<< Предыдущая

стр. 50
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


так как инварианты x0 ? xn , ?1 и ?2 алгебры L функционально независимы,
то они образуют полную систему инвариантов алгебры L. Следовательно, любой
208 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

другой инвариант J алгебры L является функцией J = J(x0 ? xn , ?1 , ?2 ) и потому
P0 + Pn ? L. Последнее соотношение противоречит предположению относительно
алгебры L. Значит, q = 1. Аналогично доказываем, что t1 + 1 = t. Следовательно,
L = ?(d0 + 1, d1 , ?1 ) ? · · · ? ?(dt1 ?1 + 1, tt1 , ?t1 ) ? AO[m + 1, m + d] ? L , где
?(L ) = 0. Нетрудно убедиться, что ?(L ) = Gm+d+1 , . . . , Gn?1 и потому L
обладает базисом Gm+d+1 + ?m+d+1 Pm+d+1 , . . . , Gn?1 + ?n?1 Pn?1 . это означает,
что алгебра L относится к типу 3 теоремы.
Допустим, что Wt1 +1 = 0. Тогда ?(Wt1 +1 ) = Gm+1 , . . . , Gm+q d , где 1 ? q ?
q ? 1. В силу результатов п. 3 инвариантами алгебры Lt1 +1 = Wt1 +1 ? At1 +1
являются функции x0 ? xn , ?1 ,. . . , ?(q?q )d?r (см. п. 3c). Они функционально не-
зависимы и каждая из них является инвариантом алгебры L. Отсюда вытекает,
что если q < q ? 1, то (q ? q )d ? r ? 3 и потому полная система инвариантов
алгебры L состоит более чем из трех функций. Это противоречит предположению
относительно алгебры L. Таким образом, q = q ?1 и потому в силу предложения 1
Wt1 +1 обладает базисом (6). Но тогда инвариантами алгебры Lt1 +1 , а значит, и
алгебры L являются функции x0 ?xn , ym+1 +· · ·+ym+d , где ym+1 , . . . , ym+d заданы
2 2

выражениями (8) и (9). Докажем, что t1 + 1 = t. Действительно, пусть t1 + 1 < t
Примарная алгебра At1 +2 является подпрямой суммой алгебр AO[m1 + 1, m1 + d1 ],
AO[m1 + d1 + 1, m1 + 2d1 ],. . . , AO[m1 + (q1 ? 1)d1 + 1, m1 + q1 d1 ], где m1 = (q ? 1)d.
Если Wt1 +2 = 0, то инвариантом алгебры At1 +2 , а значит, и алгебры L является
функция x2 1 +1 + · · · + x2 1 +d1 . Следовательно, полная система инвариантов алге-
m m
бры L состоит из функций x0 ? xn , ym+1 + · · · + ym+d , x2 1 +1 + · · · + x2 1 +d1 . Но
2 2
m m
тогда P0 + Pn ? L, что противоречит предположению относительно алгебры L. По-
лученное противоречие доказывает, что если t1 + 1 < t, то Wt1 +2 = 0. Аналогично,
как и выше, доказываем, что ?(Wt1 +2 ) = Gm1 +1 , . . . , Gm1 +(q1 ?1)d1 . Но тогда ин-
вариантом алгебры Lt1 +2 = Wt1 +2 ? At1 +2 является функция ym1 +1 + · · · + ym1 +d1 ,
2 2

где ym1 +1 , . . . , ym1 +d1 заданы выражениями (8) и (9), если положить x(i?1)d1 +1 =
xm1 +(i?1)d1 +1 . Таким образом, мы нашли три функционально независимых инва-
рианта x0 ? xn , ym+1 + · · · + ym+d , ym1 +1 + · · · + ym1 +d1 алгебры L. Отсюда следует,
2 2 2 2

что P0 + Pn ? L и мы снова приходим к противоречию. Следовательно, t1 + 1 = t
и потому алгебра L относится к типу 2 или 6 теоремы.
b) Случай ?(W1 ) = G1 , . . . , Gq d1 , 1 ? q < q1 . Из рассуждений, изложенных
выше, вытекает, что q = q1 ? 1 и потому W1 обладает базисом (6) при m0 = 0.
Исключая алгебры, рассмотренные в п. а), доказываем далее, что t = 1. Таким
образом, алгебра L относится к одному из типов 4, 5 теоремы.
c) Случай ?(W1 ) = 0. Исключая алгебры, рассмотренные в пп. а) и b), получа-
ем W2 = · · · = Wt = 0. Следовательно, t = 1 и потому алгебра L относится к типу
7 или 9 теоремы. Теорема доказана.
?
Опишем далее максимальные подалгебры ранга n ? 2 алгебры AG(2, n ? 1) с
ненулевой проекцией на J0n . Каждая такая подалгебра представляется в виде
полупрямой суммы L + J0n + X , где L — максимальная подалгебра ранга n ? 3
?
? ?
алгебры AG(0, n ? 1), а X ? AG(0, n ? 1).
Предложение 2. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 3 алгебры
? ?
AG(0, n ? 1), для которой существует элемент вида J0n + X, X ? AG(0, n ? 1),
содержащийся в нормализаторе алгебры L. Если P0 , P0 + Pn ? L, то L P (1, n)-
сопряжена с одной из следующих алгебр:
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 209

1) AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3], m = 1, . . . , n ? 3; n ? 4;
2) AE1 [1, d]?AO[d+1, m]?AE[m+1, n?2], d = 1, . . . , n?3; m = d+2, . . . , n?2;
n ? 4;
3) AE1 [1, d1 ] ? AO[d1 + 1, d2 ] ? AO[d2 + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], d1 = 1, . . . , n ? 3;
d2 = d1 + 1, . . . , n ? 2; m = d2 + 1, . . . , n ? 1; n ? 4;
4) AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 2], m = 1, . . . , n ? 2; n ? 3;
5) AO[1, d]?AO[d+1, m]?AE[m+1, n?1], d = 1, . . . , n?2; m = d+1, . . . , n?1;
n ? 3.
Доказательство. Пусть ?(L) = 0, A1 , . . . , At — примарные части ?(L) и A1 явля-
ется подпрямой суммой алгебр AO[1, d1 ], AO[d1 + 1, 2d1 ], . . . , AO[(q1 ? 1)d1 + q1 d1 ].
Допустим, что W1 = 0. Тогда из условия [J0n + X, L] ? L вытекает W1 =
G1 , . . . , Gq d1 , где q ? 1. В силу максимальности L имеем AO[1, d1 ] ? L и
потому q = 1. Таким образом, алгебра W1 ? A1 совпадает с AE1 [1, d1 ] и выде-
ляется прямым слагаемым в алгебре L, т.е. L = AE1 [1, d1 ] ? L . Если L = 0, то
d1 = n ? 3 и алгебра L относится к типу 1 предложения 2. Пусть далее L = 0.
При этом условии ?(L ) = 0 и алгебры A2 , . . . , At являются примарными частя-
ми алгебры ?(L ). Из условия [J0n + X, L] ? L и максимальности L вытекает
W2 = · · · = Wt = 0. Так как ранг алгебры L равен n ? 3, то t ? 3. Рассмотрим
случай t = 2. Нетрудно убедиться, что A2 — ортогональная алгебра, совпадающая
с AO[d1 + 1, n ? 1]. Если d1 + 1 = n ? 2, то AO[d1 + 1, n ? 1] = Jn?2,n?1 и потому
L = AE1 [1, d1 ] ? Jn?2,n?1 + ?M . Используя соотношение [J0n + X, L] ? L, полу-
чаем ? = 0. Таким образом, алгебра L относится к типу 2 предложения 2. Если
d1 + 1 < n ? 2, то AO[d1 + 1, n ? 1] ? L и потому L = AE1 [1, d1 ] ? AO[d1 + 1, n ? 1].
Если t = 3, то аналогичными рассуждениями доказываем, что L относится к ти-
пу 3 предложения.
Допустим далее, что W1 = · · · = Wt = 0. Если t = 1, то, очевидно, L =
AO[1, n ? 2]. Если t = 2, то L = AO[m + 1, n ? 1].
Пусть ?(L) = 0. В этом случае L = G1 и, значит, n = 3, т.е. получаем алгебру
типа 1 предложения 2. Предложение доказано.
?
Теорема 2. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 2 алгебры AG(2, n ?
1), ?0 (L) = J0n , L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена с одной из
следующих алгебр:
1) L1 = (AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]) ? J0n , m = 1, . . . , n ? 3; n ? 4;
2) L2 = (AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]) ? J0n + ?Pn?1 , m = 1, . . . , n ? 3; n ? 4;
? > 0;
3) L3 = (AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]) ? Jn?2,n?1 + cJ0n , m = 1, . . . , n ? 3;
n ? 4; c > 0;
4) L4 = (AE1 [1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) ? J0n , d = 1, . . . , n ? 3;
m = d + 1, . . . , n ? 2; n ? 4;
5) L5 = (AE1 [1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) ? J0n + ?Pn?1 , d =
1, . . . , n ? 3; m = d + 1, . . . , n ? 2; n ? 4; ? > 0;
6) L6 = (AE1 [1, d1 ] ? AO[d1 + 1, d2 ] ? AO[d2 + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) ? J0n ,
d1 = 1, . . . , n ? 3; d2 = d1 + 1, . . . , n ? 2, m = d2 + 1, . . . , n ? 1; n ? 5;
7) L7 = (AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) ? J0n , m = 1, . . . , n ? 2; n ? 3;
8) L8 = (AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) ? J0n + ?Pn?1 , m = d + 1, . . . , n ? 2;
n ? 4; ? > 0;
210 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

9) L9 = (AO[1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1]) ? J0n , d = 1, . . . , n ? 2;
m = d + 1, . . . , n ? 1; n ? 3.
Доказательство. Классификация всех максимальных подалгебр ранга n ? 2 алге-
?
бры AG(2, n ? 1), удовлетворяющих условию теоремы 2, сводится к нахождению
всех неэквивалентных расширений максимальных подалгебр F ранга n ? 3 с по-
?
мощью одномерных подалгебр вида J0n + X , X ? AG(0, n ? 1).
?
1 . Алгебра F1 = AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 3]. Нормализатор NorAP (1,n) F1
алгебры F1 в AP (1, n) совпадает с алгеброй F1 ? K, где K = P0 + Pn , Pn?2 , Pn?1 ,
Jn?2,n?1 , J0n . Поэтому задача свелась к нахождению всех одномерных подалгебр
алгебры K с точностью до сопряженности относительно группы внутренних авто-
морфизмов. Алгебра K содержит только такие одномерные подалгебры с ненулевой
проекцией на J0n : J0n , J0n + ?Pn?1 , ? > 0, Jn?2,n1 + cJ0n , c > 0. Таким
образом, получаем следующие расширения ранга n ? 2 алгебры F1 : F1 ? J0n ,
F1 ? J0n + ?Pn?1 , ? > 0, F1 ? Jn?2,n1 + cJ0n , c > 0.
2? . Алгебра F2 = AE1 [1, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]. Нормализа-
тор NorAP (1,n) F2 алгебры F2 в AP (1, n) совпадает с алгеброй F2 ? K, где K =
P0 + Pn , Pn?1 , J0n . Алгебра K содержит следующие одномерные подалгебры с
ненулевой проекцией на J0n : J0n , J0n + ?Jn?1 , ? > 0. В результате полу-
чаем такие максимальные подалгебры ранга n > 2, содержащие F2 : F2 ? J0n ,
F2 ? J0n + ?Jn?1 , ? > 0.
Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.
?
Теорема 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 1 алгебры AG(2, n ?
1) и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена с одной из следующих
алгебр:
1) AE[1, n ? 1];
2) AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 1; n ? 2;
3) AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1] ? J0n , m = 2, . . . , n ? 1; n ? 3;
4) G1 + P0 ? Pn ? AE[2, n ? 1], n ? 2;
5) (AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 2]) ? J0n , m = 1, . . . , n ? 2; n ? 3;
6) ?(d0 + 1, d1 , ?1 ) ? · · · ? ?(dt?1 + 1, m, ?1 ) ? AE[m + 1, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 1;
n ? 2;
7) J0n + ?P1 ? AE[2, n ? 1], n ? 2; ? > 0;
8) (AE1 [1, m] ? J0n + ?Pm+1 ) ? AE[m + 2, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 2; ? > 0;
n ? 3.
Доказательство. При доказательстве теоремы достаточно ограничиться рассмо-
трением случая L ? V = 0. Если ?0 (L) = J0n , то L является полупрямой суммой
?
K + J0n + X максимальной подалгебры K ранга n ? 2 алгебры AG(0, n ? 1)
?
?
и одномерной подалгебры J0n + X ? AG(2, n ? 1). Используя описание макси-
?
мальных подалгебр ранга n ? 2 алгебры AG(0, n ? 1), изложенное в теореме 1, и
доказательство теоремы 2, легко проводим классификацию подалгебр, удовлетво-
ряющих указанным требованиям.
Если ?0 (L) = 0, то доказательство теоремы проводится аналогично доказатель-
ству теоремы 1. Теорема доказана.
5. Максимальные подалгебры ранга n ? 2 и n ? 1 алгебры AP (1, n). По-
далгебра L ? AP (1, n) называется подалгеброй класса 0, если V не содержит
вполне изотропного подпространства, инвариантного относительно L.
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 211

Теорема 4. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 2 алгебры AP (1, n),
относящаяся к классу 0, и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена с
одной из следующих алгебр:
1) F1 = AO[0, m] ? AE[m + 1, n ? 2], m = 2, . . . , n ? 2; n ? 4;
2) F2 = AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 1; n ? 3;
3) F3 = J12 + ?P0 , J34 + ?P0 ? AE[5, n], n ? 4;
4) F4 = J12 + ?P0 ? AO[3, m] ? AE[m + 1, n], m = 3, . . . , n; n ? 3;
5) F5 = AO[0, m] ? AE[m + 1, n ? 3] ? Jn?2,n?1 + ?Pn , m = 2, . . . , n ? 3; ? > 0;
n ? 5;
6) F6 = AO[0, d1 ]?AO[d1 +1, d2 ]?AO[d2 +1, m]?AE[m+1, n], d1 = 2, . . . , n?2;
d2 = d1 + 1, . . . , n ? 1; m = d2 + 1, . . . , n; n ? 4;
7) F7 = AO[0, d] ? AO[d + 1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], d = 2, . . . , n ? 2; m =
d + 1, . . . , n ? 1; n ? 4;
8) F8 = AO[0, m]?AO[m+1, d]?AE[d+1, n], m = 1, . . . , n?1; d = m+1, . . . , n;
n ? 2.
Доказательство. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n?2 алгебры AP (1, n),
L ? V = 0 и подалгебра ?0 (L) относится к классу 0. Тогда пространство V являе-
тся прямой ортогональной суммой неприводимых L-подпространств V0 , V1 , . . . , Vs ,
каждое из которых невырождено. По теореме Витта можно предполагать, что
V0 = P0 , P1 , . . . , Pk0 , V1 = Pk0 , . . . , Pk0 +k1 , . . ., Vs = P?+1 , . . ., P?+ks , где
? = k0 + k1 + · · · + ks?1 , ? + ks = n, k0 ? 0, k1 ? 1, i = 1, . . . , s. Здесь V0 —
псевдоевклидово пространство типа (1, k0 ), если k0 = 0, Vi — евклидово про-
странство размерности ki , i = 1, . . . , s. Если k0 = 0, то V0 = P0 . Отсюда вытека-
ет, что алгебра ?0 (L) является подпрямой суммой подалгебр A1 = AO[1, k1 ], . . .,
As = AO[? + 1, ? + ks ]. Пусть A1 = 0, a A2 = · · · = As = 0. Тогда k1 = n ? 1
и потому L относится к типу 2 или 4 теоремы 4. Пусть A1 = 0, A2 = 0, а
A3 = · · · = As = 0. Нетрудно убедиться, что алгебра L относится к одному из
типов 3, 8 теоремы 4. Если A1 = 0, A2 = 0, A3 = 0, то вследствие максимальности
L имеем P0 ? L, что противоречит предположению.
Пусть далее k0 = 0. Тогда k0 ? 2 и алгебра ?0 (L) является подпрямой суммой
алгебр A0 = AO[1, k0 ], A1 = AO[k0 + 1, k0 + k1 ], . . ., As = AO[? + 1, ? + ks ]. Если
A1 = · · · = As = 0, то, очевидно, k0 = n ? 2 и L относится к типу 1 теоремы 4.
Пусть A1 = 0, A2 = · · · = As = 0. Если допустить, что k1 > 3, то L = AO[0, k0 ] ?
AO[k0 + 1, n ? 1]. Если k1 = 2, то 1 + k0 = n ? 2, т.е. k0 = n ? 3. Следовательно,
получаем такие алгебры: AO[0, k0 ]?AO[k0 +1, n?1], AO[0, n?3]? Jn?2,n?1 +?Pn ,
? > 0.
Пусть A1 = 0, A2 = 0, A3 = · · · = As = 0. Тогда k0 + k1 + k2 = 3 и алгебра L
относится к типу 6 теоремы. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 2 алгебры AP (1, n)
и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) B1 –B10 теоремы 1;
2) F1 –F8 теоремы 4;
3) L2 , L3 , L5 , L7 –L9 теоремы 2.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что каждая из подалгебр Fi теоремы 4, i =
1, . . . , 7, максимальна в алгебре AP (1, n). Исследуем на максимальность алгебры,
представленные в теореме 2. Если алгебра L теоремы 2 не является максимальной
212 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

в алгебре AP (1, n), то она содержится в некоторой максимальной подалгебре L
ранга n ? 2, относящейся к классу 0. Так, для алгебры L1 соответствующей
максимальной подалгеброй L является алгебра J01 , . . . , J0m , J1n , . . . , Jmn , J0n ?
AE[m + 1, n ? 3], которая сопряжена с алгеброй AO[0, m + 1] ? AE[m + 2, n ?
2]. Аналогично исследуются алгебры L4 , L6 . Все остальные алгебры теоремы 2,
отличные от L1 , L4 и L6 , максимальны в алгебре AP (1, n). Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 1 алгебры AP (1, n)
и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) L1 = AE[1, n ? 1];
2) L2 = AO[1, m] ? AE[m + 1, n], m = 1, . . . , n; n ? 2;
3) L3 = AE1 [1, m] ? AE[m + 1, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 1; n ? 2;
4) L4 = AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 1] ? J0n , m = 1, . . . , n ? 1; n ? 3;
5) L5 = AO[0, m] ? AE[m + 1, n ? 1], m = 2, . . . , n ? 1; n ? 3;
6) L6 = AO[0, m] ? AO[m + 1, q] ? AE[q + 1, n], m = 2, . . . , n ? 1; q = m + 1, . . . , n;
n ? 3;
7) L7 = G1 + P0 ? Pn ? AE[2, n ? 1], n ? 2;
8) L8 = ?(d0 +1, d1 , ?1 )?· · ·??(dt?1 +1, m, ?t )?AE[m+1, n?1], m = 1, . . . , n?1;
n ? 3;
9) L9 = J0n + ?P1 ? AE[2, n ? 1], n ? 2; ? > 0;
10) L10 = (AE1 [1, m] ? J0n + ?Pm+1 ) ? AE[m + 2, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 2;
? > 0; n ? 3;
11) L11 = J13 + ?P0 ? AE[3, n], n ? 2; ? > 0.
Теорема 6 доказывается аналогично доказательству теорем 4 и 5.

6. Редукция по подалгебрам алгебры AP (1, n). В настоящем пункте прово-
дим редукцию уравнения (1) к дифференциальным уравнениям от двух инвариан-
тных переменных ?1 , ?3 . Для проведения указанной редукции используем макси-
мальные подалгебры L ранга n ? 1 алгебры AP (1, n), удовлетворяющие условию
L ? V ? P1 , . . . , Pn . Отдельно рассмотрим случай, когда L ? V изотропно или
L ? V = P0 .
Пусть L — некоторая подалгебра алгебры AP (1, n). Если P0 ? L или P0 +
Pn ? L, то, как показано в п. 2, любое решение уравнения (1), инвариантное
относительно L, является решением уравнения (4) в евклидовом пространстве En .
Таким образом, случаи P0 , P0 + Pn ? L свелись к задаче классификации подалгебр
Евклида AE(n) и AE(n ? 1).
Предложение 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 3 алгебры
Евклида AE[1, n ? 1]. Тогда L E[1, n ? 1]-сопряжена с одной из следующих,
алгебр:
1) F1 = AO[1, m] ? AE[m + 1, n ? 2], m = 1, 2, . . . , n ? 2; n ? 4;
2) F2 = AO[1, m] ? AO[m + 1, d] ? AE[d + 1, n ? 1], m = 1, . . . , n ? 2; d =
m + 1, . . . , n ? 1; n ? 4;
3) F3 = J12 + ?P3 ? AE[4, n ? 1], ? > 0; n ? 4.
Предложение 3 доказывается аналогично доказательству теоремы 4.
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 213

Подалгебрам F1 –F3 предложения 3 соответствуют такие анзацы:

1/2
u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = x2 + · · · + x2
F1 : , ?2 = xn?1 ;
1 m

<< Предыдущая

стр. 50
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>