<< Предыдущая

стр. 68
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2

1
?(u) = (k?1 )? k ,
5) f (u) = ?1 u,
1
где m = k , k = 0, ?1 , ?2 — произвольные постоянные.
6) При k = 3 уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора
1
Q = (3?x0 ) 3 ?1 + ?(u)?u , ? = const,

если f (u) = F (u)??2 (u), где F (u) определяется выражением F = ? (?? ) ,
?
?
?(u) — произвольная функция.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.
Операторы условной инвариантности из теоремы 3 используем для нахождения
анзацев, редуцирующих уравнение (1) к ОДУ. Эти результаты сведены в таблицу.

f (u) Анзацы Редуцированные ОДУ
2
1
?k
2?k 1?k
?
x1 k?1 x0 ?2
1 + ?2 u u= + ?(x0 ) ?+
? + =0
?1 u 2 2
2 2 kx0 k?1 x0
?1
1
(?1 ln u)u1?k u = e?(x0 )+(k?1 x0 ) k ?
2 ?+
? + = 0
x1
(k?1 x0 )3/k
kx0
1?k 1
u = sin ?(x0 ) + (k?1 x0 )? k x1
(?1 arcsin u + ?2 )(1 ? u2 ) ? ?
3 ? + kx + k? 2x ?
?
2
0 10
1
? =0
(k?1 x0 )3/k
1?k 1
u = sh ?(x0 ) + (k?1 x0 )? k x1
(?1 Arsh u + ?2 )(1 + u2 ) ? ?
4 ? + kx + k? 2x +
?
2
0 10
1
+ =0
(k?1 x0 )3/k
1
u = ?(x0 ) + (k?1 x0 )? k x1 ?
5 ? + kx = 0
?
?1 u
0
2
x1 +?(x0 )
? = c1 (3?x0 )? 3
F (u)??2 (u),
6 ?(u) = ?
,
1
(3?x0 ) 3
1
где F = ? (?? ) (u) = ?(u) c1 = const
?
где ?
?



Проинтегрировав редуцированные уравнения и подставив найденую функцию ?
в соответствующий анзац, получим точное решение уравнения (1) с соответству-
ющей нелинейностью f
2
1
?k
x1 k?1 x0 ?2
?1
?
?x0 k
1) u= + ;
2 2 ?1
3
k(k?1 )? k ? k +1 ?2
3
?1 1
+ ?x0 k + (k?1 x0 )? k x1 , k = 2,
u = exp ? ?
2) x0
k?2 ?1
Об условной симметрии обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза 287

?2
?1 ?1
3 1
u = exp ?(2?1 )? 2 x0 + ?x0 2 + (2?1 x0 )? k x1 , k = 2;
ln x0 ?
2

?1
3 3 1
k(k?1 )? k ? k +1 ?k 1
+ (k?1 x0 )? k x1 , k = 2,
? ?2
3) u = sin x0 + ?x0
k?2 ?1

3 ln x0 ?2 ?1 1
u = sin (2?1 )? 2 v ? + ?x0 2 + (2?1 x0 )? 2 x1 , k = 2;
x0 ?1
3
k(k?1 )? k ? k +1 ?2
3
?1 1
+ ?x0 k + (k?1 x0 )? k x1 , k = 2,
u = sh ? ?
4) x0
k?2 ?1
3 ln x0 ?2 ?1 1
u = sh ?(2?1 )? 2 v ? + ?x0 2 + (2?1 x0 )? 2 x1 , k = 2;
x0 ?1
1
?k 1
+ x1 (k?1 x0 )? k ;
5) u = ?x0
1
?(u) = x1 (3?x0 )? 3 + c,
6)

где ?, c — произвольные постоянные.

1. Олвер П., Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Мир, 1989.
2. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978.
3. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решена нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 288–293.

Условная симметрия, редукция и точные
решения нелинейного волнового уравнения
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, В.К. РЕПЕТА
Conditional invariance is studied and the classes of exact solutions of nonlinear wave
equation u00 ? (F (u)u1 )1 = 0 are constructed. The results are generalized for n-di-
mensional case.

Рассмотрим нелинейное волновое уравнение
u00 ? (F (u)u1 )1 = 0, (1)
2
где u = u(x) ? R1 , x = (x0 , x1 ) ? R2 , uµ = ?xµ , uµ? = ?xµ ?x? , µ, ? = 0, 1, F (u) —
?u ?u

произвольная дифференцируемая функция.
Групповые свойства уравнения (1) методом С. Ли детально исследованы в [1].
Ниже исследуется условная инвариантность уравнения (1). Операторы условной
симметрии [2–4] использованы для нахождения анзацев, редуцирующих уравне-
ние (1) к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это позволило найти
некоторые семейства точных решений уравнения (1).
Теорема. Уравнение (1) Q-условно инвариантно относительно оператора
(2)
Q = A(x, u)?0 + B(x, u)?1 + C(x, u)?u ,
если функции A(x, u), B(x, u), C(x, u) и F (u) удовлетворяют следуюющей си-
стеме дифференциальных уравнений:
Случай 1. A = 0, D ? F ? B 2 . Не умаляя общности можно положить A = 1.
(Bu D?1 )u = 0,
F (C1 D?1 )1 ? (C0 D?1 )0 ? C 2 (Cu D?1 )u ? C(C0 D?1 )u ? C(Cu D?1 )0 +
+ D?2 {2F (B0 C1 ? B1 C0 + C[Bu C1 ? B1 Cu ]) ? BCC1 F } = 0,
?
D2 Cuu + D{(C F )u + 2B(Bu Cu ? Buu C) ? 2F B1u ? 2BB0u } ?
(3)
?
? CDu + 2BB0 Du + 2BB1 (B F ? 2Bu F ) = 0,
2

D{B00 + 2(B0 C)u + 2(BC0u ? Bu C0 ) + 2(C1 F )u ? B11 F +
+ Buu C 2 + 2BCCuu } ? Du {B0 C + Bu C 2 + 2BCCu } +
?
+ B{B1 C F + 2B0 Bu C + 4BB0 Cu + 4B1 Cu F ? 2B 2 F } = 0.
1

Случай 2. A = 1, B = F 1/2
? C0 + CCu ? BC1 = 0; (4)
а) BC + 2BCu = 0,

BC + 2BCu = 0, C0 + CCu ? BC1 = 0,
б)
? ?
[BC 2 + 2B(BC1 + CCu ) + 2B(C0u + CCuu + BC1u )] ?
(5)
? (C0 + CCu ? BC1 ) =
?
= [C00 + C 2 Cuu ? B 2 C11 + 2CC0u ? 2BCC1 ](BC + 2BCu ).
Доклады АН УССР, 1991, № 5, С. 29–34.
Условная симметрия нелинейного волнового уравнения 289

Случай 3. A = 0, B = 1
Cuu = 0, C0u = 0,
(6)
? ?
C00 ? C 3 F ? (3CC1 + 2C 2 Cu )F ? (C11 + 2CC1u )F = 0.
Доказательство теоремы основано на использовании критерия Q-условной ин-
вариантности дифференциальных уравнений, описаного в [2–4]. Ввиду громоздко-
сти выкладок доказательство теоремы не приводим.
Общее решение системы (3)–(6), за исключением случая (4), нам найти не
удалось. При конкретных значениях функции F (u) построены частные решения
этих систем, которым соответствуют операторы Q. В табл. 1 приведены явные
виды операторов Q, анзацы, редуцированные уравнения.
В табл. 1 и ниже введены следующие обозначения P2 (z) = a1 z 2 + a2 z + a3 —
произвольный многочлен второй степени; h(z) — решение уравнения h = ?1 hk+1 ;
W (z) — функция Вейерштрасса, являющаяся решением уравнения W = 6W 2 ;
?(z) — функция Ламе, удовлетворяющая уравнению ? = W ?; ?(z) — эллиптиче-
ская функция, удовлетворяющая уравнению ? = 2? 3 ; ?(u) — решение уравнения
Риккати ? + ?3 ? 2 = ?3 F ; H 4 (u) — функция которая определяется из условия
v v a1
а) H ?1 + ? arcth ?H = a0 u + a2 , ? = > 0;
a0
v v
б) H ?1 + ?? arctg ??H = a0 u + a2 , ? < 0;
?1 = (a0 x0 + a1 x1 ) exp ? H(u)(a0 + a1 H 2 (u))du ; ? — новая неизвестная фун-
кция; ?i , ai , k — произвольные постоянные, ?3 = 0, k = ?1, i = 0, 3.
Интегрируя редуцированные уравнения и подставляя найденную функцию ?
в соответствующий анзац, получим решение уравнения (1), которые приведены в
табл. 2.
Здесь ?(z) = ?(z±?) exp{?z?(?)}, где ? определяется из условия W (?) = 0; ?,
?(z)
? — функция Вейерштрасса.
Замечание. Найденные решения можно размножить используя операторы лиев-
ской инвариантности уравнения (1). Формулы размножения решений в зависимо-
сти от вида функции F (u) будут следующее:
а) F (u) — произвольная гладкая функция
u = f (?1 x0 + a0 , ?1 x1 + a1 );
б) F (u) = eu
u = f (?1 x0 + a0 , ?2 (?1 x1 + a1 )) ? 2 ln ?2 ;
в) F (u) = uk
?k k
u = ?2 f (?1 x0 + a0 , ?2 (?1 x1 + a1 ));
(7)
F (u) = u?4/3
г)
?1 x1 + a1
?2
u = (1 ? ax1 )?3 ?2 f ?1 x0 + a0 , ;
4/3
? a(?1 x1 + a1 )
?2
F (u) = u?4
д)
?1 x0 + a0
?2
u = (1 ? ax0 )?1 ?2 f , ?1 x1 + a1 ,
?2 ? a(?1 x0 + a0 )
4
Таблица 1
290

Редуцированные
F (u) Оператор Анзац
уравнения
0=0
F (u) ? C 1 (R) ?0 + (F (u))1/2 ?1 (F (u))1/2 x0 ? x1 + ?(u) = 0
?
?0 + ?(u)?1 ?(u)x0 ? x1 + ?(u) = 0 ? = a1 (F ? ? 2 )

<< Предыдущая

стр. 68
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>