<< Предыдущая

стр. 60
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

+ 4 x1 + ux0 + x3 (x2 ?2 + x3 ?3 ) +
30
4 2
+ 4ux1 + 4x2 x1 + x3 u ? 2x0 x2 + x2 ? u2 ? x5 ?u .
0 0 2 3
30
3

Доказательство теорем проводится методом Ли [4].
Как известно [4], максимальной локальной группой инвариантности эйкональ-
ного уравнения

v0 ? v1 ? v2 ? v3 = 1,
2 2 2 2
(5)
?v
v = v(y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ), vl = ?yl , l = 0, 3 есть 21-параметрическая конформная группа
C(1, 4), базисные элементы алгебри Ли AC(1, 4) которой имеют вид

?
J?? = y? P? ? y? P? , D = y ? P? , (6)
P? = ,
?y ?

K? = 2y? D ? s2 P? , (7)

где ?, ? = 0, 4, y 4 = v, y? = g?? y ? , g?? = (1, ?1, . . . , ?1)??? , s2 = y ? y? ?
y0 ? y1 ? y3 ? y4 , и удовлетворяют коммутационным соотношениям
2 2 2 2


[P? , P? ] = 0, [P? , J?? ] = g?? P? ? g?? P? , [P? , D] = P? ,
[J?? , J?? ] = g?? J?? + g?? J?? ? g?? J?? ? g?? J?? , [J?? , D] = 0,
(8)
[K? , K? ] = 0, [K? , J?? ] = g?? K? ? g?? K? ,
[P? , K? ] = 2(g?? D ? J?? ), [D, K? ] = K? .

Выясним вопрос о взаимосвязи алгебр (4) и (6), (7).
Теорема 3. Алгебра (4) изоморфная конформной алгебре AC(1, 4), заданной
соотношениями (6)–(8).
Доказательство. Положим в (6), (7)

1 2
y0 = v x0 + 2x1 + 2ux0 + x3 ,
30
2
(9)
1 2
y1 = v x0 ? 2x1 ? 2ux0 ? x3 ,
30
2
y 3 = x3 , y 4 ? v = u + x2 ;
2
y = x2 , 0
Условная симметрия и точные решения уравнения нелинейной акустики 253

1 1
P0 = v ??0 + u ? x2 ? ?1 + 2x0 ?u ,
0
2
2
(10)
1 1
P1 = v ??0 + u ? x2 + ?1 + 2x0 ?u ,
0
2
2
P2 = ??2 , P3 = ??3 , P4 = x0 ?1 ? ?u .

Вычисляя по формулам (6), (7) операторы J?? , D, K? , легко убедиться, что
они есть линейными комбинациями операторов Xi (4), и наоборот, а также, что
выполняются коммутационные соотношения (8).
Следствие 1. Уравнение (3) при ? = 1 заменой (9) сводится к уравнению (5).
Действительно, используя (9), имеем
v v
?v ?y l
?u ?
v ? x0 = = 2x0 (v0 ? v1 )u1 + 2(v0 ? v1 ),
2
u1 = =
?y l ?x1
?x1 ?x1
v
2(v ?v1 )
?v v0
,откуда u1 = .
Аналогично вычисляя u0 , u2 , u3 , после под-
vl = ?y l 1+ 2(v1 ?v0 )x0
становки в (3) и упрощений получаем (5).
Аналогично теоремам 1–3 доказывается
Теорема 4. Максимальная локальная группа инвариантности уравнения (3)
при ? = ?1 — 21-параметрическая конформная группа C(2, 3).
Аналог операторов (4) вследствие громоздкости приводить не будем. Базис
алгебры Ли AC(2, 3) имеет вид (6), (7), причем соответственные преобразования
(9), (10) задаются формулами
1 2
y0 = v x0 + 2x1 + 2ux0 ? x3 ,
30
2
(9 )
1 2
y1 = v x0 ? 2x1 ? 2ux0 + x3 ,
30
2
y 3 = x3 , y 4 ? v = u ? x2 ;
2
y = x2 , 0

1 1
P0 = v ??0 + u ? x2 ? ?1 ? 2x0 ?u ,
0
2
2
(10 )
1 1
P1 = v ??0 + u ? x2 + ?1 ? 2x0 ?u ,
0
2
2
P2 = ??2 , P3 = ??3 , P4 = x0 ?1 ? ?u .

g?? имеет сигнатуру (+ ? ? ? +).
Следствие 2. Уравнение (3) при ? = ?1 заменой (9 ) сводится уравнению
v0 ? v1 ? v2 ? v3 = ?1.
2 2 2 2
(5 )
3. Теорема 5. Уравнение (1 ) при дополнительном условии (3) инвариантно
?
относительно 16-параметрической группы, изоморфной группе P (1, 4) при ? =
? ? ?
1 и P (2, 3) при ? = ?1, (P (1, 4), P (2, 3) — расширенные группы Пуанкаре в
? ?
5-измеримом пространстве). Базисные элементы алгебр Ли AP (1, 4) и AP (2, 3)
имеют соответственно вид (6), (9), (10) и (6), (9 ), (10 ).
254 В.И. Фущич, П.И. Миронюк

? ?
Заметим, что алгебры AP (1, 4) и AP (2, 3) есть максимальными (в смысле Ли)
алгебрами инвариантности системы (1 ), (3) с ? = ±1.
Следствие 3. Система (1 ), (3) заменой (9) при ? = 1 ((9 ) при ? = ?1) сводится
к системе:
v00 ? v11 ? v22 ? v33 = 0,
(11)
v0 ? v1 ? v2 ? v3 = ?.
2 2 2 2


Действительно, вычисляя u?? через v?? , v? , v, y ? при помощи формул (9)
или (9 ) и подставляя в (1 ), после упрощений получим уравнение

1 1
(v00 ? v11 ? v22 ? v33 ) + 3 2x2 (v00 ? 2v01 + v11 ) +
0
A A
(12)
v ? ?
?1 v0 ? v1 ? v2 ? v3 ? ? = 0.
2 2 2 2
+ 2 2Ax0 0
?y ?y
v
где A ? 1 + 2x0 (v1 ? v0 ), x0 выражается через (y ? , v) по формула (9) или (9 ).
С (12) видно, что при выполнении дополнительного условия (3) получаем систе-
му (11).
Замечание 1. С уравнения (12) получается еще другое дополнительное условие
v0 ? v1 = 0, которое также сводит (12) к уравнению д’Аламбера. Этому условию в
пространстве (x, u) соответствует условие u1 = 0.
Замечание 2. Операторы X9 –X16 с (4) не входят в алгебру инвариантности урав-
нения (1 ), они есть операторами симметрии этого уравнения лишь при выпол-
нении дополнительного условия (3). Это означает, что уравнение (1 ) без допол-
? ?
нительного условия (3) не инвариантно относительно группы P (1, 4) или P (2, 3),
поэтому для решений уравнения (1 ) не выполняется принцип относительности
Лоренца–Пуанкаре–Эйнштейна. С теоремы 5 следует, что из множества всех ре-
шений уравнения (1 ) дополнительным условием (3) выделяется подмножество,
для элементов которого указанный принцип выполняется.
Замечание 3. Используя теоремы 2, 3 работы [2], можно получить замену
1 1
y 0 = v (x0 + 2x1 + 2ux0 ), y 1 = v (x0 ? 2x1 ? 2ux0 ),
(13)
2 2
y = x2 , y = x3 , y ? v = u,
2 3 4


при помощи которой уравнение (3) при ? = 0 сводится к уравнению v0 ? v1 ? v2 ?
2 2 2

v3 = 0, а соответственная система (1 ), (3) — к системе (11) с ? = 0.
2

4. Исследуем Q-условную инвариантность уравнения (1 ) в классе операторов
первого порядка

Q = ? l (x, u)?l + ?(x, u)?u , (14)

l = 0, 3, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ).
Теорема 6. Уравнение (1 ) Q-условно инвариантно относительно оператора

Q = 3?1 + (a ? bx1 )?u , (15)
Условная симметрия и точные решения уравнения нелинейной акустики 255

если функции a = a(x0 , x2 , x3 ), b = b(x0 , x2 , x3 ) удовлетворяют системе уравне-
ний:
a22 + a33 + b0 ? ab = 0.
b22 + b33 = b2 , (16)
Никаких других операторов Q-условной инвариантности класса (4) (кроме
операторов вида R = f (x, u)X, где f (x, u) — некоторая функция, X — опера-
тор симметрии уравнения (1 )) уравнение Хохлова–Заболотской (1 ) не имеет.
Теорема 6 доказывается по схеме, приведенной в [4]. Заметим, что в ходе
доказательства теоремы 6 кроме оператора Q-условной инвариантности (15) полу-
чаются и все операторы (2) лиевской симметрии уравнения (1 ).
5. Перейдем к построению точных решений уравнения (1 ). Учитывая следствие
3 и замечание 3, получаем, что произвольное точное решение системы (11) в про-
странстве переменных (y, v) порождает соответственное точное решение системы
(1 ), (3) (а значит, и уравнения Хохлова–Заболотской (1 )).
Система типа (11) играет важную роль в теории пуанкаре-инвариантных диф-
ференциальных уравнений в частных производных [5], поэтому вопросы ее совме-
стности и построения точных решений детально изучены (см. [5] и цитированную
там литературу).
В [6] показано, что произвольное решение системи (11) при ? = 0 (как ком-
плексное, так й действительное) можно получить из формулы Бейтмена–Смирно-
ва–Соболева
?(v) = ?i (v)y i , (17)
где ?(v) — произвольная гладкая функция, ?i (v) = ?j (v)gij , gij = (1, ?1, ?1,
?1)?ij , ?j (v) — гладкие функции, удовлетворяющие условию ?j (v)?j (v) = 0, а та-
кже в виде
v = F (ai y i , bi y i ), (18)
где ai = aj gij , bi = bj gij , aj , bj — постоянные, удовлетворяющие условиям aj bj =
aj aj = bj bj = 0, F — произвольная гладкая функция.
Переходя в (17), (18) к переменным (x, u), по формулам (13) получим классы
точных решений (1 ), заданных в неявном виде.
Заметим, что в классе, заданном формулой (17), содержатся как действитель-
ные, так и комплексные решения, а в классе (18) действительные решения исчер-
пываются формулой v = ?(ai y i ), ai ai = 0, ? — произвольная гладкая функция;
все остальные решения этого класса являются комплексными.
В [5] построено в параметрическом виде общее решение системы (11) при ? =
±1. Там же рассмотрен ряд случаев, когда решения этой системы можно задать
в явном или неявном виде. Для примера приведем два класса точных решений
системы (1 ), (3) при ? = ?1 и ? = 1.
1) ? = ?1.
1 2
u = x2 + v x0 ? 2x1 ? 2ux0 + x3 + c1 cos ?(z) + x2 sin ?(z) + ?(z),
0
30
2
где z = v2 x0 + 2x1 + 2ux0 ? 2 x3 + x3 + c2 ; c1 , c2 — произвольные постоянные;
1
30
?(z), ?(z) — произвольные гладкие функции.
256 В.И. Фущич, П.И. Миронюк

2) ? = 1.
1 2 1 2
v +v x0 ? 2x1 ? 2ux0 ? x3 + c2 ?
x0 + 2x1 + 2ux0 + x3 + c1
30 30
2 2
? sin ?(z) + (x1 + c3 ) cos ?(z) + ?(z) = 0,
z = i u + x2 + x3 + c4 , i2 = ?1, cj = const, j = 1, 4, ?(z), ?(z) — произвольные
0
гладкие функции.
Широкий класс точных решений уравнения (1 ) можно построить при помо-
щи оператора Q-условной инвариантности (15). Этому оператору соответствует
анзац [4]
1 1
a(x0 , x2 , x3 )x1 ? b(x0 , x2 , x3 )x2 + ?(x0 , x2 , x3 ). (19)
u= 1
3 6
Подставляя (19) в (1 ), после упрощений получаем на функции a, b, ? систему

<< Предыдущая

стр. 60
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>