ) ? AE[m + 1, n ? 1], где
L1 = W1 ? J + ?M , W1 обладает базисом (6) при m0 = 0, l = d = 2q1 ,
J = J12 + · · · + Jd?1,d , m = d + 1, . . . , n ? 1;
7) B7 = AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 1; n ? 2;
8) B8 = J12 + ?P0 ? AE[3, n], ? > 0, n ? 2;
9) B9 = J12 + M ? AE[3, n ? 1], n ? 3;
10) B10 = J12 + ?P3 ? AE[4, n], ? > 0, n ? 3.
Доказательство. При доказательстве теоремы достаточно ограничиться рассмо-
трением случая L ? V = 0. Пусть ?(L) = 0, A1 , . . . , At — примарные части алгебры
?(L), W1 , . . . , Wt — подпространства алгебры L ? M[1, n ? 1], определяемые ра-
зложением (7). По определению A1 является подпрямой суммой алгебр AO[1, d1 ],
AO[d1 + 1, 2d1 ],. . . , AO[(q1 ? 1)d1 + 1, q1 , d1 ]. В зависимости от структуры про-
странства W1 рассмотрим три случая.
а) Случай ?(W1 ) = G1 , . . . , Gq1 d1 . В силу предложения 1 можно считать, что
W1 обладает базисом (5), где m0 = 0. Поэтому полная система инвариантов алге-
бры W1 состоит из функций x0 ? xn , ?, xq1 d1 +1 , . . . , xn?1 . Следовательно, любой
инвариант J алгебры L является функцией J = J(x0 ? xn , ?, xq1 d1 +1 , . . . , xn?1 ).
В силу максимальности L отсюда вытекает, что AO[1, d1 ] ? L, а значит, q1 = 1.
Таким образом, алгебра W1 ? A1 совпадает с алгеброй ?(d0 + 1, d1 , ?1 ) и выделяе-
тся прямым слагаемым в алгебре L, т.е. L = ?(d0 + 1, d1 , ?1 ) ? L . Через конечное
число шагов t1 , t1 ? t, выделим в качестве прямых слагаемых все подалгебры
Wi ? Ai указанного вида, т.е.
L = ?(d0 + 1, d1 , ?1 ) ? · · · ? ?(dt1 ?1 + 1, dt1 , ?t1 ) ? L.
Если L = 0, то, очевидно dt1 = n ? 2 и мы получаем алгебру типа 1 теоремы 1.
Пусть ?(L) = 0 и L = 0. Так как L ? V = 0, то с точностью до P (1, n)-
сопряженности ?(L) = Gm+1 , . . . , Gn?2 , где m = dt1 . Поэтому алгебра L облада-
ет либо базисом Gm+1 + ?m+1 Pm+1 , . . . , Gn?2 + ?n?2 Pn?2 , либо базисом Gm+1 +
?m+1 Pm+1 +?m+1 Pn?1 , . . . , Gn?2 +?n?2 Pn?2 +?n?2 Pn?1 , где ?2 +· · ·+?2 = 0.
m+1 n?2
В первом случае L = ?(m + 1, m + 1, ?m+1 ) ? · · · ? ?(n ? 2, n ? 2, ?n?2 ) и потому
алгебра L, относится к типу 1 теоремы. Во втором случае алгебра L относится к
типу 2 теоремы.
Пусть далее ?(L) = 0. Тогда примарными частями алгебры L являются алгебры
At1 +1 , . . . , At . Алгебра At1 +1 является подпрямой суммой алгебр AO[m + 1, m + d],
AO[m + d + 1, m + 2d],. . . , AO[m + (q ? 1)d + 1, m + qd], где m = dt1 . Допустим, что
Wt1 +1 = · · · = Wt = 0. Если q > 1, то инвариантами алгебры At1 +1 , а значит, и
m+1 + · · · + xm+d , ?2 = xm+d+1 + · · · + xm+d .
алгебры L являются функции ?1 = x2 2 2 2

<< Предыдущая

стр. 49
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>