<< Предыдущая

стр. 52
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ную изохронную алгебру Галилея AG(0, n) = M, P1 , . . . , Pn , G1 , . . . , Gn + AO(n)
?
( + — знак полупрямой суммы).
Если V = ??|?|q , где ? — произвольное комплексное число, q — произволь-
ное вещественное число, то уравнение (1) инвариантно относительно расширенной
? ?
специальной алгебры Галилея AG(2, n), получаемой из алгебры AG(1, n) в резуль-
тате присоединения генератора дилатации
2
D = 2t?t + xa ?a ? (??? + ? ? ??? ).
q
?
Генераторы алгебры AG(2, n), удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.1)
и таким соотношениям:

[D, Pa ] = ?Pa , [D, T ] = ?2T. (1.2)
[D, Jab ] = 0, [D, Ga ] = Ga ,

Если V = ??|?|4/n , где ? — произвольное комплексное число, то уравнение (1)
?
инвариантно относительно расширенной полной алгебры Галилея AG(1, n) [11],
?
получаемой из алгебры AG(1, n) в результате присоединения генераторов
n
(??? + ? ? ??? ),
D = 2t?t + xa ?a ?
2
|x|2 n
(??? ? ? ? ??? ) ? t(??? + ? ? ??? ),
2 a
S = t ?t + tx ?a +
4ki 2
?
где |x|2 = x2 + x2 + · · · + x2 . Генераторы алгебры AG(3, n) связаны коммутацион-
n
1 2
ными соотношениями (1.1), (1.2) и следующими соотношениями:

[S, Jab ] = 0, [S, Pa ] = Ga , [S, Ga ] = 0, [D, S] = 2S, [T, S] = D.

Максимальную локальную группу инвариантности соответствующего уравне-
?
ния Шредингера обозначим через G(l, n) (l = 1, 2, 3). Ее алгебра Ли совпадает с
?
алгеброй AG(l, n). Для проведения редукции уравнения (1) по подалгебрам алге-
? ?
бры AG(l, n) (l = 1, 2, 3) следует описать подалгебры алгебры AG(l, n) с точностью
? ?
до G(l, n)-эквивалентности. Две подалгебры K1 , K2 алгебры AG(l, n) называются
218 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

G(l, n)-эквивалентными, если для некоторого g ? G(l, n) алгебры gK1 g ?1 и K2
? ?
обладают одними и теми инвариантами. Если функции f? (x) (? = 1, . . . , s) являю-
?
тся инварианта ненулевой подалгебры K алгебры AG(l, n), то K будем называть
алгеброй инвариантности данной системы функций. Для системы инвариантов ка-
?
ждой подалгебры алгебры AG(l, n) существует максимальная алгебра ивариантно-
сти, содержащая все алгебры инвариантности данной системы функций. Нетрудно
?
доказать, что подалгебры K1 и K2 алгебры AG(l, n) эквивалентны тогда и только
тогда, когда максимальные алгебры инвариантности полных систем инвариантов
?
подалгебр K1 и K2 G(l, n)-сопряжены. В силу этого в классе всех подалгебр,
эквивалентных между собой, естественно выделить и изучить максимальные по-
далгебры, поскольку такие подалгебры определяются однозначно с точностью до
?
G(l, n)-сопряженности.
Пусть K — некоторая подалгебра алгебры AG(l, n). Если M ? K, то ?? ? =
?
const, и мы получаем линейное уравнение. При T ? K инварианты не зависят
от t. В связи с этим будем предполагать, что все рассматриваемые подалгебры не
содержат M и T .
В работе будут использоваться следующие обозначения: V [r, s] = Gr , . . . , Gs
?
(r ? s); V = P1 , . . . , Pn ; ? , ?, ? — проектирования AG(3, n) на D, T, S ,
AO(n), G1 , G2 , . . . , Gn , соответственно; AO[r, s] = Jab | a, b = r, . . . , s ; AO(n) =
AO[1, n]; M[r, s] = M, Gr , . . . , Gs , Pr , . . . , Ps — алгебра Ли над R с генераторами
M, Gr , . . ., Gs , Pr , . . . , Ps .
2. Каноническое разложение подалгебры
ортогональной алгебры AO(n)
Пространство V = G1 , . . . , Gn можно рассматривать как евклидово про-
странство с ортонормированным базисом G1 , . . . , Gn . Группу O(n) будем отожде-
ствлять с группой изометрий пространства V .
Пусть ? : X > X — тривиальное представление алгебры F ? AO(n). Тогда
? O(n)-эквивалентно diag [?1 , . . . , ?m ], где ?j — неприводимое подпредставление
(j = 1, . . . , m). Можно предполагать, что алгебра Fj = {diag [0, . . . , ?j (X), . . . , 0] |
X ? F } является неприводимой подалгеброй ортогональной алгебры AO(Uj ), где
Uj = V [kj?1 + 1, kj ] (k0 = 0; km = n; j = 1, . . . , m). Если Fj = 0, то алгебру Fj
будем называть неприводимой частью алгебры F . Хорошо известно, что если пред-
ставления ? и ? алгебры Ли L кососимметрическими матрицами эквивалентны
над R, то C?(X)C ?1 = ? (X) для некоторой ортогональной матрицы C (X ? L).
Отсюда заключаем, что если ?r , и ?s , суть эквивалентные представления, то мо-
жно предполагать, что для любого X ? F имеет место равенство ?r (X) = ?s (X).
Объединив эквивалентные ненулевые неприводимые подпредставления, мы полу-
чим ненулевые попарно дизъюнктные подпредставления ?1 , . . . , ?l представления
?. Алгебру
Aj = {diag [0, . . . , ?j (X), . . . , 0] | X ? F } (j = 1, . . . , l)
будем называть примарной частью алгебры F . Очевидно, F является под пря-
мой суммой своих примарных частей. Разложение F в подпрямую сумму своих
примарных частей будем называть каноническим разложение алгебры F . Если F
совпадает со своей примарной частью, то F называется примарной алгеброй.
Предложение 1. Пусть n = ld, L = (L ? M[1, n]) + F — полупрямая сумма
?
подалгебры L ? M[1, n] и примарной алгебры F ? AO(n), являющейся подпря-
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 219

мой суммой неприводимых подалгебр соответственно алгебр AO[1, d], AO[d +
1, 2d], . . . , AO[(l ? 1)d + 1, ld]. Если M ? L, L ? V = 0 и ?(L) = G1 , . . . , Gld , то L
?
сопряжена с алгеброй W1 + F , где W1 обладает базисом
G1 + ?1 P1 , . . . , Gd + ?1 Pd ,
Gd+1 + ?2 Pd+1 , . . . , G2d + ?2 P2d ,
(2.1)
····································
G(l?1)d+1 + ?l P(l?1)d+1 , . . . , Gld + ?l Pld .
Если M ? L, L ? V = 0 и ?(L) = G1 , . . . , G(l?1)d , то L сопряжена с алгеброй
?
W1 + F , где W1 обладает базисом
G1 + ?1 P1 + ?1 P ?(l?1)d+1 , . . . , Gd + ?1 Pd + ?1 Pld ,
Gd+1 + ?2 Pd+1 + ?2 P(l?1)d+1 , . . . , G2d + ?2 P2d + ?2 Pld ,
(2.2)
·························································
G(l?2)d+1 + ?l?1 P(l?2)d+1 + ?l?1 P(l?1)d+1 , . . . , G(l?1)d + ?l?1 P(l?1)d + ?l?1 Pld .
Доказательство. В силу условия M ? L подалгебра L ? M[1, n] коммутативная.
Поэтому первая часть предложения вытекает из работы [13]. Пусть, далее, ?(L) =
G1 , . . . , G(l?1)d . Тогда можно предполагать, что L?M[1, n] есть подпрямая сумма
алгебры G1 + ?1 P1 , . . . , G(l?1)d + ?(l?1)d Pl?1d и алгебры P(l?1)d+1 , . . . , Pld , при
этом ?1 = · · · = ?d , ?d+1 = · · · = ?2d , . . . , ?(l?2)d+1 = · · · = ?(l?1)d .
Алгебра L ? M[1, n] является прямой суммой алгебр N1 . . . , Nl?1 , где Nj —
алгебра, обладающая базисом
j j
G(j?1)d+1 + ?j P(j?1)d+1 + ?11 P(l?1)d+1 + · · · + ?1d Pld ,
······················································
j j
Gjd + ?j Pjd + ?d1 P(l?1)d+1 + · · · + ?dd Pld (j = 1, . . . , l ? 1).
Связывающая матрица
?j j?
?11 · · · ?1d
?j = ? · · · · · · · · · ?
j j
?d1 · · · ?dd
сплетает представления неприводимой части алгебры F в пространствах
G(j?1)d+1 , . . . , Gjd и P(l?1)d+1 , . . . , Pld . Поэтому ?j = ?j Cj , где ?j — веще-
ственное число, a Cj — ортогональная матрица. O(n)-автоморфизм, соответству-
ющий матрице
? ?
Ed
? ?
..
? ?
. 0
? ?
? ?
Cj
? ?
? ?
..
? ?
.
0
Ed
оставляет неизменным F , Nj , при i = j и преобразует пространство Nj в про-
странство, которому соответствует связывающая матрица ?j Ed . Предложение до-
казано.
220 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

?
3. Инварианты расширенной изохронной алгебры Галилея AG(0, n)
?
Пусть L — произвольная подалгебра алгебры AG(0, n), обладающая нулевой
проекцией ?(L) на AO(n), и M ? L. Обозначим через A1 , . . . , Ap примерные
/
части ?(L). Подалгебра L ? M[1, n] коммутативна и инвариантна относительно
?(L). Согласно работе [14] она является прямой суммой

?
W = W1 ? · · · ? Wp ? W

?
подалгебр Wj (j = 1, . . . , p), W , удовлетворяющих соотношениям [Wj , Aj ] = [Aj , W ]
?
= Wj , [Ar , Wj ] = 0 при r = j, W = {y ? W | [L, Y ] = 0}. Изучим структуру
?
инвариантов алгебр Lj = Wj + Aj (j = 1, . . . , p), так как они в значитель-
ной мере определяют структуру инвариантов алгебры L. He нарушая общно-
сти, можно ограничиться рассмотрением алгебры L1 . Ее npi часть совпадает с
A1 и является подпрямой суммой неприводимых алгебр соответственно алгебр
AO[1, d], AO[d + 1, 2d], . . . , AO[(l ? 1)d + 1, ld]. Инварианты алгебры L1 будем рас-
сматривать в пространстве функции переменных t, ?, x1 , . . . , xld . Всегда можно
предполагать, что ?(L1 ) = G1 , . . . , Gl1 d , где 1 ? l1 ? l. В зависимости от значе-
ния l1 рассмотрим три случая.
А. Случай l1 = l. В силу предложения 1 алгебра W1 с точностью O(n)-
сопряженности обладает базисом (2.1). Так как ранг алгебры W1 равен ld, то
она имеет два основных инварианта. В качестве этих инвариантов можно взять
функции t и
? ?
x(j?1)d+1 + · · · + xjd
l 2 2
i
? = ? exp ? ?. (3.1)
t ? ?j
4k j=1

Так как каждая из них является инвариантом алгебры Aj , то система функций t,
? образует полную систему инвариантов алгебры L1 .
Б. Случай l1 = l ? 1. В силу предложения 1 алгебра W1 с точностью O(n)-
сопряженности обладает базисом (2.2). Так как ранг алгебры W1 равен (l ? 1)d, то
ее полная система инвариантов состоит из d+2 функций. Очевидно, инвариантами
W1 являются функции t и
? ?
x(j?1)d+1 + · · · + xjd
l?1 2 2
i
? = ? exp ? ?.
t ? ?j
4k j=1

Эти инварианты функционально независимы. Найдем остальные d функционально
независимых инвариантов алгебры W1 , которые дополняют систему двух инвари-
антов t и ? алгебры W1 до полной системы инвариантов W1 . Легко убедиться, что
инвариантом алгебры W1 является функция
l?1
?s (t + ?1 ) · · · (t + ?s?1 )(t + ?s+1 ) · · · (t + ?l?2 )x(s?1)d+1 ?
y1 =
s=1
(3.2)
l?1
? (t + ?s )x(l?1)d+1 .
s=1
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 221

Подействовав на нее генератором J1j + Jd+1,d+j + · · · + J(l?1)d+1,(l?1)d+j (j =
2 . . . , d), получаем такой инвариант алгебры W1 :

l?1
?s (t + ?1 ) · · · (t + ?s?1 )(t + ?s+1 ) · · · (t + ?l?2 )x(s?1)d+j +
yj =
s=1
(3.3)
l?1
+ (t + ?s )x(l?1)d .
s=1

Мы нашли d функционально независимых инвариантов y1 , . . . , yd алгебры W1 , ко-
торые вместе с инвариантами t и ? образуют полную систему инвариантов алгебры
W1 . Запишем генераторы примарной алгебры, являющейся подпрямой суммой ал-
гебр AO[1, d], AO[d+1, 2d], . . . , AO[(l?1)d+1, ld] в новых переменных y1 , y2 , . . . , yd .
?
Рассмотрим, например, генератор J12 = J12 + Jd+1,d+2 + · · · + J(l?1)d+1,(l?1)d+2 .
Используя формулы (3.2) и (3.3), получаем, что в переменных y1 , y2 , . . . , yd ге-
? ?
нератор J12 принимает вид J12 = y1 ?y2 ? y2 ?y1 .Отсюда вытекает, что A1 можно
? ?

? ? ?
рассматривать как подалгебру ортогональной алгебры AO(d) = J12 , . . . , Jd?1,d
?
действующую в евклидовом пространстве Ed , состоящем из d-мерных векторов
(y1 , y2 , . . . , yd ).
Допустим, что ранг алгебры A1 равен r. Тогда полная система инвариантов
алгебры A1 в пространстве функций от y1 , y2 , . . . , yd состоит из d ? r функций.
Пусть это будут функции ?1 , . . . , ?d?r . Используя эти функции, мы без труда на-
ходим полную систему инвариантов алгебры L1 . Она состоит из функций t, ?,
?1 , . . . , ?d?r , где вместо y1 , . . . , yd подставлены их выражения (3.2) и (3.3).
В. Случай l1 < l ? 1. Аналогично случаю Б A1 можно рассматривать как по-
далгебру примарной алгебры B, являющейся подпрямой суммой ортогональных
? ? ?
алгебр AO[1, d], AO[d + 1, 2d], . . . , AO[(l ? l1 )d ? d + 1, (l ? l1 )d]. Генераторы этих

<< Предыдущая

стр. 52
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>