<< Предыдущая

стр. 56
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

работах Леви и Винтернитца [14] и В. Фущича и Н. Серова [10].
Рассмотрим некоторую систему ДУЧП

L(x, u, u, u, . . . , u) = 0, (3)
s
12

u = u(x), x ? R(n + 1), u ? R; u — совокупность всевозможных производных n-го
n
порядка.
Согласно Ли уравнение (3) инвариантно относительно оператора первого по-
рядка
? ?
X = ? µ (x, u) (4)
+ ?(x, u) ,
?xµ ?u
если X — s-раз продолженный оператор удовлетворяет условию

или (5)
X L = ?L, XL = 0,
s s L=0

где ? = ?(x, u, u, . . .) — некоторое дифференциальное выражение.
1
Обозначим через символ Q = {Q1 , . . . , Qk } совокупность операторов, не при-
надлежащих алгебре инвариантности (AI) уравнения (3), т.е. Ql ? AI, l = 1, 2,
. . . , k.
Определение 1 [2, 5]. Уравнение (3) назовем условно инвариантным относи-
тельно оператора Q, если существует нетривиальное дополнительное условие
на решение уравнения

L1 (x, u, u, . . . , u) = 0, (6)
s
1

при котором уравнение (3) вместе с уравнением (6) инвариантно относитель-
но операторов Q. При этом предполагается, что уравнения (3) и (6) совме-
стны.
Дополнительное условие (6) выделяет из всего множества решений уравне-
ния (3) некоторое подмножество. Оказывается, что для многих важных нелиней-
ных уравнений математической физики эти подмножества имеют симметрию более
широкую, чем все множество решений. Именно такие подмножества необходимо
научиться выделять.
Пусть действие оператора Q на уравнение (3) задается формулой

(7)
Q L = ?0 L + ?1 L1 ,
s

или

QL =0
Lu = 0
s L1 u = 0
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 235

?0 , ?1 = 0 — некоторые дифференциальные выражения, зависящие от x, u, u,
1
. . ., u, Q — s-раз продолженный оператор из Q. В наиболее простейшем случае
s s
условие инвариантности уравнений (3) и (6) означает, что

(8)
Q L1 = ?2 L + ?3 L1 ,
s

где ?2 , ?3 — некоторые дифференциальные выражения.
Главная проблема нашего подхода описать в явном виде дополнительные урав-
нения вида (6), которые расширяют симметрию уравнения (3).
Эта общая и трудная проблема существенно упрощается, если в качестве до-
полнительного условия (6) выбрать такое нелинейное уравнение первого порядка

(9)
Qu = 0,

где
? ?
?µ ? ?u ?
Q = J µ (x, u)?µ + Z(x, u)?u , (10)
, .
?xµ ?u
При этом условие инвариантности уравнений (3), (9) имеют вид

(11)
Q L = ?0 L + ?1 (Qu).
s

Определение 2. Будем говорить, что уравнение (3) Q-условно инвариантно,
если система (3), (9) инвариантна относительно оператора (10).
Остановимся теперь на простейшем одномерном нелинейном уравнении акусти-
ки (1).
2. Условная симметрия уравнения (2).
Теорема 1 [8]. Уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора
(10), если коэффициентные функции

J 0 ? A(x), J 1 ? B(x), Z = h(x)u + q(x), x = (x0 , x1 )

удовлетворяют дифференциальным уравнениям.
Случай 1: A = 0, B = 0; h = 2 B1 ? A0 + B A1 , q = 2 B B0 ;
A A

2h h 2h h q q
h0 ? B0 = q11 ?
h00 + A00 + A00 + 2 A11 + 2 A1 ,
A A A A A A 1
1
h h
h11 = A11 + 2 A1 ,
A A1
q q q
h00 + 2 q0 ? ? (12)
A00 + 2 B0 = 0,
A A A1
B B h
B11 ? 2h1 ? A11 + 2 A1 + 2 A1 = 0,
A A1 A
B B B
h0 ?
B00 + 2 A00 + 2 B0 = 0.
A A A 1

Индексы внизу означают соответствующую производную.
236 В.И. Фущич

Случай 2: A = 0, B = 0. Не умаляя общности, можно положить B = 1;
h0 = 0, h11 + 3hh1 + h3 = 0,
(13)
q11 + hg1 + (3h1 + 2h2 )q = 0, q00 ? qq1 ? hq 2 = 0.
Случай 3: A1 = 1, B = 0;
h1 = 0, h00 + hh0 ? h3 = q11 ,
(14)
q(q0 + hq) = 0, q00 + h0 q ? h2 q = 0.
Итак, задача об Q-условной симметрии уравнения (2) свелась к построению ча-
стных или общих решений уравнений (12)–(14). Подчеркнем, что коэффициентные
функции J µ (x, u), Z(x, u) оператора Q, в отличие от коэффициентных функций
? µ , ? (4), являются решениями нелинейных уравнений. Это обстоятельство суще-
ственно затрудняет задачу об описании условной симметрии заданных уравнений.
Однако, широкие классы частных решений таких уравнений можно построить.
Решая систему (12)–(14), мы нашли 12 типов неэквивалентных операторов
условной симметрии уравнения (2). Два из них имеют вид
Q1 = x2 x1 ?1 + x2 u + 3x2 + b5 x5 + b6 ?u , (15)
0 0 1 0

W = W 2, (16)
Q2 = ?1 + [W (x0 )x1 + f (x0 )?u ], f = W f,

W — функция Вейерштрасса.
Оператор (15) порождает анзац
U = x1 ?(x0 ) + 3x?2 x1 ? b5 x3 + b6 x?2 . (17)
0
0 0

Анзац (17) редуцирует нелинейное уравнение (2) к линейному ОДУ
x2 ? (x0 ) = 6?. (18)
0

Оператор (16) порождает анзац
1
W (x0 )x2 + f (x0 )x1 + ?(x0 ). (19)
u= 1
2
Анзац (19) редуцирует уравнение (2) к линейному ОДУ с потенциалом Вейер-
штрасса W
(20)
? (x0 ) = W ?(x0 ).
Замечание 2. Аналогичным методом построены семейства точных решений мно-
гомерного уравнения [8]
(21)
u00 = u?u.
Вывод 3. Анзацы, порождаемые операторами условной симметрии, во многих слу-
чаях редуцируют исходное нелинейное уравнение к линейному уравнению. Лиев-
ская редукция, как правило, не меняет нелинейную структуру уравнения.
3. Условная симметрия уравнения Д’Аламбера. Рассмотрим нелинейное урав-
нение
2u = F1 (u), (22)
u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ),
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 237

F1 (u) — произвольная гладкая функция. Максимально широкой симметрией урав-
нения (22) является конформная группа C(1, 3), в том и только в том случае, ко-
гда F1 (u) = 0 или F1 (u) = ?u3 . Наложим на решение (22) пуанкаре-инвариантное
условие эйконального типа
?u ?u
(23)
= F2 (u),
?xµ ?xµ
где F2 (u) — гладкая функция.
Теорема 2 [14]. В том случае, когда F1 = F2 = 0, уравнение (22) при условии
(23) инвариантно относительно бесконечно-мерной алгебры, коэффициенты
оператора (4) имеют вид

? µ (x, u) = c00 (u)xµ + cµ? (u)x? + dµ (u), ?(x, u) = ?(u),

где c00 (u), cµ? (u), ?(u) — произвольные гладкие функции, зависящие только
от u.
Из этой теоремы видно, что дополнительное условие (23) (F2 = 0) выделяет из
множества всех решений линейного уравнения Д’Аламбера (F1 = 0) подмножество
с уникальными симметрийными свойствами. Кроме того, система (22), (23) (F1 =
F2 = 0) обладает тем свойством, что произвольная гладкая функция от решения
будет снова решением.
Теорема 3 [9]. Система (22), (23) инвариантна относительно конформной
группы C(1, 3) тогда и только тогда, когда

F1 = 3?(u + c)?1 , (24)
F2 = ?,

где ?, c = const.
Итак, дополнительное условие эйконального типа (23) расширяет класс не-
линейных волновых уравнений, инвариантных относительно конформной группы.
Это означает, что мы можем построить широкие классы точных решений уравне-
ния (22), используя подгруппы конформной группы.
Замечание 3. Система (22), (23) [15] полностью проинтегрирована.
Рассмотрим лоренц-неинтегрированное волновое уравнение [4]

Lu ? 2u + F (x, u, u) = 0 (25)
1

2 2 2 2
?0 ?u ?1 ?u
F =? + +
x0 ?x0 x1 ?x1
(26)
2 2 2 2
?2 ?u ?3 ?u
+ + , xµ = 0.
x2 ?x2 x3 ?x3

Максимальной группой инвариантности уравнения (25), (26) является двухпара-
метрическая группа

xµ > xµ = ea xµ , u > u = u + b,

a и b — произвольные параметры группы.
238 В.И. Фущич

Дополнительное условие типа (6) к уравнению (25) выберем в виде
Iµ? = xµ ?? ? x? ?µ , (27)
Iµ? u(x) = 0, ?, µ = 0, 1, 2, 3.
Непосредственной проверкой условий инвариантности (7) можно убедиться, что
уравнения (25), (27) инвариантны относительно группы Лоренца O(1, 3). Это озна-
чает, что лоренц-инвариантный анзац
? = xµ xµ = x2 ? x2 ? x2 ? x2 (28)
u = ?(?), 0 1 2 3

редуцирует нелинейное волновое уравнение (25) к ОДУ
2
d2 ? d? d?
?2 = ? µ ? µ = ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 .
+ ?2
? 2 +2 = 0, 0 1 2 3
d? d? d?
Решением этого уравнения являются функции

?(?) = 2(??2 )?1/2 tan?1 [?(??2 )?1/2 ], ?2 < 0,
(?2 )1/2 + ?
?(?) = ?(?2 )?1/2 ln ?2 > 0,
,
(?2 )1/2 ? ?
c1
+ c2 , ?2 = 0.
?(?) =
?
c1 , c2 — константы.
Таким образом, условие (27) выделяет из множества решений лоренц- неинва-
риантного уравнения (25) подмножество, которое инвариантно относительно ше-
стипараметрической группы Лоренца. Такое существенное расширение симметрии
дает возможность построить широкие классы точных решений нелинейного вол-
нового уравнения (25).
4. Условная симметрия нелинейного уравнения Шредингера. Рассмотрим
нелинейное уравнение вида

<< Предыдущая

стр. 56
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>