<< Предыдущая

стр. 59
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(92)
?(x) = exp(?i??0 x0 )?(x1 , x2 , x3 ),

где ?(x1 , x2 , x3 ) — четырехкомпонентная вектор-функция, зависящая только от
трех переменных.
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 247

10. Условная симметрия уравнений Максвелла. Рассмотрим линейную си-
стему
?E ?H
= ?rot E. (93)
= rot H,
?t ?t
Можно непосредственно проверить, что система (93) не инвариантна относительно
преобразований Лоренца. Однако, если добавить к системе (93) известные допол-
нительные условия
div E = 0, div H = 0,
то система (93), (94) становится лоренц-инвариантной. Приведенная точка зрения
на уравнения Максвелла [1–10, 21] указывает на естественность термина “услов-
ная симметрия” и физическую важность этой концепции для широкого класса
уравнений математической физики [22].
Заключение. Исследование условий симметрии ДУЧП только началось. При-
веденные результаты говорят о том, что на этом пути следует ожидать качествен-
но нового понимания симметрии уравнения, симметрийной классификации ДУЧП,
редукции многомерных нелинейных уравнений к уравнениям с меньшим числом
переменных, процесса линеаризации нелинейных уравнений.
Одним из наиболее фундаментальных законов физики, механики, гидромехани-
ки, биофизики является принцип относительности, т.е. равноправие всех инерци-
альных систем отсчета. На математическом языке этот принцип означает инвари-
антность уравнения движения либо относительно преобразований Галилея, либо
преобразований Лоренца, ДУЧП, не удовлетворяющие этому принципу, обычно не
рассматриваются в физических теориях, поскольку они несовместимы с принципом
относительности. Такие уравнения не могут быть использованы для математиче-
ского описания движения реальных физических систем.
Понятие условной инвариантности дает возможность существенно расширить
классы уравнений, удовлетворяющих принципу относительности. Уравнения, кото-
рые не совместимы, в обычном смысле, с принципом относительности могут услов-
но удовлетворять ему. Т.е. существуют нетривиальные условия на решения таких
уравнений, выделяющие подмножества решений исходного уравнения, инвариан-
тные либо относительно преобразований Галилея, либо преобразований Лоренца.
Описание и детальное изучение классов уравнений, условно инвариантных отно-
сительно групп Галилея, Пуанкаре и их подгрупп, представляется автору весьма
важной задачей математической физики.
Условная симметрия, например, скалярного уравнения дает возможность стро-
ить такие анзацы, которые увеличивают (антиредукция) число зависимых пере-
менных. Она позволяет провести не только редукцию по числу независимых пе-
ременных, но при этом увеличить число зависимых переменных. Подчеркнем, что
такие анзацы существенно меняют структуру нелинейностей исходного уравне-
ния. И, конечно, они не могут быть построены в рамках классической схемы Ли.
Процесс линеаризации, например, нелинейной системы Навье–Стокса в нашем
подходе следует рассматривать как замену нелинейного уравнения на линейную
систему
?u
+ ?u + ?p = 0, (94)
div u = 0,
?t
248 В.И. Фущич

при нелинейном дополнительном условии
(u?)u = 0, {(u?)u}2 = 0.
или (95)
Линейное уравнение Навье–Стокса при нелинейном дополнительном условии об-
ладает нетривиальной условной симметрией. Очевидно, в качестве дополнитель-
ного условия к нелинейному ураанеяию Навье–Стокса можно выбрать и такие
уравнения:
(u?)u + ?p = 0.
Детальному изучению условной линеаризации нелинейных ДУЧП будут посвя-
щены отдельные публикации.
1. Фущич В.И., О симметрии и частных решениях некоторых многомерных уравнений математиче-
ской физики, в сб. Теоретико-алгебраические методы в задачах математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1983, 4–23.
2. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений, в сб. Симметрия и
решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1987, 4–16.
3. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
4. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On a reduction and solutions of nonlinear wave equation with broken
symmetry, J. Phys. A, 1987, 20, 45–48.
5. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel Publ.,
1987, 214 p.
6. Fushchych W.I, Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of nonlinear d’Alembert and Hamilton
equations, Preprint N 468, Minneapolis, Inst. for Math. and its Appls., Univ. of Minnesota, 1988.
7. Фущич В.И., Серов Н.И., Чопик В.И., Условная инвариантность и нелинейные уравнения те-
плопроводности, Докл. АН УССР, Сер. А, 1988, № 9, 17–21.
8. Фущич В.И., Серов Н.И., Условная инвариантность и точные решения нелинейного уравнения
акустики, Докл. АН УССР, Сер. А, № 10, 27–31.
9. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Symmetry and exact solutions of nonlinear spinor equations, Phys.
Rep., 1989, 46, № 2, 325–365.
10. Фущич В.И., Серов Н.И., Условная инвариантность и точные решения уравнения Буссинеска,
в сб. Симметрия и решения уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН
УССР, 1989, 95–102.
11. Bluman G., Cole J., The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., 1969, 18,
1025–1042.
12. Olver P., Rosenau Ph., The construction of special solutions to partial differential equations, Phys.
Lett. A, 1986, 114, № 3, 107–112.
13. Clarkson P., Kruskal M., New similarity reductions of the Boussinesq equation, J. Math. Phys.,
1989, 30, № 10, 2201–2213.
14. Levi D., Winternitz P., Nonclassical symmetry reduction: example of the Boussinesq equation,
J. Phys. A, 1989, 22, 2915–2924.
15. Шульга M.В., Симметрия и некоторые частные решения уравнения Даламбера с нелинейным
условием, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнений математической-физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1985, 36–38.
16. Фущич В.И., Жданов Р.З., Ревенко И.В., Совместность и решения нелинейных уравнений Да-
ламбера и Гамильтона, Препринт 90.39, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 67 c.
17. Fushchych W.I., Serov N., On some exact solutions of the three-dimensional nonlinear Schr?dinger
o
equation, J. Phys. A, 1987, 20, L929–L933.
Условная симметрия уравнений нелинейной математической физики 249

18. Фущич В.И., Чопик В.И., Условная инвариантность нелинейного уравнения Шредингера, Докл.
АН УССР, Сер. А, 1990, № 4, 30–33.
19. Фущич В.И., Серов Н.И., Условная инвариантность и редукция нелинейного уравнения тепло-
проводности, Докл. АН УССР, Сер. А, 1990, № 7, 24–28.
20. Фущич В.И., Серов Н.И., Амеров Т.К., Условная инвариантность уравнения теплопроводности,
Докл. АН УССР, Сер. А, 1990, № 11, 16–21.
21. Фущич В.И., Об одном обобщении метода С. Ли, в сб. Теоретико-алгебраический анализ урав-
нений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 4–9.
22. Фущич В.И., Штелень В.M., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения уравнений
математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 c.
23. Фущич В.И., Серов Н.И., Амеров Т.К., Об условной симметрии обобщенного уравнения Корте-
вега-де Фриза, Докл. АН УССР, Сер. А, 1991, № 12, 28–30.
24. Ames W.F., Lohner R.I., Adams E., Group properties of utt = (f (u)ux )x , Intern. J. Non-Linear
Mech., 1981, 16, № 5/6, 439–447.
25. Фущич В.И., Серов Н.И., Репета В.К., Условная симметрия, редукция и точные решения нели-
нейного волнового уравнения, Докл. АН УССР, Сер. А, 1991, № 5, 29–34.
26. Фущич В.И., Чопик В.И., Миронюк П.П., Условная инвариантность и точные решения трехмер-
ных нелинейных уравнений акустики, Докл. АН УССР, Сер. А, 1990, № 9, 25–28.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 250–257.

Условная симметрия и точные решения
уравнения нелинейной акустики
В.И. ФУЩИЧ, П.И. МИРОНЮК

1. Рассматривается нелинейное уравнение
u01 ? (uu1 )1 ? u22 ? u33 ? f (u) = 0, (1)
2
ui ? ?xi , uij ? ?xi ?xj , f (u) — гладкая функция, частным случаем которого
?u ?u

есть уравнение нелинейной акустики ограниченных звуковых пучков (уравнение
Хохлова–Заболотской) [1]
u01 ? (uu1 )1 ? u22 ? u33 = 0. (1 )
Групповые свойства уравнения (1) описываются следующей теоремой.
Теорема 1. Максимальной (в смисле Ли) группой инвариантности уравне-
ния (1) при произвольной функции f (u)) есть 7-параметрическая группа —
ядро основних групп (ЯОГ). Базисные оператори алгебры Ли ЯОГ имеют вид:
Xj+1 = ?j , j = 0, 3, X5 = x3 ?2 ? x2 ?3 , X6 = x2 ?1 + 2x0 ?2 , X7 = x3 ?1 + 2x0 ?3 .
Расширение ЯОГ возможно лишь при таких специализациях функции f (u):
1) f (u) = ±eku , k = 0, k = const.
К ЯОГ прибавляется оператор X8 = kxl ?l + 2(x0 ?1 ? ?u ), xl = xl (здесь и ниже
по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование от 0
к 3, а по греческим — от 0 к 4).
2) f (u) = ±(um )k , k = 0, k, m = const.
К ЯОГ прибавляется оператор X8 = kxl ?l + 2(mx0 ? x1 )?1 ? x2 ?2 ? x3 ?3 ? 2(u +
m)?u .
? ? {0; 1; ?1}
3) f (u) = ?,
В этом случае уравнение (1) инвариантно относительно бесконечноизмеримой
алгебры Ли, базис которой можно задать в таком виде:
32
x + x2 ?1 ? x1 ?u +
Y1,2 = 5 p1,2 (x0 )?0 + p1,2 (x0 )
42 3

3
+ p1,2 (x0 ) x1 ?1 + 3x2 ?2 + 3x3 ?3 ? 4u + ? x2 + x2 ?u ,
2 3
4
где p1,2 — линейно независимые решения уравнения p = ?p,
Y3 = ?0 , Y4 = x3 ?2 ? x2 ?3 , Y5 = 2x1 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3 + 2u?u ,
Y6 (A) = A x2 ?1 + 2A?2 ? A x2 ?u , Y7 (B) = B x3 ?1 + 2B?3 ? B x3 ?u , (2)
Y8 (C) = C?1 ? C ?u ,
Доклады АН УССР, 1991, № 6, С. 23–29.
Условная симметрия и точные решения уравнения нелинейной акустики 251

A, B, C — произвольные гладкие функции x0 , штрихами обозначены соответ-
ственные производные.
Заметим, что операторы Y3 , Y4 , Y6 1 , Y7 1 , Y8 (1), Y6 (x0 ), Y7 (x0 ) дают ЯОГ.
2 2
В [2] построены операторы условной инвариантности и на их основании полу-
чены точные решения уравнения (1 ) при дополнительном условии

u0 u1 ? uu2 ? u2 ? u2 = ?, (3)
1 2 3

если ? = 0.
Ниже исследуется условная инвариантность уравнения (1 ) дополнительным
условием (3) при ? = ±1, а также рассматривается вопрос Q-условной инвариан-
тности этого уравнения (о условной и Q-условной симметрии см. [3, 4]). При по-
мощи операторов уссловной инвариантности проводится редукция уравнения (1 ) к
уравнению с меньшим числом независимых переменных, а также строятся точные
решения этого уравнения.

2. Исследуем сначала симметрию дополнительного условия (3).
Теорема 2. Максимальная локальная группа инвариантности уравнения (3)
при ? = 1 — 21-параметрическая группа. Базисные операторы соответствен-
ной алгебры Ли имеют вид:

Xµ+1 = ?µ , µ = 0, 3, X5 = x3 ?2 ? x2 ?3 , X6 = x2 ?1 + 2x0 ?2 ,
X7 = x3 ?1 + 2x0 ?3 , X8 = x0 ?1 ? ?u , X9 = x0 x2 ?1 + u + x2 ?2 ? x2 ?u ,
0
X10 = x0 x3 ?1 + u + x0 ?3 ? x3 ?u , X11 = u ? x0 ?1 + 2x0 ?u ,
2 2

23
x0 ? 2ux0 ? x1 ?1 ? 2x2 ?u ,
X12 = x0 ?0 + 0
3
1
X13 = x2 ?0 + x2 x2 ? u ?1 + 2 x1 + ux0 + x3 ?2 ? 2x0 x2 ?u ,
0
30
1
X14 = x3 ?0 + x3 x2 ? u ?1 + 2 x1 + ux0 + x3 ?3 ? 2x0 x3 ?u ,
0
30
1 2
X15 = u + x2 ?0 ? 2x0 x1 + u2 + 2ux2 ? x4 ?1 + 2 x1 ? x3 ?u ,
0 0 0
30
3
(4)
1
X16 = 2x1 + ux0 ? x3 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3 + u + x2 ?u ,
30 0

X17 = 4x2 ?0 + x2 + x2 + +x4 + u2 ? 6x2 u ?1 + 4x0 (x2 ?2 + x3 ?3 ) +
0 2 3 0 0
+ 4x0 u ? x2 ?u ,
0
1 5 1
u ? x2 ?1 + x0 x2 + x2 ? u2 ? x3 u + x5 ?1 +
X18 = x0 u + x2 ?0 +
0 0 2 3 0
60
2 3
12 5
+ u + x2 (x2 ?2 + x3 ?3 ) + 2x0 x1 + x2 u ? x2 + x2 ? u2 ? x4 ?u ,
0 0 3
60
2
1
= x0 x2 ?0 + x2 x1 ? ux0 + x3 ?1 +
X19
30
12 1
x2 ? x2 ? u2 + ux2 + x4 ?2 + x2 x3 ?3 + u ? x2 ?u ,
+ 2x0 x1 + 3 0
60 0
2
252 В.И. Фущич, П.И. Миронюк

1
X20 = x0 x3 ?0 + x3 x1 ? ux0 + x3 ?1 + x2 x3 ?2 +
30
12 1
+ 2x0 x1 ? x2 ? x2 + u2 + ux2 + x4 ?3 + u ? x2 x3 ?u ,
3 0
60 0
2
4
X21 = x2 + x2 + u2 + 2ux0 + x4 ?0 + 4x2 + 4ux0 x1 ? x3 x1 ? u3 ?
2 3 0 1
30
5 1
? x2 u2 ? x4 u + x6 + x2 ? u x2 + x2 ?1 +
0 0
90 0 2 3
3
1

<< Предыдущая

стр. 59
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>