<< Предыдущая

стр. 64
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?3/2
?2 x?2 ,
? = x1 ? 2 ,
1 2
1) g = ?1 x0 , g= 0
2x0
x0
2) g 1 = const, g 2 = ?g 1 x0 + ?3 , ? = x1 + ? x0 .
2
Полученные результаты обобщаются на уравнение 2u01 + u1 u11 ? u22 ? u33 = 0.
Для этого в формулах (10), (14), (16) необходимо x2 заменить на ?1 x2 + ?2 x3
2 2
(?1 + ?2 = 1).
Замечание 1. Решения уравнения (1) можно размножить с помощью операто-
ров (2). Формула размножения, построенная по операторам X1 –X5 для известного
решения u = f (x0 , x1 , x2 ), имеет вид
u = ?1 f (?1 x0 , ??3 + x2 ?4 + x1 , ?1 (x2 + ??4 )) ? ?2 m(x2 + ??1 ) ? h?5 ?
2 2

...
? 1 x2 ?4 ? 2 ? x2 ?4 ,
? ?3 2?(x2 ?4 + x1 ) + 2? (x2 + ??4 ) ? 2?x
2
? ? 2
3
где ?i — групповые параметры, i = 1, 5.
270 В.И. Фущич, В.К. Репета

Укажем формулы размножения для некоторых конкретных значений функции
?(x0 )
? = const
u = (x0 + ?, x1 , x2 );
? = x0
u = ?2 f (?3 x0 , ?x1 , ?2 x2 ),
? = xn , n = 0; 1
0

b1
?n/p
?
(qa + p)1/(1?n) , (qa + p)n/q x1
u=f F (?1) ,
q
2n/q
q 1
n(n ? 1)b2 F (?1) ?
(qa + p)n/q +
x2 a+1
p q

n (n ? 2)(n ? 3)
p?n/q ,
? b1 b2 nF (?2) + b2 F (?3) +
n(n ? 1)
1
3
?n/q
+ qp , F (k) = (qa+p)k ?pk ;
где q = 3(1?n), p = x1?n , b1 = n(n?1)x2 p, b2 = x1 x0 b1
1
0
?, a — групповые параметры.
2. В теории “коротких волн” в газовой динамике используется система уравне-
ний
w2 ? 2v1 ? 2(v ? x1 )v1 ? 2kv = 0,
(17)
v2 + w1 = 0, (k = 0; 1),
которая представляет собой некоторую аппроксимацию уравнений введенную в
работе [6].
Замена w = u2 , v = ?u1 сводит (17) к уравнению
2u01 ? 2(x1 + u1 )u11 + u22 + 2ku1 = 0. (18)
Уравнение (18), также как и система (17), допускает бесконечную группу точечных
преобразований [7, 8].
Для отыскания решений уравнения (18) используем анзацы вид (4) и
3/2
u = x1 ?1 (x0 , x2 ) + x2 ?2 (x0 , x2 ) + ?3 (x0 , x2 ). (19)
1

Подставляя (19) в уравнение (18), получим
1
3/2 1/2
?1 ? ?1 3?2 ? k +
x1 ?1 + x2 ?2 + x1 +
22 1 22 0
2
9
+ x1 ?2 ? 2(?2 )2 ? ?2 (1 ? k) + ?3 ? (?1 )2 = 0.
0 22
4
Итак, уравнение (18) при помощи анзаца (18) редуцируется к системе уравне-
ний
9
?1 = ?1 = 0, ?3 = (?1 )2 ,
22 22 22
4
(20)
1
?0 = ? 3? ? k + , ?0 = 2(? ) + ? (1 ? k).
1 1 2 2 22 2
2
Точные решения некоторых уравнений газовой динамики и акустики 271

Интегрируя (20) и подставляя полученные значения функций ?1 , ?2 , ?3 в (19),
получаем точные решения уравнения (18)
k=0
x2
u = x1 e?x0 (c1 x2 + c2 ) ? + e?2x0 H1 , u = x1 ex0 /2 (c1 x2 + c2 ) + ex0 H1 ,
3/2 3/2
1
2
x0 ?3/2
3/2 x0 /2
(1 ? 2ce )
u = x1 e (c1 x2 + c2 ) +
+ x2 ex0 c(1 ? 2cex0 )?1 + ex0 (1 ? 2cex0 )?3 H1 ,
1

k=1
u = x1 e?x0 /2 (c1 x2 + c2 ) + e?x0 H1 ,
3/2

x2
u = x1 e?x0 /2 (2x0 + c)?3/2 (c1 x2 + c2 ) ? + e?x0 H1 .
3/2 1
2x0 + c
3
+ c2 )4 + h3 (x0 )x2 +
Здесь c, c1 , c2 — произвольные постоянные; H1 = (c x
16c2 1 2
1
h4 (x0 ); h3 (x0 ), h4 (x0 ) — произвольные функции.
Анзац (4) при v 2 = const, v 3 = const (не ограничивая общности можно поло-
жить v 2 = v 3 = 1) приводит уравнение (18) к виду
(v2 )2
4
2?? + 2 x1 ? ? ? ? ?[2k + v22 ] ? v22 = 0.
4 4 1
(21)
?? v0 ??
2
Требуя, чтобы (21) сводилось к ОДУ для ?(w), получаем на функции v 1 и v 2
систему уравнений
(v2 )2
4
v22 = ?2k + ?2 ,
1 4
+ v 4 = ?, 4
(22)
v22 = ?1 , v0 +
2
где ?, ?1 , ?2 — постоянные.
При условии (22) уравнение (21) принимает вид

2?? + 2?(? ? ?) ? ??2 ? ?1 = 0. (23)
?? ? ?

Система уравнений (22) имеет решения
?2 = 2k
?2 ?2x0 ?1 2
v 4 = e?x0 (?3 x2 + ?4 ) + 3
v1 =
e + ?, x + H;
22
2
?2 = 2k ? 1
x2 ?2 ?1 2
+ ?3 e?x0 + ?4 x2 ? 4 ,
v4 = ? 2
v1 = x + H.
22
2 2
Таким образом, в первом случае
?2 ?2x0
w = x1 + e?x0 (?3 x2 + ?4 ) + 3
(24)
e + ?,
2
а во втором
x2 ?2
+ ?3 e?x0 + ?4 x2 4 + ?.
w = x1 ? 2
(25)
2 2
272 В.И. Фущич, В.К. Репета

Решения уравнения (23) представляются в параметрическом виде
?2 = 0:
?2
2t 1
?1 + ?t2 ? ?5 + ??1 ? 1
? = c3 e2t/?1 ,
?1 2 2
2c3 t ?1
e ?t+?? ;
w=
?1 2
?2 = ?1:
t4 2
? = (?t + ?1 )?2 c3 (2t ? ?1 ) ? + ?1 t3 ? t2 (?5 + ??1 ) ,
3 3
(26)
2
? = (?t + ?1 )?2 c3 ? t3 + t2 (? + ?1 ) ? 2t??1 ? ?1 ?5 ;
3
?2 = 2:
1 ?1 1 1
? = t2 4c3 ? t ? (4?1 c3 + ??1 + ?4 ) + (4t2 ? ?2 ) ln(2t + ?1 ),
+ 1
4 4 4 8
1
w = t(8c3 ? 1) + (2t + ?1 ) ln(2t + ?1 ) ln(2t + ?1 ) + ? + 4?1 c3 ;
2
?2 = 1:
1
? = c3 (t + ?1 )2 (2t ? ?1 ) ? t2 + (?2 ? ?1 ? ? ?5 ),
31
w = 3c3 (t + ?1 )2 ? 2t + ? ? ?1 .
Подставляя (24)–(26) в (4), получим точные решения уравнения (18).
3. Построим новые решения, отличные от [3], уравнения нелинейной акустики
u00 ? (uu1 )1 = 0. (27)
Следуя [3–5, 9], можно показать, что уравнение (27) Q-условно инвариантно
относительно операторов
Q1 = ?0 ? 2x0 ?1 + 8x0 ?0 ,
x2
Q2 = x0 ?0 ? 6x5 + x1 ?1 + 2 u ? 3 2 + 2x1 x0 ? 24x0
1 3 8
?u ,
0
x0
Q3 = 2x0 ?0 + x1 ? 3x0 ?1 ? 2 u + 3x1 ? 9x2 ?u ,
2
0
? x1 ?1 ? W 2u ? W x2 ?u ,
?
Q4 = 2W ?0 + W 1
Q5 = x0 ?0 ? 3x0 ?1 + u + 27x0 ?u .
2 4

?
Здесь W (x0 ) — решение уравнения W = W 2 .
Используя операторы Q1 –Q5 находим анзацы
u = 4x2 + ?(w), w = x1 + x2 ,
0 0
2
x1
30x2 ?(w) + bx4 w = x0 x1 + x5 ,
u= + ,
0 0 0
x0
?1/2 (28)
u = ?2 x2 ? x1 + x?1 ?(w), w = x0 x1 + x2 ,
0 0
0
1
u = W ?1 ?(w) + W x2 , w = W ?1/2 x1 ,
1
6
u = 9x4 + x1 ?(w), w = x1 + x3 ,
0 0
Точные решения некоторых уравнений газовой динамики и акустики 273

которые редуцируют уравнение (27) к ОДУ
2? ? ?? + 8w = 0, ?? ? ? ? 2w ? ? = 0,
? ?
w2 7
?2 + ? ? ? ? w? ? 2? = 0,
? ? ? (29)
4 4
?
?2 + ?? ? [?w2 + 7w? + 8?] = 0, ?2 + ?? ? 12? ? 108w + ? = 0.

<< Предыдущая

стр. 64
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>