<< Предыдущая

стр. 63
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Пусть n ? 3. Положим r = ? (2?n)/2 p. Получим

p + (4 ? n)p/(2? ) + a? 4/n?3 p4/n+1 = 0. (28)
? ?

Рассмотрим функцию

W (?, p, p) = p2 /2 + a(4/n + 2)?1 ? 4/n?3 p4 .
? ?

Ввиду (28) получим

W = ? ?1 (n ? 4)p2 /2 + a(4/n ? 3)(4/n + 2)?1 ? 4/n?3 p4/n+2 ? (n ? 4)? ?1 W.
? ?

Отсюда W = O ? n?4 . Следовательно,
2
?n?4)/(2n+4)
p4/n+2 = O ? n?4 , p = O ? (n ,
2
?n?4)/(2n+4)
= O ? ?n/(2n+4) .
r = O ? (2?n)/2+(n

Утверждение доказано.
Замечание. Случай n = 1 сводится к п. 3.
6. Анзац
im tx2
?(t, x) = (1 ? t2 )?n/4 exp ? ? = x2 / 1 ? t2 ,
z(? ),
2 1 ? t2
редуцирует уравнение (1) к уравнению

z + nz/(2? ) + m2 z + a|z|4/n z/? = 0, (29)
? ? a = ?m/2.

Утверждение 5. Уравнение (29) имеет семейство решений z = Z(?, c), где c —
комплексный параметр и функция Z(?, c) при фиксированном с принадлежит
классу C 1 [0, ?) ? C 2 (0, ?) и удовлетворяет условиям

Z(?, c) = ? ?n/4 ,
?
lim ? Z(?, c) < ?, ? > ?.
? >0

Доказательство. Линеаризованное уравнение (29) (a = 0) обладает фундамен-
тальной системой решений z1 (? ), z2 (? ), удовлетворяющих условиям (12), (13) при
? = n/4. Это утверждение, а также последующие рассуждения повторяют схе-
му доказательства в п. 4. Соответствующее интегральное уравнение отличается
от (17) лишь отсутствием экспонент под знаком интеграла. Осталось заметить,
что неравенство (20) при ? = n/4, k = 4/n выполняется.
266 В.И. Фущич, И.О. Парасюк

1. Парасюк И.О., Фущич В.И., Качественный анализ семейств ограниченных решений нелинейного
трехмерного уравнения Шредингера, Укр. мат. журн., 1990, 42, № 10, 1344–1350.
2. Fushchych W.I., Serov N.I., On some exact solutions of three-dimensional non-linear Schr?dinger
o
equation, J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, 929–933.
3. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
4. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, М., Изд-во иностр.
лит., 1954, 216 с.
5. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Режимы с обострением в
задачах для квазилинейных параболических уравнений, М., Наука, 1987, 480 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 267–273.

Точные решения некоторых уравнений
газовой динамики и нелинейной акустики
В.И. ФУЩИЧ, В.К. РЕПЕТА
New non-Lie ans?tze used to construct exact solutions of some gas dynamics equations
a
and nonlinear acoustics equations are suggested.

Предложены анзацы, с помощью которых построены некоторые классы точных
решений уравнений газовой динамики: Линя–Рейснера–Циня и “коротких волн”,
а также нелинейной акустики.
1. Для описания нестационарных потенциальных течений газа с околозвуко-
выми скоростями используется уравнение Линя–Рейснера–Циня [1]

2u01 + u1 u11 ? u22 = 0, (1)
2
где u = u(x) ? R1 , x = (x0 , x1 , x2 ) ? R3 , uµ = ?xµ , uµ? = ?xµ ?x? , µ, ? = 0, 2.
?u ?u

В работе [2] показано, что локальная группа симметрии уравнения (1) беско-
нечномерна и порождается операторами

X1 = 2x0 ?0 + x2 ?2 ? 2u?u , X2 = h(x0 )?u , X3 = m(x0 )x2 ?u ,
2 ...
? ?
X4 = ??1 + 2?x1 + 2? x2 ?u , X5 = ?x2 ?1 + ??2 + 2?x1 x2 + ? x3 ?u ,
? ?2 2
3
(2)
X6 = 3?x0 ?0 + ?x1 + ?x2
? ?2 ?1 + 2?x2 ?2 +
?
?(4) 4
...
+ ??u + ?x2 + 2 ? x1 x2 +
?1 x ?u .
2
32
Здесь ?(x0 ), ?(x0 ), ?(x0 ), m(x0 ), h(x0 ) — произвольные функции от x0 .
Решения уравнения (1) будем искать в виде

?1 (x1 , x2 )dx1 + ?2 (x0 , x2 ) + ?3 (x0 , x2 )x1 ,
а) u = (3)

б) u = v 1 (x0 , x2 ) + v 2 (x0 , x2 )?(?), ? = v 3 (x0 , x2 )x1 + v 4 (x0 , x2 ). (4)

Подставляя анзац (3) в уравнение (1), получаем

?2 = 2?3 + ?1 ?1 ? ?1 dx1 + ?3 ?1 ? ?3 x1 . (5)
22 0 1 22 1 22


Наложим на ? дополнительные условия

?1 ? (?1 ?1 )1 = ?, (6)
22 1

?3 ?1 ? ?3 = ? (7)
(? = const).
11 22

Доклады АН УССР, 1991, № 8, С. 39–45.
268 В.И. Фущич, В.К. Репета

Тогда правая часть уравнения (5) является функцией только двух переменных x0
и x2 .
В работе [3], используя условную симметрию [4, 5], построены точные решения
нелинейного волнового уравнения (6) при ? = 0. Обобщая результаты [3] на
случай произвольного значения параметра ?, приходим к следующим решениям
уравнения (6):
?=0
?1 = W (x2 )x2 + ?(x2 ), ?1 = 1 + 1 + 2(x1 ? x2 ),
1
12 1/2 1/2
x2 ? 2x1 + x2 x2 ? 4x1
?1 = , ?1 = x2 x1 , (8)
2
2
?3/2
?1 = x2 x?2 + x1
1/2 5/2
a1 x2 + a2 x2 ;
12

? ? R1
x4 ?x2
2
+ 2 + a1 x2 + a2 ,
1
? = x1 x2 +
12 4
a2 x8 ?
? = x1 x2 + 3a1 x2 x1 + 1 2 + a2 x?1 + a3 x2 + x2 ln x2 .
2 ?2
1 3
2
32
2
6
Решения уравнения (7), соответствующее (8), имеют вид
?=0
?3 = ?(x2 ), ?3 = 0;
? ? R1
?2
?3 = x + b(x0 )x2 + c(x0 ),
22 (9)
?
b2 (x0 )x?1
+ x2 (ln x2 ? 1).
3
b1 (x0 )x2
?= +
2 2
3
Проинтегрировав уравнение (5) с учетом (8), (9) и подставив значения функций
?1 , ?2 , ?3 в (3), получим точные решения уравнения
x3
u = W (x2 ) 1 + 2?(x2 )x1 + H,
3
3 ?2
a2 7 a2 ?1 a1 a2 3
x1 x2 2 3/2 ?3/2
5/2
+ 1 x2 + 2 x2 +
u= + x1 a1 x2 + a2 x2 x + H,
62
3 3 84 4
x2
1 3
3/2
u = x1 + [1 + 2(x1 ? x2 )]3/2 ? 2 + H, u = ?x2 x1 + ?2 x4 + H, 2
3 2 48
x4 1 x2 2 3/2
u=? 2 + x1 x2 ? x2 ? x2 ? 4x1 + H,
2 1
12 2 6
x2 x2 x4 x7
u = 1 + x1 2 + (a1 ? b)x2 + a2 ? c + 2 + (10)
2 12 504
x4 1 ?
+ (a1 ? b) 2 + (a2 ? c ? 2b)x3 ? cx3 + H, ?2
2
12 6
a2
1 3
u = x3 x?2 + a1 x2 x3 + x1 1 x8 + (a2 ? b2 )x?1 + (a3 + b1 )x2 +
312 12
62 2
2
2
?
a1 a2 13 a3 + b1 7 2b2 + 3a1 (b2 + a2 ) 4
1
+ x2 + x2 + x2 +
2 156 7 12
?
+ 2b2 x2 (ln x2 ? 1) + H.
Точные решения некоторых уравнений газовой динамики и акустики 269

Здесь W (x2 ) — функция Вейерштрасса, т.е. решение уравнения W = 6W 2 ;
?(x2 ) — решение уравнения Ламе ? = 2W ?; H = h1 (x0 )x2 + h2 (x0 ); a, b, c,
b1 , b2 , h1 , h2 — произвольные функции от x0 . Точкой обозначено дифференциро-
вание по x0 .
Во втором случае, подставляя анзац (4) в уравнение (1), придет к соотношению
2
? 2v 2 v 3 v0 x1 + v0 ? v 2 v2 x1 + v2 + ??(v 2 )2 (v 3 )3 ? v22 ? ?v22 +
3 4 3 4 1 2
? ??
(11)
+ ? 2(v v )0 ? ?v
23 23 4 2 3 4
? 2v2 (v2 x1 + v2 ) (v22 x1 + v22 ) = 0.
При некоторых условиях на функции v i , i = 1, 4 (11) сводится обыкновенному
дифференциальному уравнению (ОДУ) для ?(?). Рассмотрим несколько случаев:
Случай 1.
2v0 ? (v2 )2 = ?,
v 2 = v 3 = 1, 4 4 4 1
(12)
v22 = 0, v22 = ?1 , ?1 = 0.
Уравнение (11) при выполнении (12) будет иметь вид
?? + ?? ? ?1 = 0. (13)
? ??
Решая (12) и (13), получаем точное решение уравнения (1)
?1 2 1
x2 ± [?2 + 2(?1 ? + ?2 )]3/2 ? ?? + H, (14)
u=
2 3?1
2
где ? = x1 + x0 ?+(?2 ) + ?2 x2 , ?2 — произвольная константа.
2
Случай 2. Положим в (11) ? = ? 3/2 . Тогда функции v i , i = 1, 4 удовлетворяют
системе уравнений
9 22
2v0 ? (v2 )2 = 0, (v ) , 2v0 ? 2v2 v2 ? v 2 v22 = 0.
2 4 4 1 2 24 4
(15)
v22 = 0, v22 =
8
Решая систему уравнений (15), по формуле (4) получаем решения уравнения (1)
3 (g 1 x2 + g 2 )4
+ (g 1 x2 + g 2 )? 3/2 + H, (16)
u= 1 )2
32 (g
где функции g 1 , g 2 и ? принимают вид
x2

<< Предыдущая

стр. 63
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>