<< Предыдущая

стр. 58
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

0

r — произвольный действительный параметр, если
?1/k
k?1
2?k 1?k
u1/2 ; (73)
1) F (u) = ?1 u + ?2 u , H(x, u) =
k 2
2
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 243

H(x, u) = (k?1 )?1/k u;
F (u) = (?1 ln u)1?k , (74)
2)
1?k
F (u) = (?1 arcsin u + ?2 )(1 ? u2 )
3) ,
2
(75)
H(x1 u) = (k?1 )?1/k (1 ? u2 )1/2 ;
1?k
F (u) = (?1 Arsh u + ?2 )(1 ? u2 )
4) ,
2
(76)
H(x, u) = (k?1 )?1/k (1 + u2 )1/2 ;

H(x, u) = (k?1 )?1/k ; (77)
5) F (u) = ?1 u,

где r = k ?1 , k = 0, ?1 , ?2 — произвольные постоянные.
С помощью операторов условной инвариантности (72) редуцируем (71) к ОДУ
и построим следующие точные решения:
2
?1/k
x1 k?1 x0 ?2
?1/k
?
u= + ?x0 ,
2 2 ?1

когда F (u) имеет вид (73);

k(k?1 )?3/k ? k +1 ?2
3
?1/k
+ (k?1 x0 )?1/k x1 ?
u = exp ? x0 + ?x0 ,
k?2 ?1
при k = ?2, F (u) имеет вид (74); когда k = 2
?2
?1/2 ?1/2
u = exp ?(2?1 )?3/2 x0 + (2?1 x0 )?1/2 x1 ?
ln x0 + ?x0 ,
?1
k(k?1 )?3/k ? k +1 ?2
3
?1/k
+ (k?1 x0 )?1/k x1 ?
u = sin x0 + ?x0 , k = 2,
k?2 ?1
ln x0 ?2
?1/2
u = sin (2?1 )?3/2 v + ?x0 + (2?1 x0 )?1/2 x1 ? , k = 2,
x0 ?1
когда F (u) имеет вид (75);

k(k?1 )?3/k ?3/k+1 ?1/k
+ (k?1 x0 )?1/k x1 ,
u = sh ? x0 + ?x0 k = 2,
k?2
?1/2 ?1/2
u = sh ?(2?1 )?3/2 x0 + (2?1 x0 )?1/2 x1 ,
ln x0 + ?x0 k = 2,

когда F (u) имеет вид (76). Во всех формулах ? — произвольный параметр. Итак,
изучив условную симметрию уравнения (1), мы построим нетривиальные классы
точных решений.
7. Нелинейное волновое уравнение. Уравнение вида
u00 ? (F (u)u1 )1 = 0 (78)
широко применяется для описания нелинейных волновых процессов. Групповые
свойства (78) методом Ли детально исследованы в [24]. В зависимости от явного
вида функции F (u) уравнение (78) обладает широкой условной симметрией.
244 В.И. Фущич

Теорема [25]. Уравнение (78) Q-условно инвариантно относительно оператора
Q = A(x, u)?0 + B(x, u)?1 + H(x, u)?u ,
если функции A(x, u), B(x, u), H(x, u), F (u) удовлетворяют следующей системе
уравнений.
Случай 1; A = 1, D = F ? B 2 ;
(Bu D?1 )u = 0,
F (H1 D?1 )1 ? (H0 D?1 )0 ? H 2 (Hu D?1 )u ? H(H0 D?1 )u ? H(Hu D?1 )0 +
+ D2 {2F (B0 D1 ? B1 H0 + H[Bu H1 ? B1 Hu ]) ? BHH1 F } = 0,
?
D2 Huu + D{(H F )u + 2B(Bu Hu ? Buu H) ? 2F B1u ? 2BB0u } ?
?
? HD4 + 2BB0 Du + 2BB1 (B F ? 2Bu F ) = 0;
2

D{B00 + 2(B0 H)u ? 2(BH0u ? Bu H0 ) + 2(H1 F )u ?
? B11 F + Buu H 2 + 2BHHuu } ? Du {B0 H + Bu H 2 + 2BHHu } +
?
+ B{B1 H F + 2B 2 + 2B0 Bu H + 4BB0 Hu + 4B1 Hu F ? 2B 2 F } = 0.
0 1

Случай 3; A = 1, B = F 1/2 ;
?
1) BH + 2BHu = 0, H0 + HHu ? BH1 = 0;
?
2) BH + 2BHu = 0, H0 + HHu ? BH1 = 0;
? ?
[BH 2 + 2B(BH1 + HHu ) + 2B(H0u + HHuu + BH1u )] =
?
= (H0 + HHu ? HH1 ) ? [H00 + H 2 Huu ? B 2 H11 + 2HH0u ? 2BHH1 ] ?
?
? (BH + 2BHu ) = 0.
Случай 3; A = 0, B = 1
? ?
H00 ? H 3 F ? (3HH1 + 2H 2 Hu )F ? (H11 + 2HH1u )F = 0.
Решая эти системы, при конкретных выборах функции F (u) построены явные
виды операторов Q. Приведем только некоторые из полученных операторов и ан-
зацев:
F (u) = exp u, Q1 = x1 ?1 + ?u , u = ln x1 + ?(x0 ),
Q2 = ?0 + 2 tg x0 ?u , exp u = ?(x1 ) cos?2 x0 ;
u
?1 ? 4x?1 ?u ,
F (u) = uk , Q1 = ?0 + exp 0
2
Q2 = (k + 1)x1 ?1 + u?u ;
u u
+ x1 + ? x2 exp
x0 exp = 0;
0
2 2
uk+1 = x1 ?k+1 (x0 );
F (u) = u?1/2 , Q1 = ?0 + x1 u1/2 ?u ,
Q2 = x2 ?0 + (4x0 + a1 x5 )u1/2 ?u ;
1 1
2u1/2 = x0 x1 + ?(x1 ),
a1
u1/2 = x2 x?2 + x0 x3 + ?(x1 ),
01 1
2
a1 , a2 , a3 — постоянные.
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 245

Наиболее простые решения уравнения (78), построенные с помощью анзацев,
имеют вид

exp u = (x2 + a1 ) cos?2 x0 , если
exp u = x1 exp x0 , F (u) = exp u;
1
uk+1 = xk+1 x1 , если F (u) = uk ;
0
x4
u = x0 x1 + 0 + a1 , u = W (x0 )x2 , если F (u) = u;
1
12
x4
u1/2 = W (x1 )x2 , 2u1/2 = x0 x1 + 1 + a1 ,
0
24
2
a
u1/2 = x2 x?2 + 3a1 x0 x3 + 1 x8 + a2 x?1 + a3 x2 , если F (u) = u?1/2 .
01 1
61 1
1


Итак, нами проведена классификация и редукция нелинейных волновых урав-
нений (78), обладающих условной симметрией.
8. Трехмерное нелинейное уравнение акустики. Ограниченные звуковые пу-
чки описывают нелинейным уравнением вида

u00 ? (F (u)u1 )1 ? u22 ? u33 = 0. (79)

В том случае, когда F (u) = u, оно совпадает с уравнением Хохлова–Заболотской

u01 ? (uu1 )1 ? u22 ? u33 = 0. (80)

Положим на решение (79) дополнительное условие в виде нелинейного уравне-
ния первого порядка

u0 u1 ? F (u)u2 ? u2 ? u2 = 0. (81)
1 2 3

Теорема [26]. Уравнение (80) при условии (81) инвариантно относительно бе-
сконечномерной алгебры с оператором

(82)
X = ai (u)Ri , i = 1, 12,

где ai (u) — произвольные гладкие функции зависимой переменной u,

Rµ+1 = ?µ , µ = 0, 3, R5 = x3 ?2 ? x2 ?3 ,
R6 = x2 ?1 + 2x0 ?2 , R7 = x3 ?1 + 2x0 ?3 , R8 = xµ ?µ ,
F (u)
R9 = 4x0 ?0 + 2x1 ?1 + 3x2 ?2 + 3x3 ?3 ? 2 ?u , R10 = F (u)x0 ?1 ? ?u ,
F (u)
R11 = x2 ?0 + 2(x1 + F (u)x0 )?2 , R12 = x3 ?0 + 2(x1 + 2F (u)x0 )?3 ,

Операторы R1 , . . . , R8 являются лиевскими операторами симметрии уравне-
ния (80), R9 , . . . , R12 операторы условной симметрии уравнения (79). Восполь-
зовавшись операторами условной симметрии уравнения (79) R9 , . . . , R12 можно
построить широкие классы точных решений. Так, например, оператор X = ?0 +
a(u)?1 , порождает следующие анзацы:

(83)
u = ?(?1 , ?2 , ?3 ), ?1 = a(u)x0 + x3 , ?2 = x2 , ?3 = x3 .
246 В.И. Фущич

Анзац (83) редуцирует четырехмерное уравнение (79), (81) к трехмерному
da(?)
(a(?) ? ?)?11 ? ?22 ? ?33 + ? 1 ?2 = 0,
1
d?
(84)
??
(a(?) ? ? ?
?)?2 ?2 ?2 = 0 ?i = , i = 1, 3.
1 2 3
??i
Конкретизируя функцию a(u), в некоторых случаях можно построить общее ре-
шение (84). Пусть a(u) = u + 1, тогда имеем систему

?11 ? ?22 ? ?33 = 0, (85)

?2 ? ?2 ? ?2 = 0. (86)
1 2 3

Систему (85) естественно назвать уравнением Бейтмена (1914 г.) — Соболева —
Смирнова (1932–1933гг.), поскольку именно они детально изучали ее. Уравнение
(85) имеет общее решение и задается формулой Соболева–Смирнова

(87)
? = c1 (?)?1 + c2 (?)?2 + c3 (?)?3 ,

где c1 , c2 , c3 — произвольные функции, удовлетворяющие условиям

c2 ? c2 ? c2 = 0, c2 + c2 = 0.
1 2 3 2 3

Таким образом, формула (87) задает класс точных решений трехмерных нели-
нейных уравнений (85), (86).
Итак, анзацы (68)–(70) редуцирует нелинейное уравнение теплопроводности
(37) к линейным ОДУ.
9. Условная симметрия уравнения Дирака. Рассмотрим нелинейное уравне-
ние Дирака
?
{?µ pµ ? ?(??)}?(x) = 0 (88)
?
и наложим на его решение условие ?? = 1. Тогда (71) становится линейным
уравнением с нелинейным дополнительным условием
?
(?µ pµ ? ?)? = 0, (89)
?? = 1.

Система (72) условно инвариантна относительно операторов [9]

Q1 = p0 ? ??0 , Q2 = p3 ? ??3 . (90)

В рассматриваемом случае уравнение типа (6) имеет вид

Q1 ? = 0 и (91)
Q2 ? = 0.

Оператор Q1 порождает анзац

<< Предыдущая

стр. 58
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>