<< Предыдущая

стр. 51
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1/2
u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = x2 + · · · + x2 m+1 + · · · + xd ;
, ?2 = x2 2
F2 : 1 m
x2
1/2
u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = x2 + x2
F3 : , ?2 = ? arctg + x3 .
1 2
x1

Анзац u = ?(?1 , ?2 ) редуцирует уравнение (4) к дифференциальному уравне-
нию от двух инвариантных переменных ?1 и ?2 :

m?1
? ??11 ? ?1 ? ?22 , ??2 ? ?2 , ?
F1 : = 0;
1 2
?1
m?1 d?m?1
? ??11 ? ?1 ? ?22 ? ?2 , ??2 ? ?2 , ? (10)
F2 : = 0;
1 2
?1 ?2
1 ?
? ??11 ? ?1 ? ?2 ?22 + ?2 , ??2 ? (?2 + 1)?2 , ?
F3 : = 0.
1 2
?1 ?2

Используя далее подалгебры ранга n ? 2 алгебры AE(n), изложенные в пре-
дложении 3 (если вместо n ? 1 положить n), редуцируем уравнение (4) к диф-
ференциальным уравнениям от двух инвариантных переменных ?1 и ?2 . Все эти
редуцированные уравнения имеют вид (10).
Проведем редукцию уравнения (1) по подалгебрам Li , представленными в тео-
реме 6. Этим подалгебрам соответствуют следующие анзацы:

L1 : u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = x0 , ?2 = xn ;
1/2
?2 = x2 + · · · + x2
L2 : u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = x0 , ;
m
1
1/2
?1 = x0 ? xn , ?2 = x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
L3 : u = ?(?1 , ?2 ), ;
m n
0 1
1/2 1/2
?1 = x2 + · · · + x2 ?2 = x2 ? x2
L4 : u = ?(?1 , ?2 ), , ;
m n
1 0
1/2
?1 = x2 ? x2 · · · ? x2 ? x2
L5 : u = ?(?1 , ?2 ), , ?2 = xm+1 ;
m n
0 1
1/2
?1 = x2 ? x2 · · · ? x2 ? x2
L6 : u = ?(?1 , ?2 ), ,
m n
0 1
1/2
m+1 + · · · + xq
?2 = x2 2
;
u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = (x0 ? xn )2 ? 4x1 ,
L7 :
?2 = (x0 ? xn )2 ? 6x1 (x0 ? xn ) + 6(x0 + xn );
u = ?(?1 , ?2 ), ?2 = x0 ? xn ,
L8 :
t
(di ? di?1 )(x0 ? xn ) 2
? xdi?1 +1 + · · · + x2i + x2 ;
x2
?1 =
x0 ? xn + ?i
0 d n
i=1
1/2
?1 = x2 ? x2 ?2 = ? ln(x0 + xn ) ? x1 ;
L9 : u = ?(?1 , ?2 ), ,
n
0
1/2
u = ?(?1 , ?2 ), ?1 = x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
L10 : ,
m n
0 1
?2 = ? ln(x0 ? xn ) + xm+1 ;
x2
1/2
?1 = x2 + x2
L11 : u = ?(?1 , ?2 ), , ?2 = x0 + arctg .
1 2
x1
214 А.Ф. Баранник, Л.Ф. Баранник, В.И. Фущич

Анзац u = ?(?1 , ?2 ) редуцирует уравнение (1) к уравнению от двух инвариан-
тных переменных ?2 и ?2 :
L1 : ? ?11 ? ?22 , ?2 ? ?2 , ? = 0;
1 2

1?m
L2 : ? ?11 ? ?22 + ?2 , ?2 ? ?2 , ? = 0;
1 2
?2
2?1 m+1 2?1
?2 , 2?2 + ?1 ?2 + ? 2 , ?
L3 : ? 2?11 + ?12 + ?22 + = 0;
1 2
?2 ?2 ?2

1?m 1
? ??11 + ?22 + ?2 , ??2 + ?2 , ?
L4 : ?1 + = 0;
1 2
?1 ?2
m+1
? ?11 ? ?22 + ?1 , ?2 ? ?2 , ?
L5 : = 0;
1 2
?1
m+1?q
m+1
? ?11 ? ?22 + ?2 , ?2 ? ?2 , ?
L6 : ?1 + = 0;
1 2
?1 ?2
? ??11 + 4?1 ?22 , ??2 + 4?1 ?2 , ? = 0;
L7 : 1 2
t
(di ? di?1 )?2
2?2 1
L8 : ? ?11 + ?12 + 1+ ?1 ,
?1 ?1 ?2 + ?i
i=1

2?2
?2 + ?1 ?2 , ? = 0;
1
?1
2? 1 2?
?12 ? ?22 + ?1 ?2 ? ? 2 , ?
?1 , ?2 +
L9 : ? ?11 + = 0;
1 2
?1 ?1 ?1
2? m+1 2?
?12 ? ?22 + ?1 ?2 ? ? 2 , ?
?1 , ?2 +
L10 : ? ?11 + = 0;
1 2
?1 ?1 ?1
?1 ? 1 ?1 ? 1 2
2 2
1
? ??11 + 2 ?22 ? ? ?1 , ??1 +
2
L11 : 2 ?2 , ? = 0.
?1 ?1
1



1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
2. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
3. Grundland A.М., Harnad J., Winlernilz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically equati-
ons, J. Math. Pnys., 1984, 25, № 4, 791–806.
4. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solution of the nonlinear multidimen-
sional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 3645–3656.
5. Фущич В.И., Баранник А.Ф., О точных решениях нелинейного уравнения д’Аламбера в про-
странстве Минковского R1,n , Докл. АН УССР. Сер. А, 1990, № 6, 31–34.
6. Баранник Л.Ф., Симметрийная редукция и точные решения уравнения Лиувилля, Докл. АН
УССР. Сер. А, 1988, № 12, 3–5.
7. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) и реду-
кция нелинейных волновых уравнений. I, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 11, 1552–1559.
8. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) и реду-
кция нелинейных волновых уравнений. II, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 12, 1693–1700.
Редукция многомерного Пуанкаре-инвариантного нелинейного уравнения 215

9. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., Непрерывные подгруппы обобщенной группы
Евклида, Укр. мат. журн., 1986, 38, № 1, 67–72.
10. Barannik L.F., Fushchych W.I., On continuous subgroups of the generalired Schr?dinger group, J.
o
Math. Phys., 1989, 30, № 1, 31–40.
11. Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., Подалгебры обобщенной алгебры Галилея, в сб. Теоретико-
групповые исследования уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1985, 39–43.
12. Гото М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли, М., Мир, 1981, 336 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 216–230.

О редукции и точных решениях
нелинейных многомерных уравнений
Шредингера
А.Ф. БАРАННИК, В.А. МАРЧЕНКО, В.И. ФУЩИЧ
С использованием канонического разложения произвольной подалгебры ортогональ-
ной алгебры AO(n) описаны максимальные подалгебры ранга n и n?1 расширенной
изохронной алгебры Галилея, а также максимальные подалгебры ранга n обобщен-
?
ной расширенной классической алгебры Галилея AG(1, n), расширенной специаль-
? ?
ной алгебры Галилея AG(2, n) и расширенной полной алгебры Галилея AG(3, n).
По подалгебрам ранга п построены анзацы, редуцирующие многомерные уравнения
Шредингера к обыкновенным дифференциальным уравнениям. По решениям реду-
цированных уравнений найдены точные решения уравнений Шредингера.

With the help of the canonical decomposition of an arbitrary subalgebra of the orthogonal
algebra AO(n) the rank n and n ? 1 maxima] subalgebras of the extended isochronous
Galileo algebra, the rank n maximal subalgebras of the generalized extended classi-
? ?
cal Galileo algebra AG(1, n), the extended special Galileo algebra AG(2, n) and the
?
extended whole Galileo algebra AG(3, n) are described. By using the rank n subalgebras,
ans?tze reducing the many dimensional Schr?dinger equations to ordinary differential
a o
equations is found. With the help of the reduced equation solutions exact solutions of
the Schr?dinger equation are constructed.
o

Введение
Рассмотрим дифференциальное уравнение
??
= k?? + V (x, ?, ? ? ), (1)
i
?t
где V — произвольная дифференцируемая функция, ? = ?(t, x), x = (x1 , x2 , . . .,
xn ), k — ненулевое вещественное число. Это уравнение при n = 3 и V = 0
превращается в свободное уравнение Шредингера.
Симметрийные свойства уравнения (1) с использованием методов С. Ли [1–5]
при n = 3 изучены в [4–9], а для произвольного n — в [5, 10, 11]. В настоящей
работе уравнение (1) исследуется для случаев V = ?F (|?|), где F — произволь-
ная гладкая функция, V = ??|?|q , ? — произвольное комплексное число, а q —
вещественное число, и V = ??|?|4/n . Для каждого из указанных случаев мы
выделяем в алгебре инвариантности уравнения (1) все максимальные подалгебры,
редукция по которым приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Такие подалгебры имеют ранг n. Их описание получено из полного описания ма-
ксимальных подалгебр ранга n и n ? 1 расширенной изохронной алгебры Галилея
?
AG(0, n) и основано на каноническом разложении произвольной подалгебры орто-
гональной алгебры AO(n) [12]. По решениям редуцированных уравнений найдены
точные решения уравнения (1).
Теор. и мат. физика, 1991, 87, № 2, C. 220–234.
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 217

1. Алгебра инвариантности уравнения Шредингера
Если V = ?F (|?|), где F — произвольная гладкая функция, то уравнение (1)
инвариантно относительно обобщенной расширенной классической алгебры Гали-
?
лея AG(1, n) [5], базис которой составляют такие векторные поля:
xa
(??? ? ? ? ??? ),
Pa = ??a , Jab = xb ?b ? xb ?a , Ga = t?a +
2ki
1
(??? ? ? ? ??? )
T = ?t , M= (a, b = 1, 2, . . . , n).
2ki
Они связаны следующими коммутационными соотношениями:
[Jab , Jcd ] = ?ad Jbc + ?bc Jad ? ?ac Jbd ? ?bd Jac , [Pa , Pb ] = [Ga , Gb ] = 0,
[Pa , Jbc ] = ?ab Pc ? ?ac Pb , [Ga , Jbc ] = ?ab Gc ? ?ac Gb , (1.1)
[T, Jab ] = 0, [T, Pa ] = 0, [T, Ga ] = ?Pa , [Ga , Pb ] = ?ab M,

где M — центральный элемент, ?ab = 0, если a = b, ?ab = 1, если a = b. Алгебра
?
AG(1, n) содержит ортогональную алгебру AO(n) = J12 , . . . , Jn?1,n и расширен-
?

<< Предыдущая

стр. 51
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>