<< Предыдущая

стр. 53
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

алгебр записаны в переменных y1 , . . . , yd , . . . , y(l?l1 )d , которые являются инвариан-
тами алгебры W1 не зависящими от ?.
Допустим, что ранг алгебры A1 равен r. Тогда полная система инвариантов
алгебры A1 в пространстве функций от переменных y1 , . . . , y(l?l1 )d состоит из
(l ? l1 )d ? r функций. Пусть это будут функции ?1 , . . . , ?(l?l1 )d?r . Используя их,
получаем, что полная система инвариантов алгебры L1 состоит из функций t, ?,
?1 , . . . , ?(l?l1 )d?r где ? задается формулой (3.1), в которой l = l1 .
?
4. Максимальные подалгебры ранга n и n ? 1 флгебры AG(0, n)
Здесь и в дальнейшем будем использовать следующие обозначения:

?
?(d0 , d1 , ?1 ) = Gd0 + ?1 Pd0 , . . . , Gd1 + ?1 Pd1 + AO[d0 , d1 ];
AE(n ? m) = Pm+1 , . . . , Pn + AO[m + 1, n] (0 ? m ? n ? 1);
?
AE(n ? n) = AE(0) = 0;
AE1 (n ? m) = Gm+1 , . . . , Gn + AO[m + 1, n] (0 ? m ? n ? 1);
?
AE1 (n ? n) = AE1 (0) = 0.

Пусть d1 , . . . , dp — натуральные числа, удовлетворяющие соотношение d0 = 1 <
d1 < · · · < dp ? n.
222 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

?
Предложение 2. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AG(0, n),
?
M ? L и L ? V = 0. Тогда L G(0, n)-сопряжена с алгеброй ?(1, d1 , ?1 ) ? ?(d1 +
1, d2 , ?2 ) ? · · · ? ?(dp?1 + 1, dp , ?p ), dp = n, ?1 < ?2 < · · · < ?p .
Доказательство. Пусть ?(L) = 0. Так как M ? L, то L является коммутативной
подалгеброй алгебры M[1, n]. Следовательно, алгебра L O(n)-сопряжена с алге-
брой G1 + ?1 P1 , . . . , Gn + ?n Pn [13]. Если, например, ?1 = ?2 , то J12 ? L, а
потому ?(L) = 0. Полученное противоречие доказывает, что ?1 < ?2 < · · · < ?n .
Пусть ?(L) = 0 и A1 , . . . , Ap — примарные части алгебры ?(L). По опреде-
лению A1 является подпрямой суммой неприводимых подалгебр соответственно
алгебр AO[1, d1 ], AO[d1 + l, 2d1 ], . . . , AO[(l ? 1)d1 + 1, ld1 ]. Допустим, что W1 = 0.
Тогда инвариантами алгебры A1 , а значит, и алгебры L являются функции t,
?1 = x2 + · · · + x21 , . . ., ?l = x2
(l?1)d1 +1 + · · · + xld1 . Tак как по условию полная
2
1 d
система инвариантов алгебры L состоит из двух инвариантов, то l = 1. Любой дру-
гой инвариант J алгебры L является функцией J = J(t, ?1 ) и потому M ? L, что
противоречит условию. Таким образом W1 = 0. В силу результатов п. 2 и предло-
жения 1 можно считать, что W1 обладает базисом (2.1). Поэтому полная система
инвариантов алгебры W1 состоит из функций t, ?, xld1 +1 , . . . , xn . Следовательно,
любой инвариант J алгебры L является функцией J = J(t, ?, xld1 +1 , . . . , xn ). В си-
лу максимальности L отсюда вытекает, что AO[1, d1 ] ? L, а значит, l = 1. Мы
доказали, что алгебра ?(1, d1 , ?1 ) выделяется прямым слагаемым в алгебре L, т.е.
L = ?(1, d1 , ?1 ) ? L .
Алгебра ?(L ) является подпрямой суммой примарных частей A2 , . . . , Ap . При-
меняя к ней предыдущие рассуждения, доказываем, что L = ?(d1 + 1, d2 , ?2 ) ? L .
Через p шагов получаем, что L = ?(1, d1 , ?1 )?· · ·??(dp?1 +1, dp , ?p )?L0 , где L0 —
нулевая либо коммутативная подалгебра, содержащаяся в M[dp , n]. Если L0 = 0,
то все доказано. Если L0 = 0, то ?(L0 ) = 0, а этот случай уже рассмотрен.
Предложение доказано.
?
Следствие 1. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AG(0, n) и
?
M ? L. Тогда L G(0, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) F1 = AE(n);
2) F2 = ?(1, d1 , ?1 ) ? ?(d1 + 1, d2 , ?2 ) ? · · · ? ?(dp?1 + 1, dp , ?p ) (dp = n);
3) F3 = ?(1, d1 , ?1 ) ? ?(d1 + 1, d2 , ?2 ) ? · · · ? ?(dp?1 + 1, dp , ?p ) ? AE(n ? m)
(dp = m; 1 ? m ? n).
Предложение 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 1 алгебры
? ?
AG(0, n) и M ? L. Тогда L G(0, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
1) K1 = J12 + ?M ? AE(n ? 2) (n ? 2);
2) K2 = AO(m) ? AE(n ? m) (1 ? m ? n);
3) K3 = AO[1, d]? ?(d + 1, d1 , ?1 )? · · · ??(dp?1 + 1, dp , ?p )? AE(n ? m) (dp = m;
m ? n);
4) K4 = L1 ? AE(n ? m), где L1 = W1 + A1 , W1 обладает базисом (2.2), а
?
A1 — диагональ в AO[1, d] ? · · · ? AO[(l ? 1)d + 1, ld] (m = ld; m ? n);
5) K5 = L1 ? AE(n ? m), где L1 = W1 + J + ?M , W1 обладает базисом
?
(2.2) при m = 2l, d = 2, a J = J12 + · · · + Jm?1,m (m ? n; ? > 0);
6) K6 = L1 ??(d1 +1, d2 , ?1 )?· · ·??(dp +1, m, ?p )?AE(n?m), где L1 = W1 + ?
A1 , W1 обладает базисом (2.2) при n = d1 , a A1 — диагональ в AO[1, d1 ] ? · · · ?
AO[(l ? 1)d1 + 1, ld1 ] (m ? n);
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 223

7) K7 = L1 ??(d1 +1, d2 , ?1 )?· · ·??(dp +1, m, ?p )?AE(n?m), где L1 = W1 + ?
J + ?M , W1 обладает базисом (2.2) при n = d1 , d = 2, a J = J12 + · · · + Jd1 ?1,d1
(? = 0).
?
5. Редукция по подалгебрам алгебры AG(1, n)
В настоящем пункте мы проводим редукцию уравнения (1) при V = ?F (|?|),
где F — произвольная гладкая функция, по максимальным подалгебрам ранга n
? ?
алгебры AG(1, n). Все такие подалгебры, содержащиеся в AG(0, n), описаны в пре-
?
дложении 2. Для нахождения максимальных подалгебр ранга n алгебры AG(1, n),
?
не содержащихся в AG(0, n), воспользуемся следующим предложением.
Предложение 4. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n, алгебры
? ? ?
AG(1, n), не содержащаяся в AG(0, n). Тогда L = K + S , где K — максималь-
? n), a S = T + X, X ? AG(0, n).
?
ная подалгебра ранга n ? 1 алгебры AG(0,
Справедливость предложения вытекает из теоремы об универсальном инвари-
анте [1]. Из предложения 4 вытекает, что построение максимальных подалгебр
? ?
ранга n алгебры AG(1, n), не содержащихся в AG(0, n), сводится к нахождению
?
всех расширений максимальных подалгебр ранга n ? 1 алгебры AG(0, n) с помо-
?
щью одномерных подалгебр вида T + X , X ? AG(0, n). Рассмотрим этот вопрос
более подробно. Пусть K — произвольная максимальная подалгебра ранга n ? 1
?
алгебры AG(1, n). Допустим, что NorAG(1,n) , где N — подпространство. Следо-
?
?
вательно, максимальная подалгебра L ранга n алгебры AG(1, n), содержащая K,
представляется в виде L = K + T +X , где T +X ? N. Пусть L = K + T +X
? ?
(T + X ? N) — какая-нибудь другая максимальная подалгебра ранга n алгебры
?
AG(1, n). Тогда имеет место следующее
? ?
Предложение 5. Две подалгебры L = K + T + X и L = K + T + X
?
G(1, n)-сопряжены тогда и только тогда, когда T + X и T + X сопряжены
относительно группы внутренних автоморфизмов алгебры K ? N.
Из предложений 4 и 5 вытекает следующий алгоритм построения максималь-
? ?
ных подалгебр ранга n алгебры AG(1, n), не содержащихся в AG(0, n).
?
1. Для максимальной подалгебры K ? AG(0, n) находим ее нормализатор в
?
алгебре AG(1, n). Пусть, например, NorAG(1,n) K = K ? N.
?
2. Проводим классификацию с точностью до группы внутренних автоморфизмов
алгебры K ?N всех одномерных подалгебр пространства N с ненулевой проекцией
на T .
3. Если T + X1 , . . . , T + Xs — все одномерные подалгебры пространства N,
? ?
то K1 = K + T + X1 , . . ., Ks = K + T + Xs — все расширения ранга n
? n), содержащие подалгебру K.
алгебры AG(1,
?
Отметим, что алгоритм построения подалгебр ранга n алгебры AG(l, n) (l =
?
2, 3), не содержащихся в AG(1, n), формулируется аналогично.
Используя указанный алгоритм, доказываем следующую теорему
?
Теорема 1. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AG(l, n) и
?
M, T ? L. Тогда L G(1, n)-сопряжена с одной из следующих, алгебр:
1) F1 = AE(n);
2) F2 = ?(1, d1 , ?1 ) ? · · · ? ?(dp?1 + 1, dp , ?p ) ? AE(n ? m) (dp = m; 1 ? m ? n);
3) F3 = T + ?M, J12 + ?M ? AE(n ? 2) (?, ? ? R; ? = 0);
4) F4 = T + ?M ? AE(n ? 1);
224 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

5) F5 = T + ?G1 ? AE(n ? 1);
6) F6 = T + ?M ? AO[1, m] ? AE(n ? m) (? ? R; ? = 0; 3 ? m ? n).
Для подалгебр F1 –F6 получаем такие анзацы:
F1 : ? = ?(?), ? = t;
? ?
+ ··· +
p
x2j?1 +1 x2j
i
? = exp ?? ? ?(?),
d d
F2 : ? = t;
t ? ?j
4k j=1

i? i? x1
? = exp ? ? = x2 + x2 ;
F3 : t+ arctg ?(?), 1 2
2k 2k x2
i?
? = exp ?
F4 : t ?(?), ? = x1 ;
2k
i?2 3 i?t
t? ? = ?t2 ? 2x1 ;
F5 : ? = exp x1 ?(?),
6k 2k
m
i?
? = exp ? t ?(?), x2 .
F6 : ?= j
2k j=1

Указанные анзацы редуцируют уравнение (1) в случае V = ?F (|?|) обыкновен-
ному дифференциальному уравнению с неизвестной функцией ? = ?(?):

i? ? ?F (|?|) = 0;
F1 : ?
p
dj ? dj?1
?
F2 : ?+
? + i?F (|?|) = 0;
? ? ?j
2 j=1

?2 ?1
?
4k? ? + 4k ? ?
F3 : ? ? + ? ? + ?F (|?|) = 0;
2k 4k
?
k? ?
F4 : ? ? + ?F (|?|) = 0;
2k
?
F5 : 4k ? +
? ?? + ?F (|?|) = 0;
4k
?
4k? ? + 2mk ? ?
F6 : ? ? ? + ?F (|?|) = 0.
2k

?
6. Редукция по подалгебрам алгебры AG(2, n)
В этом пункте мы рассматриваем уравнение Шредингера (1) при V = ??|?|q ,
где ? — произвольное комплексное число, a q — произвольное вещественное число.
Для редукции данного уравнения мы используем максимальные подалгебры ранга
? ?
n алгебры AG(2, n), которые не сопряжены с подалгебрами алгебры AG(1, n).
Учитывая, что каждая из таких подалгебр L удовлетворяет условию D ? ? (L) и
используя алгоритм описания таких подалгебр, изложенный в п. 5, приходим к
следующей теореме.
?
Теорема 2. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AG(2, n), не
?
сопряженная с подалгеброй алгебры AG(1, n). Если D ? ? (L), M, T ? L, то L
?
G(2, n)-сопряжена с одной из следующих алгебр:
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 225

1) L1 = AO(m) ? AE(n ? m) ? D + ?M (m = 1, 2, . . . , n);
2) L2 = AO(m) ? AE1 (l ? m) ? AE(n ? 1) ? D + ?M (m = 1, 2, . . . , n ? 1;
l = m + 1, . . . , n);
3) L3 = J12 + ?M, D + ?M ? AE(n ? 2) (? ? 0);
4) L4 = J12 + ?M, D + ?M ? AE1 (m ? 2) ? AE(n ? m) (? ? 0, m = 3, . . . , n).
Подалгебрам L1 –L4 соответствуют такие анзацы:
m
1 i?
L1 : ? = exp ? x2 /t;
+ ln t ?(?), ?= j
q 4k j=1
? ?
l m
1 i? i
L2 : ? = exp ?? x2 ? ?(?),
ln t ? x2 /t;
+ ?=
4kt j=m+1 j j
q 4k j=1

x2 + x2
1 i? i? x1
L3 : ? = exp ? 1 2
+ ln t + arctg ?(?), ?= ;
q 4k 2k x2 t
? ?
m
1 i? i? x1 i
L4 : ? = exp ?? x2 ? ?(?),
?
+ ln t + arctg j
q 4k 2k x2 4kt j=3

<< Предыдущая

стр. 53
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>