<< Предыдущая

стр. 55
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1/q
2k 2
m?2+
?= .
?q? q

Следовательно, решением уравнения Шредингера (1) является функция
? ?1/q
? 2?
2k
?=? ?
m?2+ (8.2)
.
? q?
m
x2
?q j
j=1

Уравнение (5.3) при F (|?|) = ?|?|q и ? = 0 имеет решение
1/q
4k ?2
1
? (8.3)
?= .
q2
?? 4k

Ему соответствует такое решение уравнения Шредингера (I):
1/q
4k ?2
i? x1 1
? (8.4)
? = exp arctg .
2 + x2 ) q2
2k x2 ?(x1 4k
2

Уравнение (5.2) при F (|?|) = ?|?|q и ?1 = ?2 = · · · = ?p имеет решения

iC q
?m/2
? 1?mq/2 ,
? = C? exp mq = 2;
1 ? mq/2
? = C? ?1/q exp(iC q ln |?|), mq = 2.
О редукции и точных решениях нелинейных уравнений Шредингера 229

Им соответствуют следующие решения уравнения Шредингера (1):
? ?
m
iC q
i
?? 2? ?m/2
t1?mq/2 , mq = 2;(8.5)
? = exp xj Ct exp
4k(t ? ?1 ) j=1 1 ? mq/2

? ?
m
i
? = exp ?? x2 ? Ct?1/q exp (iC q ln |t|) , mq = 2. (8.6)
4k(t ? ?1 ) j
j=1


Уравнение (6.1) обладает решением ? = C, где
1 ? i
|C|q = ? .
? 4k q
В результате получаем такое решение уравнения (1):
1 i?
? = C exp ? (8.7)
+ ln t .
q 4k
Аналогичное уравнение (6.2) обладает решением ? = C, где
i(l ? m)
1 ? i
|C|q = ?
+ .
? 4k 2 q
Ему соответствует решение
? ?
l
1 i? i
? = C exp ?? x2 ? .
ln t ? (8.8)
+
4kt j=m+1 j
q 4k

уравнения (1).
Итак, формулы (8.1)–(8.7) определяют многопараметрические семейства точных
решений уравнения (1) с нелинейностями V = ?F (|?|) и V = ??|?|q . Эти решения
могут быть размножены, если воспользоваться инвариантностью уравнения (1)
относительно G(1, n) и G(2, n). Действительно, если ?1 (t, x) есть решение, то
новые решения строятся по формулам
ix2 ?
t x
?2 = ? 1 , + ,
1 ? ?t 1 ? ?t 4k 1 ? ?t
iv 2 i
?3 = ?1 (t, x + vt) + t+ vx,
4k 2k
где ?, v — параметры группы G(1, n).

1. Овсянников Д.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
2. Ибрагимов И.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983.
3. Олвер П., Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Мир, 1986.
4. Fushchych W.I., Serov N.I., J. Phys. A, 1987, 20, 929.
5. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наукова думка, 1989.
230 А.Ф. Баранник, В.А. Марченко, В.И. Фущич

6. Баранник Л.Ф., Марченко В.А., в сб. Симметрийный анализ и решения уравнений математиче-
ской физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1988.
7. Gagnon L., Winternitz P., Preprint CRM-1528, Centre de recherches mathematiques, 1988.
8. Gagnon L., Winternitz P., Preprint CRM-1544, Centre de recherches mathematiques, 1988.
9. Gagnon L., Grammaticos В., Ramanl, Winternits P., Preprint CRM-1555, Centre de recherches
mathematiques, 1988.
10. Fushchych W.I., Cherniha R.М., J. Phys. A, 1985. 18, 3491.
11. Фущич В.И., Чернига Р.М., О точных решениях двух многомерных нелинейных уравнений
шредингеровского типа, Препринт № 86.85, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1986.
12. Фущич В.И., Баранник А.Ф., Баранник Л.Ф., УМЖ, 1986, 38, 67.
13. Barannik L.F., Fushchych W.J., J. Math. Phys., 1989, 30, 31.
14. Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф., в сб. Теоретико-групповые исследования уравнений математи-
ческой физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1985.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 231–232.

Про електромагнiтну структуру мас
елементарних частинок
О. БЕДРIЙ, В.I. ФУЩИЧ
Formulas are suggested for masses of elementary particles depending on the volume
and intensity of fields.

Проблема походження мас елементарних частинок на сьогоднi вiдкрита. Вона
не вирiшена не тiльки на кiлькiсному, а й на якiсному рiвнi. Вперше Дж.Дж.
Томпсон у 1893 р. [1] висунув iдею про електромагнiтну природу маси електрона.
Пiзнiше ця iдея обговорювалася з рiзних точок зору багатьма авторами в зв’язку
з рiзними конкретними моделями електрона (М. Абрагам, Г. Лоренц та iн.).
У повiдомленнi запропонованi формули для мас елементарних частинок, якi
залежать вiд об’єму V0 , потенцiалу (неелектромагнiтного i негравiтацiйного по-
ходження) Vg , електромагнiтного поля D, E, B, H. Цi поля за припущенням
створюються складовими частинками елементарних частинок, структура i власти-
востi яких нам невiдомi.
Будемо припускати, що маса частинок m є деякою функцiєю, вказаних величин

(1)
m = F (V0 , Vg , DE, DB, DH, BE, HE, BH).

Оскiльки m — скалярна величина, F — iнварiантна вiдносно просторових поворо-
тiв векторiв D, B, E, H. Це означає, що (1) має вигляд

m = F (V0 , Vg , DE, DH, DB, BE, HE, BH, D 2 , E 2 , B 2 , H 2 ). (2)

Якщо вимагати масштабну iнварiантнiсть (2) вiдносно перетворень

D > ?D, E > ?E, B > ?B, H > ?H, (3)

? — масштабний параметр, то (2) набуває вигляду
DE DE
(4)
m=F V 0 , Vg , , ,... .
DH BE
Виходячи з розмiрностей m, V0 , Vg , D, E, B, H, можна одержати найпростiшi
формули типу (2) для мас елементарних частинок. Наведемо деякi з них
DE
(5)
m = V0 ,
Vg

BH
(6)
m = V0 ,
Vg

m = g1 V0n1 Vgn2 (EH)n3 , (7)
Доповiдi АН України, 1991, № 2, С. 38–40.
232 О. Бедрiй, В.I. Фущич

m = g2 V0k1 Vgk2 (BD)k3 , (8)

m = g3 V0l1 Vgl2 (B 2 ? D 2 )l3 , (9)

m = g4 V0r1 Vgr2 (E 2 ? H 2 )r3 , (10)

де n1 , n2 , n3 , k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 , r1 , r2 , r3 — дiйснi числа, g1 , g2 , g3 , g4 — розмiрнi
константи, якi можуть бути визначенi з теорiї розмiрностей.
Варто зауважити, що формули (7)–(10), якщо V0 i Vg — постiйнi величини,
iнварiантнi не тiльки вiдносно просторових поворотiв, а iнварiантнi також вiдносно
групи Лоренца.
Наведемо тепер числовi значення V0 , Vg , |D|, |E|, |B|, |H|, якi дають, згiдно з
формулами (5), (6), експериментальнi значення мас електрона i протона.
Для електрона
V0 = 4, 44043 · 10?41 , Vg = 8, 98775 · 1016 , B = 4, 81346 · 1010 ,
H = 3, 83043 · 1016 , D = 1, 27769 · 108 , E = 1, 44304 · 1019 ,
me = 9, 10938 · 10?31 .
Для протона
V0 = 1, 07583 · 10?36 , Vg = 1, 29308 · 1015 , B = 3, 32551 · 109 ,
H = 6, 04608 · 1014 , D = 1, 68136 · 107 , E = 1, 19569 · 1017 ,
mp = 1, 67262 · 10?27 .
Числовi значення наведенi в таких одиницях:
[m] = кг, [V0 ] = м3 , [B] = вебер · м?2 , [D] = кулон · м?2 ,
[E] = вольт · м?1 , [H] = ампер · м?1 , [Vg ] = джоуль · (кг)?1 .
При обчисленнi мас електрона i протона за формулами (5), (6)

DE = |D||E| cos ?, BH = |B||H| cos ? (11)

ми вибрали ? = 0. Очевидно, що кутовий параметр ? можна вибрати довiльно, що
приведе до iнших значень D, B, E, H, якщо зафiксувати значення V0 , Vg .
Наведенi нами найпростiшi формули для обчислення експеримен тальних зна-
чень мас, якщо вiдоме електромагнiтне поле, можна роз глядати як одну з можли-
вих кiлькiсних реалiзацiй глибокої iдеї Дж.Дж. Томпсона.

1. Thomson J.J., Recent researches on electricity and magnetism, Oxford, 1893, 250 p.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 233–249.

Условная симметрия уравнений нелинейной
математической физики
В.И. ФУЩИЧ
Представлен обзор результатов по исследованию условной симметрии нелинейных
уравнений математической и теоретической физики: волнового уравнения, уравне-
ний Шредингера, Буссинеска, Кортевега-де Фриза, Максвелла, Дирака. Построены
семейства точных решений, которые не могут быть получены в классическом подходе
Ли.

1. Введение. В настоящей статье будут представлены некоторые результаты
по исследованию условной симметрии нелинейных уравнений математической и
теоретической физики, полученные в Институте математики АН Украины.
Термин и концепция “условная симметрия уравнения” или “условная инвариан-
тность” введены в [1–10]. Под условной симметрией уравнения мы понимаем сим-
метрию некоторого подмножества решений. Очевидно, такое общее определение
условной симметрии требует детализации, в противном случае оно неэффективно.
Конкретизация этого понятия означает следующее: аналитически описать усло-
вия на решения уравнения, при которых некоторое подмножество решений имеет
более широкие (или другие) симметрийные свойства, чем все множество реше-
ний. Если такое описание осуществлено, то мы можем получить такие решения
уравнения, которые невозможно получить в классическом подходе Ли, в котором,
как известно, редукция многомерного дифференциального уравнения в частных
производных (ДУЧП) к уравнениям с меньшим числом переменных проводится с
использованием симметрии всего множества решений.
Эйлер, Ли, Бейтмен (1914), В. Смирнов и Л. Соболев (1932) и многие другие
классики использовали в неявном виде симметрию подмножеств решений линей-
ных уравнений Д’Аламбера, Лапласа для построения точных решений.
Сравнительно недавно Блумен, Коул [11] предложили “неклассический метод
решений, инвариантных относительно группы” для линейного теплового уравне-
ния.
Олвер и Розенау (1986) [12] построили решения одномерного нелинейного урав-
нения акустики
?2u ?2u
(1)
u00 = uu11 , u00 = 2, u11 = ,
?x2
?t
которые не могут быть получены с помощью метода Ли. Кларксон и Крускал (1989)
[13] предложили “новый метод инвариантной редукции уравнения Буссинеска”
1
u00 + (u2 )xx + uxxxx = 0. (2)
2
Вывод 1. Если воспользоваться концепцией “условная симметрия ДУЧП”, то все
перечисленные результаты получаются с помощью единого симметрийного подхо-
да.
Укр. мат. журн., 1991, 43, № 11, C. 1456–1470.
234 В.И. Фущич

Вывод 2. Большинство линейных и нелинейных уравнений математической и те-
оретической физики: Д’Аламбера, Максвелла, Шредингера, Дирака, Буссинеска,
нелинейной теплопроводности и акустики обладают условной симметрией.
Замечание 1. Все решения уравнения Буссинеска (2), построенные Кларксоном
и Крускалом, получены на основе концепции условной симметрии независимо в

<< Предыдущая

стр. 55
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>