<< Предыдущая

стр. 66
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

= 1.
?y0 ?ya ?ya
Замечание 2. Уравнение (2) m = 0; 1 локально эквивалентно уравнению (7).
v
В этом нетрудно убедиться, если заменить в нем x на x/ m.
2. Условная нвариантность уравнения (1). Покажем, что симметрия урав-
нения (1) значительно расширяется, если его рассматривать в системе с допол-
нительным условием (2). Это означает, что уравнение (1) имеет подмножества
решений, обладающие более широкой симметрией, чем все множество решений
данного уравнения.
Теорема 8. Уравнение (1), в котором F (x, u, u1 ) = 0, при условии (3) инва-
?
риантно относительно бесконечномерной группы Ли P? (1, n), порождаемой
операторами (4) при bµ = 0.
278 В.И. Фущич, Н.И. Серов

Доказательство данной теоремы заключается в проверке выполнения усло-
вий [7]

? ? (30)
XS = 0, XS1 = 0,
S=0
S1 =0
S1 = 0

где

S = u00 ? ?[f (u)?u], S1 = u2 ? f (u)(?u)2 , (31)
0

?
X — продолжение оператора (4).
Аналогично теореме 8 доказываются следующие утверждения.
Теорема 9. Уравнение

u00 ? ?1 u?2 u1 = ?u?1 (32)

при условии (12) инвариантно относительно расширенной алгебры Пуанкаре
?
AP (1, 2), базисными операторами которой являются операторы p0 , p1 , p2 , J01 ,
J02 , J12 , D, заданные формулами (13).
Теорема 10. Уравнение

u00 ? ?1 u?2 u1 = u?2 u1 ctg u1 (33)

при условии (12) инвариантно относительно конформной алгебры AC(1, 1),
состоящей из операторов p0 , p1 , J01 , D, K0 , K1 алгебры (13).
Теорема 11. Уравнение

u00 ? ?1 ch?2 uu1 = 2 sh?1 2u (34)

при условии (16) инвариантно относительно алгебры Лоренца AO(2, 2), состо-
ящей из операторов Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q9 , Q10 алгебры (17).
Теорема 12. Уравнение

u00 ? ?1 ch?2 uu1 = ?(u0 + th u) (35)

при условии (16) инвариантно относительно расширенной алгебры Пуанкаре
?
AP (1, 2) с базисными элементами Q3 ? Q1 , Q4 ? Q2 , Q6 ? Q5 , Q7 , Q8 , Q9 , Q10
где Q1 , . . . , Q10 — операторы алгебры (17).
Теорема 13. Уравнение

u00 ? ?1 cos?2 uu1 = 2 sin?1 2u (36)

при условии (18) инвариантно относительно алгебры Лоренца с базисными
операторами Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q9 , Q10 алгебры (17), в которых вместо (x0 , x1 , u)
необходимо положить (ix0 , ix1 , iu).
В уравнениях (32)–(36) функция u зависит от двух переменных (x0 , x1 ). Для
многомерного уравнения (1) справедливы следующие результаты.
Теорема 14. Уравнение

u00 ? ? e2u ?u = 0 (37)
Условная инвариантность нелинейного волнового уравнения 279

при условии (28) инвариантно относительно расширенной алгебры Пуанкаре
?
AP (1, n + 1) с базисными элементами p0 , pa , pn+1 , J0a , J0n+1 , Jab , Jan+1 , D,
заданными формулами (27).
Теорема 15. Уравнение

u00 ? ? e2u ?u = n(u0 th x0 + 1) (38)

при условии (28) инвариантно относительно конформной алгебры AC(1, n) с
базисными операторами p0 , pa , J0a , Jab , D, K0 , Ka алгебры (27).
Замечание 3. Наличие бесконечномерной алгебры инвариантности в уравнения

u00 ? ?[f (u)?u] = 0 (39)

при условии (3) позволяет получить следующую формулу размножения решений.
Если u = W (x0 , x) — решение системы уравнений (3), (39), то

?(u) = ? x0 f 1/2 (u), x (40)

— также решение данной системы при произвольной гладкой функции ?(u), где
функция ? (y0 , x) находится из уравнения

? = W y0 f ?1/2 (? ), x , (41)

a y0 = x0 f 1/2 (u).
Например, u = (?x)?1 (?0 x0 ? 1) — решение системы (3), (39) при ?0 = ?2 и
2

f (u) = u?2 . Из уравнения ? = (?x)?1 (?0 y0 ? ?1) находим ? = (?0 x0 ??x)?1 . Тогда
?(u) = u(?0 x0 ? udx)?1 или ?(u) = ?0 x0 ? udx — решение системы уравнений
(3), (39) (f (u) = u?2 ) при произвольной гладкой функции ?(u).

1. Ames W.F., Lohner R.J., Adams E., Group properties of utt = [f (u)ux ]x , J. Non-Linear Mechanics,
1981, 16, № 5–6, 439–447.
2. Шульга М.В., Симметрия и некоторые частные решения уравнения Даламбера с нелинейным
условием, в сб. Теоретико-групповые исследования уравнений математической физики, Киев,
Ин-т математики АН УССР, 1985, 36–38.
3. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в сб. Симметрия и
решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1987, 4–16.
4. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
5. Фущич В.И., Серов Н.И., Чопик В.И., Условная инвариантность и нелинейные уравнения те-
плопроводности, Докл. АН УССР, Сер. А, 1988, № 9, 17–20.
6. Фущич В.И., Серов Н.И., Условная инвариантность и точные решения нелинейного уравнения
акустики, Докл. АН УССР, Сер. А, 1988, № 10, 28–33.
7. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
8. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
9. Olver P., Application of Lie groups to differential equations, New York, Springer, 1986, 497 р.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 280–283.

Негрупповая симметрия некоторых
нелинейных волновых уравнений
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ
Non-group symmetry of some nonlinear wave equations is investigated. These sym-
metries are used to construct formulas of generating solutions of equations in question.

К настоящему времени детально исследована симметрия линейных и нелиней-
ных волновых уравнений относительно непрерывных групповых (лиевских) пре-
образований (см. [1–3] и цитированную там литературу). Однако указанные выше
преобразования далеко не исчерпывают всевозможные преобразования инвариан-
тности дифференциальных уравнений. Так, например, преобразования C-, P -, T -
инвариантности линейных волновых уравнений квантовой механики, найденные
в [3], не являются непрерывными. В [4] отмечено, что волновое уравнение
2u + ?(x? x? )?1 u = 0 (1)
инвариантно относительно преобразований инверсии
xµ > xµ = xµ (x? x? )?1 , u > u = ux? x? ; (2)
µ, ? = 0, 3,
не образующих группу. В формулах (1), (2) и везде ниже по повторяющимся ин-
дексам предполагается суммирование. Преобразования (2), как и лиевские, дают
возможность размножать решения уравнения (1). Это свойство очень важно для
нелинейных уравнений, для которых не имеет место принцип линейной суперпо-
зиции. Следует отметить, что негрупповая и дискретная симметрия нелинейных
дифференциальных уравнений мало изучена.
В данной работе исследованы негрупповые и дискретные симметрии уравне-
ний Монжа–Ампера, эйконала, Борна–Инфельда, Лиувилля, Гамильтона–Якоби,
нелинейных уравнений теплопроводности, акустики, д’Аламбера и Шредингера.
Найденные преобразования использованы для размножений решений данных урав-
нений.
Рассмотрим сначала одномерное уравнение Монжа–Ампера
u00 u11 ? u2 = 0, (3)
01

?2u
где u = u(x), x = (x0 , x1 ), uµ? = ?xµ ?xµ ; µ, ? = 0, 1.
Теорема 1. Уравнение (3) инвариантно относительно дробно-линейных пре-
образований вида
?0 x0 + ?1 x1 + ?2 u + ?3
x0 > x0 = ,
?0 x0 + ?1 x1 + ?2 u + ?3
(4)
?0 x0 + ?1 x1 + ?2 u + ?3
x1 > x +1 = ,
?0 x0 + ?1 x1 + ?2 u + ?3
Доклады Академии наук УССР, 1991, № 9, C. 45–49.
Негрупповая симметрия некоторых нелинейных волновых уравнений 281

?0 x0 + ?1 x1 + ?2 u + ?3
u>u =
?0 x0 + ?1 x1 + ?2 u + ?3

где ? = (?0 , ?), ? = (?0 , ?), ? = (?0 , ?), ? = (?0 , ?) — произвольные постоянные
линейно независимые векторы.
Доказательство теоремы сводится к проверке соотношения
2 2
?2u ?2u ?2u ?2u ?2u ?2u
? ?
=? ,
?x2 ?x2 (?x0 )2 (?x1 )2
?x0 ?x1 ?x0 ?x1
0 1

где ? = ?(x0 , x1 , u , ?, ?, ?, ?) — некоторая функция.
Очевидно, что преобразования (4) содержат в качестве подмножества лиевские
преобразования [5]. Кроме того, они содержат преобразования R(x0 , x1 , u)

> x0 x1 > x1 = x1 , u > u = u;
R0 : x0 = x0 ,
> x0 = ?x0 , x1 > x1 = x1 , u > u = u;
R1 : x0
> x0 x1 > x1 = ?x1 , u > u = u;
R2 : x0 = x0 ,
> x0 x1 > x1 = x1 , u > u = ?u;
R3 : x0 = x0 ,
(5)
> x0 = ?x0 , x1 > x1 = ?x1 , u > u = u;
R4 : x0
> x0 = ?x0 , x1 > x1 = x1 , u > u = ?u;
R5 : x0
> x0 x1 > x1 = ?x1 , u > u = ?u;
R6 : x0 = x0 ,
> x0 = ?x0 , x1 > x1 = ?x1 , u > u = ?u;
R7 : x0

преобразования годографа H(x0 , x1 , u)

> x0 = x0 , x1 > x1 = x1 , u > u = u;
H0 : x0
> x0 = x1 , x1 > x1 = x0 , u > u = u;
H1 : x0
> x0 = u, x1 > x1 = x1 , u > u = x0 ;
H2 : x0
(6)
> x0 = x0 , x1 > x1 = u, u > u = x1 ;
H3 : x0
> x0 = u, x1 > x1 = x0 , u > u = x1 ;
H4 : x0
> x0 = x1 , x1 > x1 = u, u > u = x0 ;
H5 : x0

преобразования инверсии
1 x1 u
x0 > x0 = x1 > x1 = u>u =
J0 : , , ;
x0 x0 x0
x0 1 u
x0 > x0 = x1 > x1 = u>u = (7)
J1 : , , ;
x1 x1 x1
x0 x1 1
x0 > x0 = x1 > x1 = u>u = .
J2 : , ,
u u u
Не сложно убедиться в том, что преобразования (5) и (6) образуют дискретные
группы, а преобразования (7) группу не образуют.
Все результаты, полученные выше, обобщаются на случай многомерного урав-
нения Монжа–Ампера

(8)
det uµ? = 0,
282 В.И. Фущич, Н.И. Серов
2
где u = u(x), x = (x0 , x) ? R1+n , uµ? = ?xµ ?x? ; µ, ? = 0, n.
?u

Теорема 2. Уравнение (8) инвариантно относительно преобразований вида
?AB xB
xA > xA = (9)
,
?C xC
где A = 0, n + 1; B, C = 0, n + 2; xn+1 ? u, xn+2 ? 1, ?A = {?A0 , ?A1 , . . . , ?An+2 },
? = {?0 , ?1 , . . . , ?n+2 } — произвольные постоянные векторы образующие базис
в пространстве Rn+3 .
Ради краткости результаты, относящиеся к другим уравнениям, приведены в
табл. 1, где ?, m — произвольные постоянные, HR — группа, состоящая из пре-
образований R, H и их суперпозиций, Fi (x0 , u) — произвольные гладкие функции,
i = 1, 7.
Таблица 1
Уравнение Преобразование инвариантности
xA = xA (xB xB )?1
1 ? u? u ? = 0
v v
2x0 x 2u x0 u
? x2

<< Предыдущая

стр. 66
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>