<< Предыдущая

стр. 57
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
S?i (29)
Su + F (|u|)u = 0, + ?1 ?.
?x0
Уравнение (29) при произвольной функции F (|u|) инвариантно относительно ал-
гебры Галилея AG(1, n) с базисными элементами
Jab = xa Pb ? xb Pa ,
P 0 = ?0 , Pa = ?a , a, b = 1, n,
(30)
1
Ga = x0 Pa + xa R1 ,
2?1
где
? ?
+ u? ?
R1 = i u .
?u ?u
Среди множества нелинейных уравнений (29) только два уравнения имеют
более широкую симметрию, чем уравнение (29) [16, 17]:
Su + ?2 |u|r u = 0, (31)

Su + ?3 |u|4/n u = 0, (32)
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 239

где ?2 , ?3 , r — произвольные действительные параметры, n — число пространс-
твенных переменных в уравнении (29).
Уравнение (31) инвариантно относительно расширений алгебры Галилея
AG1 (1, n) = AG(1, n), D с базисными элементами AG(1, n) (30) и оператора
масштабных преобразований
2
(33)
D = 2x0 P0 + xa Pa + R2 ,
r
где единичный оператор
? ?
+ u? ? .
R2 = u
?u ?u
Уравнение (32) инвариантно относительно обобщенной алгебры Галилея
AG2 (1, n) = AG1 (1, n), A с базисными элементами (30), (33) и оператора прое-
ктивных преобразований
x2 n
R1 ? x0 R2 .
x2 P0
A= + x0 xa Pa +
0
4?3 2
Теорема 4 [18]. Уравнение Шредингера (23) условно инвариантно относитель-
но оператора
u
R1 + xa Pa ? cR2 , (34)
Q1 = ln c = const,
u?
если

F (|u|) = ?4 |u|?4/r + ?5 |u|4/r ,

?4 , ?5 , r — произвольные параметры, а модуль функции u удовлетворяет урав-
нению
r+4
?1 ?|u| + ?6 |u| (35)
= 0.
r



Теорема 5 [18]. Уравнение (32) вместе с уравнением (35) инвариантно отно-
сительно алгебры AG2 (1, n) и оператора Q1 (34).
Итак, налагая на решения линейного уравнения (29) дополнительные условия
(35), мы расширили его симметрию.
5. Условная симметрия нелинейных уравнений теплопроводности. Для
описания нелинейных процессов тепломассопереноса широко используются одно-
мерные уравнения вида

(36)
u0 + u11 = F (u),

(37)
u0 + uu11 = 0,

где F (u) — гладкая функция.
Будем искать оператор условной симметрии в виде

(38)
Q = A(x, u)?0 + B(x, u)?1 + C(x, u)?u ,

A, B, C — гладкие функции.
240 В.И. Фущич

Теорема 6 [19]. Уравнение (36) Q-условно инвариантно относительно опера-
тора (38), если функции A, B, C удовлетворяют следующей системе диффе-
ренциальных уравнений.
Случай 1; A = 1;

Buu = 0, Cuu = 2(B1u + BBu ),
3Bu F = 2(C1u + Bu C) ? (B0 + B11 + 2BB1 ), (39)
CFu ? (Cu ? 2B1 )F = C0 + C11 + 2CB1 .

Здесь и ниже индекс внизу возле функции означает дифференцирование по
соответствующему аргументу (x0 , x1 , u).
Случай 2; A = 0, B = 0;

CFu ? Cu F = C0 + C11 + 2CC1u + C 2 Cuu , (40)

Если построить общие решения нелинейных систем (39), (40), тогда мы опи-
шем Q-условную симметрию уравнения (36).
Теорема 7 [19]. Уравнение (36) Q-yсловно инвариантно относительно опера-
тора (38) (A = 1, Bu = 0) тогда и только тогда, когда оно локально эквива-
лентно уравнению

u0 + u11 = b3 u3 + b1 u + b0 , (41)
b0 , b1 , b3 = const.

оператор (38) имеет вид
3 3
2b3 u?1 + (b3 u3 + b1 u ? b0 )?u . (42)
Q = ?0 +
2 2
Уравнение (41) можно свести к одному из четырех канонических уравнений

u0 + u11 = ?u(u2 ? 1), (43)

u0 + uu11 = ?(u3 ? 3u + 2), (44)

u0 + u11 = ?u3 , (45)

u0 + uu11 = ?u(u2 + 1). (46)

Анзацы, построенные с помощью оператора (42) для уравнений (43)–(46), соо-
тветственно имеют вид
v
?(?) = 2 tan?1 u + 2?x1 , ? = ? ln(1 ? u?2 ) + 2?x0 ; (47)
v
4 u+2 2
? (u ? 1)?1 ? 2?x1 ,
?(? = ? ln
9 u?1 3
(48)
2 u+2 2
? (u ? 1)?1 ? 3?x0 ;
? = ln
9 u?1 3
v
?(?) = 2u?1 + 2?x1 , ? = ?u?2 ? 3?x0 ; (49)
v
?(?) = 2 tan?1 u ? 2?x1 , ? = ? ln(1 + u?2 ) ? 3?x0 . (50)
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 241

Анзацы (47)–(50) редуцируют уравнения (43)–(46) к ОДУ

2? = (?2 ? 1)?, 2? = ?3 ? 3? + 2, (51)
? ? ? ? ? ?

2? = ?3 , 2? = ?(?2 + 1). (52)
? ? ? ??

Из редуцированных уравнений (51), (52) видно, что анзацы, порожденные опе-
ратором условной инвариантности (42), существенно изменили нелинейные правые
части. Это позволило построить общие решения (51), (52) в элементарных фун-
кциях

?(?) = ?2 tan?1 (53)
c1 exp ? + 1 + c2 ,

3 3
ln c1 ? (? + 2?) = ln c2 ? (? ? ?), (54)
2 2
v
?(?) = 2 c1 ? ? + c2 , (55)

?(?) = 2 tan?1 c1 exp ? ? 1 + c2 , (56)

где c1 , c2 = const.
Итак, подставляя (53)—(56) в (47)—(50), получаем семейство точных решений
уравнений (43)—(46). Эти решения не могут быть получены с помощью метода
Ли.
Теорема 8 [20]. Уравнение (37) условно инвариантно относительно оператора
(38) A = 1, если коэффициентные функции B, C удовлетворяют следующей
системе уравнений:

(57)
uCuu = 2(BBu + uBu1 ), Buu = 0,

B0 + uB11 ? CBU ?1 ? 2uCu1 + 2BB1 ? 2Bu C = 0, (58)

C0 + uC11 ? C 2 u?1 + 2B1 C = 0. (59)

Решая систему уравнений (57)–(59), находим явный вид оператора (38)

Q = b1 Q1 + b2 Q2 + b3 D1 + b4 D2 + b5 ?0 + b6 ?1 ,
(60)
Q1 = x1 ?0 + u?1 , Q2 = x2 ?0 + 2x1 u?1 + 2u2 ?u ,
1


(61)
D1 = 20 ?0 + x1 ?1 , D2 = x1 ?1 + 2u?u, bi = const, i = 1, 6.

Теорема 9 [20]. Уравнение (37) Q-yсловно инвариантно относительно опера-
тора

(62)
Q = ?1 + C(x, u)?u ,

если C(x, u) удовлетворяет условию

C0 + u C11 + 2CC1u + C 2 Cuu + C1 C + C 2 Cu = 0. (63)
242 В.И. Фущич

Построив частные или общие решения уравнения (63), получаем явные выра-
жения для операторов условной симметрии. Некоторые из таких операторов (62)
имеют вид
v
v
(64)
Q3 = x0 ?1 + 2u?u ,
v
(65)
Q4 = 2x0 ?1 + R(u)?u ,

(66)
Q5 = ?1 + ln u?u ,

(67)
Q6 = x0 ?1 + x1 ?u ,

где R(u) — решения дифференциального уравнения
uR(u) + R(u) = R?1 .
? ?

Приведем несколько анзацев, которые порождают операторы Q1 , Q2 , Q3
1
x0 u ? x2 = ?(u), (68)
21
2ux0 u
? x1 = ? (69)
,
x1 x1
2
1 x1
v + ?(x0 ) (70)
u= .
2 x0

Редуцированные уравнения имеют весьма простой вид:
для анзаца (68),
?(u) = 0
?

u
= 0 для анзаца (69),
?
?
x1

2x0 ?(x0 ) + ? = 0 для анзаца (70),
? x0 = 0.

Итак, анзацы (68)–(70) редуцируют нелинейное уравнение теплопроводности к
линейным ОДУ.
6. Уравнение типа Кортевега-де Фриза. Рассмотрим нелинейное уравнение
u0 + F (u)uk + u111 = 0, (71)
1
3
u111 = ? u , k — произвольный действительный параметр. При F (u) = u, k = 1 (1)
?x3
совпадает с классическим уравнением КдФ.
Теорема [23]. Уравнение Q-yсловно инвариантно относительно оператора га-
лилеевского типа
Q = xr ?1 + H(x, u)?u , (72)

<< Предыдущая

стр. 57
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>