<< Предыдущая

стр. 65
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ? ? ? ? ?
2
Решая уравнения (29) и используя формулы (28), находим точные решения
уравнения (27). Приведем некоторые из них
2
u ? 4 x1 + 2x2 u + 2 x1 ? x2 = c,
0 0
3
x2
u 9 u
? 3x1 ? x3 ? 0 + x1 = c,
20
6x0 6x0 2
2
2
(30)
x1
u? ? ? ? ?
72x1 x3 96x8 30?x2
0 0 0
x0
2
x1
? u? + 18x1 x3 ? 6x8 + 15?x2 = cx4
0 0 0 0
x0

(c, ? — произвольные постоянные).
Известно, что заменой v = u1/2 уравнение (27) приводится к уравнению v11 ?
v ?1/2 v0 0 = 0.
Таким образом, меняя в (30) местами x1 и x0 , и заменяя u на u1/2 , получим
точные решения уравнения u00 ? u?1/2 u1 1 = 0.
Замечание 2. Операторы Q2 –Q4 впервые были найдены при изучении условной
симметрии уравнения Буссинеска в работе [9].
Замечание 3. Отметим, что анзац u = 9x4 +12x0 ? x1 + x2 редуцирует уравнение
0 0
u00 = uu11 к ОДУ ?? ? ? = 3 .
?? 4

1. Lin C.C. Reissner E. Tslen H.S., Non-steady motion of a slender body in a compressible fluid, J. of
Math. and Phys., 1948, 27, № 3.
2. Мамонтов Е.В., Некоторые вопросы теории нестационарных околозвуковых течений, Динамика
сплошной среды, Новосибирск, 1969, 61–75.
3. Фущич В.И., Серов H.И., Репета В.К., Условная симметрия, редукция и точные решения нели-
нейного волнового уравнения, Докл. АН УССР, 1991, № 5, 29–34.
4. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
5. Фущич В.И.. Штелень В.М., Серов H.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
6. Рыжов О.С., Христанович С.А., О нелинейном отражении слабых ударных волн, Прикл. мате-
матика и механика, 1958, 22, № 3, 586–599.
7. Кухарчик П., Групповые свойства уравнений коротких волн в газовой динамике, Бюллетень
Польской АН, Сер. техн. наук, 1965, 13, № 5, 469–477.
8. Ибрагимов H.X., Группы преобразований в математической физике, М., Наука, 1983, 280 с.
9. Фушич В.И., Серов H.И., Условная инвариантность и точные решения уравнения Буссинеска,
в сб. Симметрия и решения уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН
УССР, 1989, 96–103.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 274–279.

Условная инвариантность
нелинейного волнового уравнения
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ
Установлена условная инвариантность нелинейного волнового уравнения относитель-
но бесконечномерной, конформной и Пуанкаре алгебр.

Введение. Рассмотрим уравнение
u00 ? ?[f (u)?u] = F (x, u, u), (1)
1

где u = u(x) ? R1 , x = (x0 , x) ? R1+n , f и F гладкие функции своих аргументов,
f (u) > 0, u = (u0 , u1 , . . . , un ), uµ = ?u/?xµ , u00 = ? 2 u/?x2 , µ = 0, n.
0
1
Уравнение (1) используется для описания нелинейных волновых процессов. В
работе [1] методом Ли изучены групповые свойства уравнения (1) при F = 0.
Бесконечная алгебра инвариантности уравнения (1) с дополнительным условием
u2 ? f (u)(?u)2 = m, (2)
m = const.
0

при f = 1, F = m = 0 , найдена в [2].
В настоящей работе исследована условная инвариантность (подробно об этом
понятии см. [3–7] уравнения (1), а также лиевская инвариантность уравнения (2).
1. Симметрия уравнения (2). Изучим симметрийные свойства уравнения (2)
методом С. Ли (см., например, [8, 9]).
1. Рассмотрим сначала случай m = 0, т.е. уравнение
u2 ? f (u)(?u)2 = 0. (3)
0

Теорема 1. Максимальной, в смысле С. Ли, группой инвариантности уравнения
(3) является бесконечномерная группа C ? (1, n) ? C ? , порождаемая операто-
рами
X = ?bµ [x2 f (u) ? xa xa ] + 2xµ [b0 x0 f (u) ? ba xa ] + c00 xµ + cµ? x? + dµ ?µ +
0
(4)
f
+ ? ? x0 ?0 + ?u ,
2f
где bµ , c00 , cµ? , dµ , ? — произвольные гладкие функции аргумента и, ca0 =
c0a f (u), cab = ?cba ; µ, ? = 0, n; µ = ?, a, b = 1, n.
Доказательство. Уравнение (3) заменой

(5)
y0 = x0 f (u), ya = xa , v=u
приводится к уравнению
2
?v ?v ?v
? (6)
= 0.
?y0 ?ya ?ya
Укр. мат. журн., 1991, 43, № 3, C. 394–399.
Условная инвариантность нелинейного волнового уравнения 275

Инвариантность уравнения (6) относительно бесконечномерной группы уста-
новлена в § 1.2 из [7]. Используя эти результаты и замену (5), получаем форму-
лы (4).
2. Пусть m = 1. Тогда имеем уравнение

u2 ? f (u)(?u)2 = 1. (7)
0

Симметрия уравнения (7) существенно зависит от размерности пространства не-
зависимых переменных (n = 1 или n ? 2). Рассмотрим эти случаи отдельно.
2.1. Одномерный случай. В этом случае x = (x0 , x1 ) ? R2 а уравнение (7)
имеет вид

u2 ? f (u)u2 = 1. (8)
0 1

С помощью метода С. Ли [8, 9] доказываются следующие утверждения.
Теорема 2. Максимальная алгебра инвариантности (МАИ) уравнения (8) за-
дается следующими базисными элементами:

(9)
?0 = ?/?x0 , ?1 = ?/?x1 ,

если f (u) — произвольная гладкая функция;

k+2
(10)
?0 , ?1 , D = x0 ?0 + x1 ?1 + u?u ,
2
если f (u) = ?uk , (?, k — произвольные постоянные).
Если f (u) = z ?2 , где z(u) — решение уравнения

(11)
z = ?1 z, ?1 = const,

то уравнение (8) обладает самой широкой алгеброй инвариантности, состоящей
из десяти операторов. Причем в зависимости от значений постоянной ?1 возмо-
жны четыре неэквивалентных случая. Ниже мы приведем их в виде отдельных
утверждений.
Теорема 3. МАИ уравнения

u2 ? u?2 u2 = 1 (12)
0 1

является конформная алгебра AC(1, 2), базисные операторы которой имеют
вид
p0 = ?0 , p1 = ?u?1 sin x1 ?1 + cos x1 ?u , p2 = u?1 cos x1 ?1 + sin x1 ?u ,
J01 = x0 p1 + u cos x1 p0 , J02 = x0 p2 + u sin x1 p0 , J12 = ?1 ,
(13)
D = x0 ?0 + u?u , K0 = 2x0 D ? (x2 ? u2 )p0 ,
0
K1 = 2u cos x1 D + (x0 ? u )p1 , K2 = 2u sin x1 D + (x2 ? u2 )p2 ,
2 2
0

Теорема 4. МАИ уравнения

u2 ? e2u u2 = 1 (14)
0 1
276 В.И. Фущич, Н.И. Серов

является конформная алгебра AC(1, 2) с базисными операторами
p0 = e?u (ch x0 ?0 ? sh x0 ?u ), p1 = ?1 , p2 = e?u (?sh x0 ?0 + ch x0 ?u ),
J01 = eu sh x0 p1 + x1 p0 , J02 = ?0 , J12 = x1 p2 ? eu ch x0 p1 ,
(15)
D = x1 ?1 + ?u , K0 = 2eu sh x0 D + x2 + e2u p0 ,
1
K1 = 2x1 D ? x2 + e2u p1 , K2 = 2eu ch x0 D ? x2 + e2u p2 .
1 1

Теорема 5. МАИ уравнения
u2 ? ch?2 uu2 = 1 (16)
0 1

является алгебра Лоренца AO(2, 3) с базисными операторами

Q1 = ch x0 sh x1 ch u?0 + sh x0 ch x1 ch?1 u?1 + sh x0 sh x1 sh u?u ,
Q2 = ch x0 ch x1 ch u?0 + sh x0 sh x1 ch?1 u?1 + sh x0 ch x1 sh u?u ,
Q3 = sh x0 sh x1 ch u?0 + ch x0 ch x1 ch?1 u?1 + ch x0 sh x1 sh u?u ,
= sh x0 ch x1 ch u?0 + ch x0 sh x1 ch?1 u?1 + ch x0 ch x1 sh u?u , (17)
Q4
Q5 = sh x0 sh u?0 + ch x0 ch u?u , Q6 = ch x0 shu?0 + sh x0 ch u?u ,
= sh x1 th u?1 ? ch x1 ?u , Q8 = ch x1 th u?1 ? sh x1 ?u ,
Q7
Q9 = ?0 , Q10 = ?1 .
Теорема 6. МАИ уравнения
u2 ? cos?2 uu2 = 1 (18)
0 1

является алгебра Лоренца с базисными операторами вида (17), где x0 , x1 , u
нужно заменить соответственно на ix0 , ix1 , iu.
Наличие широкой симметрии в уравнений (12), (14), (16), (18) наводит на
мысль, что эти уравнения могут быть локально эквивалентными уравнению эй-
конала
2 2
?v ?v
? (19)
= 1, v = v(y0 , y1 ),
?y0 ?y1
МАИ которого является конформная алгебра AC(1, 2) (см. [7], § 1.2). Действи-
тельно уравнения (12) и (14) приводятся к уравнению (19), если перейти к цилин-
дрическим координатам
(20)
y0 = x0 , y1 = u cos x1 , v = u sin x1
и
y0 = eu sh x0 , v = eu sh x0 (21)
y1 = x1 ,
соответственно. Уравнение (16) приводится к уравнению (19) с помощью сфериче-
ских координат
y0 = ex0 ch x1 ch u, y1 = ex0 sh x1 ch u, v = ex0 sh u. (22)
Уравнение (18) приводится к уравнению (16), если в нем заменить (x0 , x1 , u) на
(ix0 , ix1 , iu).
Условная инвариантность нелинейного волнового уравнения 277

2.2. Многомерный случай. При n ? 2 уравнения (12), (16) и (18) не обладают
симметрийными свойствами, описанными в теоремах 3, 5, 6. Только уравнение
(14), которое в многомерном случае имеет вид

u2 ? e2u (?u)2 = 1, (23)
0

конформно инвариантно. Как и предыдущие утверждения, методом С. Ли дока-
зывается следующая теорема.
Теорема 7. МАИ уравнения (7) задается базисными операторами:

Jab = xa ?b ? xb ?a , a, b = 1, n (24)
?0 , ?a ,

если f (u) — произвольная гладкая функция:
k+2
(25)
?0 , ?a , Jab , D = x0 ?0 + xa ?a + u?u ,
2
если f (u) = ?uk ,(?, k — произвольные постоянные);

D = x0 ?0 + u?u , K0 = 2x0 D ? (x2 ? u2 )?0 , (26)
?0 , ?a , Jab , 0

если f (u) = e2u ;

p0 = e?u (ch x0 ?0 ? sh x0 ?u ), pa = ?a , pn+1 = e?u (?sh x0 ?0 + ch x0 ?u ),
J0a = eu sh x0 pa + xa p0 , J0n+1 = ?0 , Jab = xa ?b ? xb ?a ,
Jan+1 = xa pn+1 ? eu ch x0 pa , D = xa ?a + ?u , (27)
K0 = 2eu sh x0 D + x2 + e2u p0 , Ka = 2xa D ? x2 + e2u pa ,
Kn+1 = 2eu ch x0 D + x2 + e2u pn+1 ,

если f (u) = e2u. Причем операторы (27) образуют конформную алгебру AC(1,n+
1).
Замечание 1. С помощью обобщенных цилиндрических координат

y0 = eu sh x0 , v = eu ch x0 , (28)
ya = xa , a = 1, n

уравнение (23) приводится к уравнению эйконала
2
?v ?v ?v
? (29)

<< Предыдущая

стр. 65
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>