<< Предыдущая

стр. 62
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

z = Z(?, c), где c — комплексный параметр, а функция Z(?, c) при фиксирован-
ном c ограничена на всей оси R? и удовлетворяет условиям

Z(?, c) = O ? ?|n?2/k?1/2|?1/2 .
Z(??, c) = Z(?, c);

Доказательство. Уравнение (9) имеет вид (3) при b = n ? 2/k в знаке “+”. К нему
применимо доказательство утверждения 1 для случая ? = |n?2/k?1/2|, поскольку
? = 0 в силу условия, наложенного на k. Утверждение доказано.
Случай k = 4/(2n ? 1) аналогичен случаю k = 4 из предыдущего пункта.
imx2
3. Анзац ?(t, x) = t?n/2 exp z(? ), ? = t?1 ? · x, редуцирует (1) при
2t
k = 4/n к уравнению

z + a|z|4/n z = 0,
? a = 2?m,

которое исследовано в [1].
4. Анзац ?(t, x) = t?1/k z(? ), ? = t?1 x2 , редуцирует уравнение (1) к уравнению

z + (n/(2? ) ? im/2)z ? imz/(2k? ) + a|z|k z/? = 0, (10)
? ? a = ?m/2.
v
Утверждение 3. Пусть l1 (n) < k < l2 (n), где l1 (n) = (2 ? n + n2 + 12n + 4)/(2n),
а l2 (n) = ? при n = 1, 2 и l2 (n) = 4/(n ? 2) при n ? 3. Тогда уравнение
(10) имеет семейство решений z = Z(?, c), где c — комплексный параметр, a
Z(?, c) при фиксированном c является функцией класса C 1 [0, ?) ? C 2 (0, ?) и
удовлетворяет условиям

Z(?, c) = O ? ?? ,
?
lim ? · Z(?, c) < ?, ? > ?,
? >0

где ? = min(1/k, n/2 ? 1/k).
Доказательство. Сначала исследуем линеаризованное уравнение, соответствую-
щее (10) (a = 0). Справедлива такая лемма.
Лемма. Уравнение

z + (n/2? ) ? im/2)z + imz/(2k? ) = 0 (11)
? ?
262 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

при выполнении условий утверждения 3 имеет фундаментальную систему ре-
шений z1 (? ) и z2 (? ), удовлетворяющих условиям

? ?n/2 (1 + o(1))d?, ? > 0; (12)
lim z1 (? ) = 1, z2 (? ) = (1 + o(1))
? >0


zj (? ) = O ? ?? , zj (? ) = O ? ?? , ? > ?. (13)
? j = 1, 2,

Вронскиан этих решений равен exp(im? /2)? ?n/2 .
Доказательство. Существование решения z1 (? ), удовлетворяющего (12), следует
из того, что ? = 0 — регулярная особая точка уравнения (11) с определяющим
уравнением ?((? ? 1) + n/2) = 0, откуда ?1 = 0, ?2 = 1 ? n/2. Решение z2 (? ) и
выражение для вронскиана получаются из формулы Остроградского–Лиувилля.
Для исследования асимптотики zj (? ) при ? > ? выполним подстановку

1 n im
v = ? ?n/4 exp(im? /2)v.
exp ? ? (14)
z= d?
2 2? 2
Получим уравнение

4n ? n2
m2 im n1
? (15)
v+
? + + v = 0.
16? 2
16 2? 4 k

Исследуется оно так же, как и (5). Если k = 4/n, то в этом случае ?1,2 (? ) =
1 ? im/4 ± (n/4 ? 1/k)? ?1 + O ? ?2 и (15) имеет пару линейно независимых
решений

v1,2 (? ) = O ? ±(n/4?1/k) . (16)

Если же k = 4/n, то (15) имеет пару решений с асимптотикой v1,2 (? ) = O(1), ко-
торая формально также удовлетворяет (16). Такую же асимптотику имеет v1,2 (? ).
?
В обоих случаях соответствующее решение zj (? ) с учетом (14) удовлетворяет (13).
Лемма доказана.
Задачу об ограниченных решениях уравнения (10) сведем к интегральному
уравнению
?
exp(?im?/2)?n/2?1 z2 (?)|z(?)|k z(?)d? ?
z(? ) = z1 (? ) c + a
0
(17)
?
def
? az2 (? ) exp(?im?/2)?n/2?1 z1 (?)|z(?)|k z(?)d? = A[z](? ).
0

Применим к (17) принцип сжимающих отображений. Рассмотрим полное метри-
ческое пространство BL непрерывных функций f : [0, ?) > C, удовлетворяющих
условию

|f (? )| ? L min 1, ? ?? , (18)
L > 0,

sup |f (? ) ? g(? )|.
с метрикой ?(f, g) =
? ?[0,?)
Качественный анализ семейств ограниченных решений 263

Покажем, что A : BL > BL при всех достаточно малых |c| и L. Пусть f ? BL .
Тогда, учитывая (12), имеем
?
??n/2 d? d? +
|A[f ](? )| ? c1 |c| + L k+1
?n/2?1
0
(19)
?
? ?n/2 d? ? c2 |c| + Lk+1 , ? ? [0, 1].
+ Lk+1 ?n/2?1 d?
0

Нетрудно видеть, что условия утверждения 3 гарантируют выполнение неравенства

n/2 ? (k + 2)? < 0. (20)

А тогда, учитывая (13), имеем
?
?? ??
|A[f ](? )| ? c3 |c| + L ?n/2?1?(k+2)? d? ?
k+1 k+1
? + c4 ? L
(21)
1

? c5 |c| + Lk+1 ? ?? , ? ? (1, ?).

(Здесь и ниже константы ci не зависят ни от c, ни от L.) Значит, A[f ](? ) будет
удовлетворять условию (18), как только c5 |c| + Lk+1 < L.
Перейдем к исследованию условий сжатия. Для f, g ? BL получаются оценки

|A[f ](? ) ? A[g](? )| ? c6 Lk ?(f, g), ? ? [0, 1];
?
??
|A[f ](? ) ? A[g](? )| ? c7 ? ?n/2?1?(k+1)? d? ?(f, g) ?
k
L 1+
1

? c8 Lk 1 + ? n/2?(k+2)? ?(f, g) ? 2c8 Lk ?(f, g), ? ? (1, ?),

на основании которых находим условие сжатия max(c6 , 2c8 )Lk < 1. Из принципа
сжимающих отображений следует существование решения z(? ) = Z(?, c) уравне-
ния (17), удовлетворяющего условию (18).
Для того чтобы закончить доказательство, найдем из (17)
?
d
exp(?im?/2)?n/2?1 z2 (?)|z(?)|k z(?)d? ?
z(? ) =
? A[z](? ) = z1 (? ) c + a
?
d? 0
(22)
?
? z2 (? ) n/2?1 k
? exp(?im?/2)? z1 (?)|z(?)| z(?)d?.
0

С помощью формулы Остроградского–Лиувилля получаем z2 (? ) = (1 + o(1))z2 (? )
?
?n/2
. А тогда с учетом представления
+(1 + o(1))?
?
exp(?im?/2)?n/2?1 z1 (?)|z(?)|k z(?)d? =
0
1
n/2
exp(?ims? /2)sn/2?1 z1 (s? )|z(s? )|k z(s? )ds
=?
0

и (22) заключаем, что z(? ) ? C 1 [0, ?).
?
Свойство для Z(?, c) вытекает непосредственно из уравнения (10). Утверждение
доказано.
264 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

Замечание. Случай n = 1 при менее жестких ограничениях на параметр k факти-
чески исследован в п. 1.
5. Анзац
imx2
?n/2
? = t?2 x2 ,
?(t, x) = t exp z(? ),
2t
редуцирует уравнение (1) при k = 4/n к уравнению

z + nz/(2? ) + a|z|4/n z/? = 0, (23)
? ? a = ?m/2.

Утверждение 4. Если n ? 2, a > 0, то уравнение (23) имеет семейство решений
вида z = exp(i?)r(?, c), где ?, c — вещественные параметры, а r(?, c) при фи-
ксированном c является функцией класса C 1 [0, ?) ? C 2 (0, ?) и удовлетворяет
условиям

lim r(?, c)? < ?, (24)
r(0, c) = c; ?
? >0


O(? ?1/6 ), n = 2,
? > ?, (25)
r(?, c) =
O(? ?n/(2n+4) ), n ? 3,

Доказательство. Подстановка z = exp(i?)r в (23) приводит к уравнению

r + nr/(2? ) + ar4/n+1/ ? = 0. (26)
? ?

Для того чтобы показать существование семейства решений (26), удовлетворяю-
щих (24) при малых ? ? 0, следуя [5], запишем (26) в виде
d
(r? n/2 ) = ?a? n/2?1 r4/n+1 , (26 )
?
d?
откуда с учетом требования непрерывности r при ? = 0 имеем представление
?
?
?n/2 n/2?1 4/n+1
r(? ) = ?a?
? ?2 r (?2 )d?2 .
0

Следовательно, искомое семейство удовлетворяет интегральному уравнению
? ?1
?n/2 n/2?1 4/n+1
r(? ) = c ? a ?1 ?2 r (?2 )d?2 .
0 0

При каждом фиксированном c ? R локальная (при малых ? ) разрешимость этого
уравнения легко доказывается с помощью принципа сжимающих отображений.
Теперь докажем, что всякое решение из семейства r(?, c) продолжимо на по-
луось [0, ?) и обладает асимптотикой (25). Заметим, что (26 ) — это известное
уравнение Эдмена–Фаулера. Его качественный анализ проведен, например, в [4].
К сожалению, в [4] не выписаны в явном виде формулы асимптотик в рассматри-
ваемом здесь случае.
Пусть n = 2. Положим ? = es , r = exp(?s/6)p. Получим
dp
p(1/3)p + (1/36)p + ap3 exp(2s/3) = 0 (27)
? ? p=
? .
ds
Качественный анализ семейств ограниченных решений 265

Рассмотрим функцию

V (s, p, p) = p2 /2 + (1/72)p2 + (c/4)p4 exp(2s/3).
? ?

В силу (27) имеем
?
V = (2/3) p2 /2 + (a/4)p4 exp(2s/3) ? (2/3)V.
?

Отсюда V = O(exp(2s/3)) и p = O(1) при s > ?. Значит, r = O ? ?1/6 .

<< Предыдущая

стр. 62
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>