<< Предыдущая

стр. 54
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


x2 + x2
1 2
?= .
t
Указанные анзацы редуцируют уравнение (1) в случае V = ??|?|q к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям с неизвестной функцией ? = ?(?):

i ?
? ? + ??|?|q = 0;
L1 : 4k? ? + (2km + i?)? +
? ?
q 4k
i(l ? m)
i ?
? ? ? + ??|?|q = 0;
L2 : 4k? ? + (2km + i?)? +
? ?
q 2 4k
?2 ?1
i ?
? ? ? + ??|?|q = 0;
L3 : 4k? ? + (4k + i?)? +
? ? ?
q 4k 4k
L4 : 4k? ? + (4k + i?)? +
? ?
i(m ? 2) ?2 ?1
i ? ?
? ? ? ? ? + ??|?|q = 0.
+ ?
q 4k 2 4k 4k

?
7. Редукция по подалгебрам алгебры AG(3, n)
В данном пункте речь пойдет о симметрийной редукции уравнения Шредин-
гера (1) при V = ??|?|4/n , где ? — произвольное комплексное число. Поскольку
это уравнение является частным случаем уравнений, pacсмотренных в п. 5, 6,
то при изучении симметрийной редукции его можно ограничиться теми подалге-
? ?
брами, которые не сопряжены с подалгебрами алгебр AG(1, n) и AG(2, n). Тако-
?
выми являются те и только те подалгебры алгебры AG(3, n), проекции которых
на D, S, T совпадают с S + T или с D, S, T . Но поскольку мы исключаем
случаи, когда подалгебр; содержит T , то следует ограничиться подалгебрами, чьи
проекции на D, S, T совпадают с S + T . Нетрудно убедиться, что для таких
226 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

подалгебр L ?(L) = 0 или ?(L) — примарная алгебра. Используя описание ма-
?
ксимальных подалгебр ранга n ? 1 алгебры AG(0, n) и алгоритм, изложенный в
п. 5, можно получить полное описание максимальных подалгебр ранга n алгебры
?
AG(3, n), чьи проекции на D, S, T совпадают с S + T . Так как операторы этих
подалгебр имеют громоздкий вид, то мы выпишем лишь подалгебры L, у которых
примарная алгебра ?(L) является подпрямой суммой не более трех неприводимых
алгебр.
?
Теорема 3. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AG(3, n),
? (L) = S + T и ?(L) — примарная алгебра, являющаяся подпрямой суммой
?
не более трех неприводимых алгебр. Если M, T ? L, то L G(0, n)-сопряжена с
одной из следующих алгебр:
1) K1 = AO(n) ? S + T + ?M ;
2) K2 = G1 + Pd+1 , G2 + Pd+2 , . . . , Gd + P2d + (K ? J ), где K — диагональ
?
d
в AO[1, d] ? AO[d + 1, 2d], a J = S + T + Ja,a+d + ?M (n = 2d; d > 1);
a=1
3) K3 = S + T + ?M, J12 + ?M ? AE(n ? 2);
4) K4 = Ga + v3 Pa + v3 P2d+a , Gd+a ? v3 Pd+a + v3 P2d+a | a = 1, . . . , d + (K ?
?
1 2 1 2

J ) (n = 3d, d > 1), где K — диагональ в AO[1, d]?AO[d+1, 2d]?AO[2d+1, 3d], a
d
2
v (Ja,d+a + Ja,2d+a + Jd+a,2d+a ) + ?M ;
J =S+T + 3
a=1
5) K5 = G1 +P3 , G2 +P4 + ( J12 +J34 +?M ? J ), J = S +T +J13 +J24 +?M ;
?
6) K6 = Ga + v3 Pa + v3 P4+a , G2+a ? v3 P2+a + v3 P4+a | a = 1, 2 + ( J12 +
?
1 2 1 2

J34 + J56 + ?M ? J ), где J = S + T + v3 (J13 + J24 + J15 + J35 + J26 + J46 ) + ?M .
2


Алгебрам K1 –K6 соответствуют такие анзацы:
? ?
n
x2
it
? ?
j
n i?
K1 : ? = exp ? arctg t? ?(?),
j=1
? ln(t2 + 1) ?
? ?
4k(t2 + 1) 4 2k

n
x2 /(t2 + 1);
?= j
j=1
d
t2 ? 1 x2
d i
K2 : ? = exp ? ln(t2 + 1) ? a
? + + 2? arctg t ?(?),
2 4k t t
a=1
d
?2
2
(xa + txd+a )2 ;
? = (t + 1)
a=1

it(x2 + x2 )
1 i? i? x1
K3 : ? = exp ? ln(t2 + 1) + ?
1 2
arctg t + arctg ?(?),
4k(t2 + 1)
2 2k 2k x2
x2 + x2
?= 1 2
;
2+1
t
t2 ? 3
3d i
K4 : ? = exp ? ln(t2 + 1) ? 4?t +
3t2 ? 3
4 4k
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 227

d
x2
x2
+ d+a
a
+ + 2? arctg t ?(?),
t ? v3
1 1
t + v3
a=1
d
1 1
?3
t+ v xa + t ? v
2
? = (t + 1) xd+a +
3 3
a=1
v 2
3 1
t2 ?
+ x2d+a ;
2 3
t2 ? 1 x2 + x2
i
K5 : ? = exp ? ln(t + 1) ? +1 2
2
? +
4k t t
x1 + tx3
+ 2? arctg t ? 2? arctg ?(?),
x2 + tx4
? = (t2 + 1)?2 (x1 + tx3 )2 + (x2 + tx4 )2 ;
t2 ? 1 x2 + x2
i
K6 : ? = exp ? ln(t + 1) ? +1 2
2
? +
4k t t
y1
+ 2? arctg t ? 2? ?(?),
y2
v
1 1 3 1
t+ v x1 + t ? v t2 ?
y1 = x3 + x5 ,
2 3
3 3
v
1 1 3 1
t+ v x2 + t ? v t2 ?
y2 = x4 + x6 ,
2 3
3 3
? = (t2 + 1)?2 (y1 + y2 ).
2 2



Указанные анзацы редуцируют уравнение (1) в случае V = ??|?|4/n к следую-
щим уравнениям:

? ?
K1 : 4k? ? + 2nk ? ? ? + ??|?|4/n = 0;
? ? +
2k 4k
1 ?
K2 : ? ? + 2kd? + 4k? ? + ??|?|2/d = 0;
?+ ? ?
k 2
?2 ?1
? ?
K3 : 4k? ? + 4k ? ? ? + ??|?|2 = 0;
? ? + + ?
2k 4k 4k
3 1 ?
K4 : 2k? ? + kd? ? ? + ??|?|4/3d = 0;
? ? 3? +
2 k 2
?2
1 ?
K5 : 4k? ? ?
? ?+ + ? + ??|?| = 0;
k 2 4?
?2
1 ?
K6 : 4k? ? ? ? + ??|?|2/3 = 0.
? 3? + +
k 2 4?

8. Точные решения уравнений Шредингера
228 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

Редуцированное уравнение, соответствующее подалгебре Fj будем обозначать
(5.j) (j = 1, . . . , 7). Аналогично редуцированное уравнение, соответствующее по-
далгебре Lj обозначим (6.j) (j = 1, . . . , 4). Найдем решения уравнения Шрединге-
ра (1) в случае V = ?F (|?|). Уравнение (5.2) имеет общее решение
? ?
p p
F? (t ? ?j )? 2 (dj ?dj?1 ) ? dt.
? 1 (dj ?dj?1 ) 1
(t ? ?j )
?=C 2

j=1 j=1


Следовательно, решением уравнения Шредингера (1) является функция
? ?
xdj?1 +1 + · · · + xdj
p 2 2
i
? = exp ?? ? ?(t). (8.1)
t ? ?j
4k j=1

Найдем решения уравнения (1), соответствующие решениям редуцированного урав-
нения (5.4), в предположении, что F (|?|) — вещественная функция. Пусть ?(?) =
?(?) exp(i?(?)), где ?(?), ?(?) — вещественные функции. Нетрудно получить, что
d? C
?=± , ?= .
?2
2
? kC + ? 2?
?2
2k ? F (?)d?
?2

Уравнение (5.6) при F (|?|) = ?|?|q и ? = 0 имеет решение

<< Предыдущая

стр. 54
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>