<< Предыдущая

стр. 61
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

уравнений в частных производных:
b22 + b33 = b2 , a22 + a33 + b0 ? ab = 0,
(20)
1 1 1
?22 + ?33 ? b? ? a0 + a3 = 0,
3 3 9
решив которую, получим согласно (19) точное решение уравнения (1 ).
Характерной особенностью анзаца (19) является то, что при его помощи про-
водится редукция по независимым и антиредукция по зависимым переменным
(от одного уравнения в пространстве (x0 , x1 , x2 , x3 , u) переходим к системе трех
уравнений в пространстве (x0 , x2 , x3 , a, b, ?)). Понятно, что построить точные ре-
шения системы (20) проще, нежели уравнения (1 ), поскольку практически только
первое уравнение в (20) нелинейное, а переменная x0 фактически играет роль
параметра. В [7] исследована симметрия и построены точные решения уравнения
b22 + b33 = bk . Подставив полученные там решения во второе уравнение систе-
мы (20), будем иметь линейное уравнение для нахождения функции a(x0 , x2 , x3 ),
решив которое (построив частные решения), для ? получаем также линейное урав-
нение.
Классы точных решений системы (20) можно построить и на основании ее
симметрии, которая описывается следующей теоремой.
Теорема 7. Максимальной группой инвариантности системы (20) является
бесконечнопараметрическая группа, базисные операторы алгебры Ли которой
имеют вид:
X1 = ?0 , X2 = x3 ?2 ? x2 ?3 , X3 = x0 ?0 ? a?a ? 2??? ,
X4 = x2 ?2 + x3 ?3 ? 2b?b + 2??? ,
52 1
x0 ?0 + x0 (x2 ?2 + x3 ?3 ) ? x0 b?b ?
X5 =
12 2
5 12 1 2 1
? ax0 ? ?a ? x0 ? +
x2 + x2 b + x2 + x2 a ?? , (21)
3
24 2 3
6 8 2 3
1
X(A) = 2A?2 + A x2 b?a ? A x2 a + A x2 ?? ,
3
1
X(B) = 2B?3 + B x3 b?a ? B x3 a + B x3 ?? ,
3
Условная симметрия и точные решения уравнения нелинейной акустики 257

1
X(C) = Cb?a ? Ca + C ?? ,
3
? ? ?
где A, B, C — произвольные функции от x0 , ?a = ?a , ?b , ?? .
?b = ?? =
Построив по операторам (21) соответственные анзацы [4], редуцируем систе-
му (20) к системе трех уравнений с двумя независимыми переменными.
Приведем для иллюстрации решения уравнения (1 ) вида
1
u = ? W (xi )x2 + ?(x0 , x2 , x3 ), (22)
1
6
где W (xi ), i = 2, 3 — функция Вейерштрасса, являющаяся решением уравнения
d2 W (xi )
= W 2 , а ? — решением линейного уравнения ?22 + ?33 ? 1 W (xi )? =
dx2 3
i
0, в котором переменная x0 является параметром. Эти решения неинвариантны
относительно алгебры инвариантности уравнения (1 ), поэтому их нельзя получить
классическим методом Ли.

1. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В., Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пу-
чков, Акуст. журн., 1969, 15, № 1, C. 40–47.
2. Фущич В.И., Чопик В.И., Миронюк П.И., Условная инвариантность и точные решения трехмер-
ных нелинейных уравнений акустики, Докл. АН УССР, Сер. А, 1990, № 9, 24–27.
3. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 c.
5. Фущич В.И., Жданов Р.З., Ревенко И.В., Совместность и решения нелинейных уравнений д’А-
ламбера й Гамильтона, Препринт № 90.39, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 65 c.
6. Еругин Н.П., О функционально-инваринтных решениях, Докл. АН СССР, 1944, 52, № 9, 3–4.
7. Жданов Р.З., Лагно В.И., О точных решениях нелинейного уравнения д’Аламбера, содержа-
щих произвольные функции, в сб. Теоретико-алгебраический анализ уравнений математической
физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 34–39.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 258–266.

Качественный анализ семейств
ограниченных решений многомерного
нелинейного уравнения Шредингера
В.И. ФУЩИЧ, И.О. ПАРАСЮК
Установлено существование семейств ограниченных по пространственным перемен-
ным решений нелинейного многомерного уравнения Шредингера, а также изучены
их асимптотические свойства. Исследование включает два этапа. Вначале исходное
уравнение с помощью анзацев специального вида редуцируется к набору обыкно-
венных дифференциальных уравнений, а затем проводится качественный анализ ка-
ждого такого уравнения.

Данная работа является продолжением исследований, начатых в [1].
Рассмотрим многомерное нелинейное уравнение Шредингера
i?t ? + 1/(2m)?? + ?|?|k ? = 0, (1)
n
где ? : Rt ? > C, ? = (?xj )2 , m > 0, k > 0, ? ? R. В [1] это уравне-
n
Rx
j=1
ние изучалось в случае, когда k = 4/n, n = 3 (при таком k уравнение (1) обладает
наиболее широкой группой симметрии [2, 3]). В настоящей работе, следуя [1], изу-
чим ограниченные решения уравнения (1) при произвольном n и более широком
диапазоне значений k. Для этой цели с помощью анзацев [2, 3] редуцируем урав-
нение (1) к набору обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем проведем
качественный анализ этих уравнений.
1. Анзац ?(t, x) = t?1/k z(? ), где ? = t?1/2 ? · x (здесь и в дальнейшем ? ? Rn ,
?2 = 1), редуцирует уравнение (1) к уравнению
z ? im? z ? 2imk ?1 z + a|z|k z = 0, (2)
? ? a = 2?m.
Утверждение 1. Если k = 4, то уравнение (2) имеет семейство решений z =
Z(?, c), где c — комплексный параметр, а функция Z(?, c) при фиксированном
c ограничена на всей оси R? и удовлетворяет условиям

Z(?, c) = O ? ?|1/2?2/k|?1/2 , ? > ?.
и
Z(??, c) = Z(?, c)

Доказательство. Рассмотрим уравнение более общего вида чем (2):
z ± im? z + imbz + a|z|k z = 0, b ? R. (3)
? ?
Сделаем замену независимой переменной s = ? 2 /2:
d2 z 1 dz imb a
+ ±im + z + |z|k z = 0.
+
ds2 2s ds 2s 2s
Укр. мат. журн., 1991, 43, № 6, C. 821–828.
Качественный анализ семейств ограниченных решений 259

Выполнив подстановку
1 1
ds v = s?1/4 exp(±ims/2)v,
z = exp ? ±im +
2 2s
приходим к уравнению
d2 v m2 im 1 3 a
+ b± |v|k v = 0. (4)
+ + + v+
ds2 16s2 2s1+k/4
4 2s 2
Вначале исследуем линейное уравнение вида
d2 v m2 im? 3
(5)
+ + + v = 0,
ds2 16s2
4 s
где ? = |b ± 1/2|/2. Для него s = 0 является регулярной особой точкой c опре-
деляющим уравнением ?2 ? ? + 3/16 = 0, которое имеет пару корней ?1 = 1/4 и
?2 = 3/4. Поэтому для любого решения v(s) уравнения (5) существует конечный
предел
lim s?1/4 v(s) < ?. (6)
s>0

Для исследования асимптотики решений (5) при s > ? в соответствии с [4]
рассмотрим уравнение
m2 im?
?2 + + = 0.
4 s
Для его корней имеет место представление

?± (s) = ±i m2 /4 + im?/s = ±im/2 ± ?/s + O s?2 .
Предположим, что ? = 0. Тогда уравнение (5) имеет пару решений
s
?± (s1 )ds1 (c± + o(1)) = O s±? ? , (7)
v± (s) = exp
s0

вронскиан которых равен 1. Для этих решений выполняется условие (6). Очевидно,
что аналогичный результат справедлив и в случае, когда ? = ?|b ± 1/2|/2, поэтому
полагаем ? > 0.
Теперь задачу об ограниченных на полуоси [0, ?) решениях уравнения (4)
сведем к интегральному уравнению
s
a
v+ (?)??1?k/4 |v(?)|k v(?)|d? +
v(s) = v? (s) c +
2 0
?
a
v? (?)??1?k/4 |v(?)|k v(?)d? = A[v](s),
def
+ v+ (s)
2 s

где c — комплексный параметр. Покажем, что оператор A на полном метрическом
пространстве BL непрерывных функций f : [0, ?) > C с метрикой ?(f, g) =
sup |f (s) ? g(s)| таких, что
s?[0,?)


|f (s)| ? L min s1/4 , s?? , (8)
L > 0,
260 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

при всех достаточно малых |c| и L является оператором сжатия. Действительно.
для любой f ? BL из оценок
1 1
|v± (?)|??1?k/4 |f (?)|k+1 d? ? c1 Lk+1 ?1/4?1?k/4+(k+1)/4 d? ? c2 Lk+1 ;
0 0
? ?
|v+ (?)|??1?k/4 |f (?)|k+1 d? ? c3 Lk+1 ???1?k/4?(k+1)? d? ? c4 Lk+1 ;
1 1
? ?
|v? (?)|??1?k/4 |f (?)|k+1 d? ? c5 Lk+1 ????1?k/4?(k+1)? d? ?
s s
k+1 ?(k+2)??k/4
? c6 L s ? 1,
s ,
следует оценка

|A[f ](s)| ? c7 |c| + Lk+1 min s1/4 , s?? ,

причем константа c7 не зависит ни от |c|, ни от L. Значит, A : BL > BL , как
только малостью L и |c| будет обеспечено выполнение условия c7 |c| + Lk+1 ? L.
Выясним условия сжатия. Для любых f, g ? BL из оценок
1
|v± (?)|??1?k/4 ||f (?)|k f (?) ? |g(?)|k g(?)|d? ?
0
1
|v± (?)|??1?k/4 (|f (?)|k f (?) ? g(?)| + (|f (?)|k ? |g(?)|k )|)d? ?
?
0
1
? c8 L ?1/4?1?k/4+k/4 d? ?(f, g) ? c9 Lk ?(f, g);
k
0
s
|v+ (?)|??1?k/4 ||f (?)|k f (?) ? |g(?)|k g(?)|d? ?
1
s
? c10 Lk ???1?k/4?k? d? ?(f, g) ?
1

? c11 Lk s??k/4?k? + 1 ?(f, g), s ? 1;
?
|v? (?)|??1?k/4 ||f (?)k f (?) ? |g(?)|k g(?)|d? ?
s
?
????1?k/4?k? d? ?(f, g) ? c13 Lk s???k/4?k? , s ? 1,
? c12 L k
s
следует оценка
?(A[f ], A[g]) ? c14 Lk ?(f, g)
причем c14 не зависит ни от c, ни от L. Выполнение условия сжатия c14 Lk < 1
также можно добиться малостью L.
Таким образом, уравнение (4) при условии ? = 0, обладает семейством реше-
ний, зависящих от параметра c и удовлетворяющих условию (8).
Вернемся теперь к уравнению (2), которое соответствует (3) при b = ?2/k и
знаке “?”. Для него ? = |1/2 ? 2/k|/2 = 0. Тогда, учитывая связь между v и z,
получаем искомое семейство z = Z(?, c). Утверждение доказано.
Качественный анализ семейств ограниченных решений 261

В случае k = 4 имеет место утверждение, аналогичное доказанному выше, с
той лишь разницей, что семейство ограниченных на всей оси и убывающих на
бесконечности с асимптотикой O(? ?1/2 ) решений будет зависеть от двух компле-
ксных параметров.
2. Анзац
imx2
?1/k
? = t?1/2 ? · x,
?(t, x) = t exp z(? ),
2t
редуцирует уравнение (1) к уравнению

2
z + im? z + im n ? z + a|z|k z = 0, (9)
? ? a = 2?m.
k

Утверждение 2. Если k = 4/(2n?1), то уравнение (9) имеет семейство решений

<< Предыдущая

стр. 61
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>