<< Предыдущая

стр. 67
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(?u)2
1
,x = ,u = ,?=
u0 + =0 x0 =
2m
? ? m? m
n+3 n?1
xµ = xµ (x? x? )?1 ,u = u(x? x? ) 2
2u = ?u n?1 , n = 1
xµ = xµ (x? x? )?1 , u = u + 2 ln x? x? , µ, ? = 0, 1
u00 ? u11 = ? exp u
u00 = x?2 ?u + ?u?3 x0 = x?1 , x = x, u = ux?1
0 0 0
x0 = x?1 , x = x, u = ux?1
u4 u00 = ?u + ?u 0 0
x0 = x?1 , x = x, u = ux?1
u00 = ?(u?4 ?u) + ?u?3 0 0
4 n?2
x0 = x0 , x = x(x2 )?1 , u = u(x2 )
u00 = u 2?n ?u, n = 2 2

4 n?2
x0 = x0 , x = x(x2 )?1 , u = u(x2 )
?u
= 0, M = m|u| n?2
iu0 + 2
2M (u)
4 n?2
u0 = ? u? n+2 ?u x0 = x0 , x = x(x2 )?1 , u = u(x2 ) 2


1 + u? u ? = 0 R(x0 , x, u), H(x0 , u), H(x), HR(x)
(?u)2
1
u0 + =0 R(x0 , x, u), H(x0 , u), H(x), HR(x)
2m
? u? u ? =
1 0 R(x0 , x, u), H(x, u), HR(x, u)
(1 ? u? u )2u + u u uµ? = 0
? µ?
R(x0 , x, u), H(x, u), HR(x, u)
u? u? = F1 (x0 , u) R(x), H(x), HR(x)
u0 + F2 (x0 , u)?u = F3 (x0 , u) R(x), H(x), HR(x)
iu0 + F4 (x0 , u)?u = F5 (x0 , u) R(x), H(x), HR(x)
u00 + F6 (x0 , u)?u = F7 (x0 , u) R(x), H(x), HR(x)

В справедливости результатов, приведенных в табл. 1, можно убедиться непо-
средственной проверкой. Например, при xA > xA = xA (xB xB )?1
?u ?u ?u
= ? ?1 1 ?
1? ,
?x? ?(x? )
?x?

где ? = xA (xA ) ? 2u x? ?x? ? u .
?u

Преобразования инвариантности, полученные выше, мы применили для раз-
множения решений соответствующих уравнений. Все эти результаты сведены в
Негрупповая симметрия некоторых нелинейных волновых уравнений 283

табл. 2, где f (x) — известное, а u = u(x) — новое решения указанных уравне-
ний. Кроме формул, приведенных в табл. 2, справедливы формулы размножения
решений при помощи преобразований из групп R, H, HR. Например,
u(x0 , x1 , x2 , x3 ) = f (x0 , ?x1 , x2 , x3 ),
u(x0 , x1 , x2 , x3 ) = f (x0 , x2 , x1 , x3 ),
u(x0 , x1 , x2 , x3 ) = f (x0 , x2 , ?x1 , x3 ).

Таблица 2
Уравнение Формула размножения решений
?n+1B xB ?µB xB
det uµ? = 0 =f
?C xC ?C xC
u x
1 ? u? u? = 0 =f
? ? u2 ? ? u2
v x? x x? x
v
2u 2x0 x x0 u
? x2
(?u)2
1
,?=
u0 + =0 =f ,
2m
m? ? ? m
x
n+3 1?n
u = (x? x? ) 2 f
2u = ?u n?1 , n = 1
x? x?
x
? 2 ln x? x?
u00 ? u11 = ? exp u u=f
x? x?
u = x0 f (x?1 , x)
u4 u00 = ?u + ?u 0

u = x0 f (x?1 , x)
u00 = ?(u?4 ?u) + ?u?3 0
x
2?n
4
u = (x2 )
u00 = u 2?n ?u, n = 2 2 f x0 ,
x2
x
2?n
4
u = (x2 ) 2 f x0 , 2
?u
= 0, M = m|u| n?2
iu0 + 2M (u)
x
x
2 ? n+2
4
u0 = ? u n+2 ?u u = (x ) 2 f x0 , 2
x
u00 = x?2 ?u + ?u?3 ?1
u = x0 f (x0 , x)
0




1. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, D. Reidel, 1987,
214 p.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990, 400 с.
4. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
5. Фущич В.И., Серов Н.И., Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения
Монжа–Ампера, Докл. АН СССР, 1983, 273, № 3, 543–546.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 284–287.

Об условной симметрии обобщенного
уравнения Кортевега-де Фриза
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, Т.К. АМЕРОВ
Lie symmetry of the generalized Korteweg-de Vries equation is studied under k = 1
as well as conditional symmetry under ? k = 0. The obtained operators of conditi-
onal symmetry are used to find ans?tze reducing the equation to ordinary differential
a
equations and to construct exact solutions.

Обобщим уравнение Кортевега-де Фриза (КДФ)
u0 + uu1 + u111 = 0
следующим образом:
u0 + f (u)uk + u111 = 0, (1)
1
3
где u = u(x), (x0 , x1 ), uµ = ?xµ = ?µ u, µ = 0, 1, u111 = ? u , k = const.
?u
?x3
1
Групповые свойства уравнения (1) при k = 1 хорошо известны (см., напр., [1]).
В сообщении исследована лиевская симметрия уравнения (1) при k = 1, а также
условная симметрия уравнения (1) при произвольном k. Полученные операторы
условной инвариантности используются для нахождения анзацев, редуцирующих
уравнение (1) к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ), а также
для построения точных решений.
Лиевская симметрия.
Теорема 1. Базисные элементы максимальной алгебры инвариантности
(МАИ) уравнения (1) при k = 1 состоят из следующих операторов:
? k = 1, ? f (u) : P 0 = ? 0 , P1 = ? 1 ;
k = 3, ? f (u) : P0 , P1 , D1 = 3x0 ?0 + x1 ?1 ;
? k = 1, f (u) = u?2 : P0 , P1 , D2 = 3x0 ?0 + x1 ?1 + u?u ;
? k = 1, f (u) = eu : P0 , P1 , D = 3x0 ?0 + x1 ?1 + (k ? 3)?u ;
k?3
? k = 1, f (u) = ? = const : P0 , P1 , ?u , D = 3x0 ?0 + x1 ?1 + u?u ;
k?1
k = 3, f (u) = u?2 : P0 , P1 , D1 = 3x0 ?0 + x1 ?1 ,
D2 = 3x0 ?0 + x1 ?1 + u?u .
Доказательство этой теоремы проводится методом Ли [2].
Условная инвариантность.
Теорема 2. Уравнение (1) k = 1 Q-условно инвариантно относительно опера-
тора Галилея
(2)
Q = x0 ?1 + ?(x1 , u)?u ,
Доклады Академии наук УССР, 1991, № 12, C. 15–18.
Об условной симметрии обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза 285

если
v 2v u
f (u) = ?1 u + ?2 , ?(u) = u; f (u) = ?1 ln u, ?(u) = ;
?1 ?1
v
1 ? u2
f (u) = ?1 arcsin u + ?2 , ?(u) = ; f (u) = ?1 Arsh u + ?2 ,
?1
v
1 + u2 1
?(u) = ; f (u) = ?1 u, ?(u) = ,
?1 ?1

где ?1 , ?2 — произвольные постоянные.
Доказательство. Уравнение (1) при k = 1 условно инвариантно относительно
оператора (2), если

3
? 0, (3)
Q[u0 + f (u)u1 + u111 u0 + f (u)u1 + u111 = 0
Qu = 0

3
где Q — третье продолжение оператора Q, Qu = x0 u1 ? ?. Расщепив (3) до
различным степеням x0 , получим систему определяющих уравнений

f ?1 + ?111 0,
?? + 3??u11 + 3?1 ?u1 + f ?2 = 0,
(4)
3?2 ?uu1 + 3??u ?u1 + 3??1 ?uu = 0,
?3 ?uuu + 3?2 ?u ?uu = 0.

Исследование системы (4) показало, что можно считать ? = ?(u). Тогда систе-
ма (4) принимает вид

(?3 ? ) = 0. (5)
f ? = 1,

Решение системы (5) задается формулами
v
v 2u
а) ?(u) = ?1 u + ?2 ; f (u) = ;
?1
(6)
?1/2
2 1/2 2
б) ?(u) = (c1 u + c2 ) ; f (u) = (c1 u + c2 ) du + c3 ,

где ?1 , ?2 , ci , i = 1, 3 — произвольные постоянные.
Вычисляя интеграл в формулах (6) в зависимости от постоянных c1 , c2 , полу-
чим утверждение теоремы.
Если рассматривать оператор галилеевского типа

Q = xm ?1 + ?(x1 , u)?u , (7)
m = const,
0


то справедлива более общая
286 В.И. Фущич, Н.И. Серов, Т.К. Амеров

Теорема 3. Уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора (7)
если
1
?k
v
k?1
2?k 1?k
1) f (u) = ?1 u + ?2 u , ?(u) = u;
2 2
2
1
?(u) = (k?1 )? k u;
f (u) = (?1 ln u)u1?k ,
2)
1v
1?k
?(u) = (k?1 )? k 1 ? u2 ;
f (u) = (?1 arcsin u + ?2 )(1 ? u2 )
3) ,
2

1v
1?k
?(u) = (k?1 )? k 1 + u2 ;
f (u) = (?1 Arsh u + ?2 )(1 + u2 )
4) ,

<< Предыдущая

стр. 67
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>