<< Предыдущая стр. 69(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
? = ??1
?
?0 + (F (u))1/2 ?1 + ?1 [(F (u))1/2 + ?2 ]?1 ?u ?1 x0 ? ((F (u))1/2 + ?2 )du ? 2
? ? ?1 x1 ? (F (u) + ?2 (F (u))1/2 )du = 0
eu ?=0
?
x 1 ?1 + ?u u = ln x1 + ?(x0 )
eu ) cos?2 ?=2
?
?0 + 2 tg x0 ?u = ?(x1 x0
?2
eu ?=2
?
?0 ? 2 cth x0 ?u = ?(x1 ) sh x0
?
eu = e?(x0 ) P2 (x1 )
P2 (x1 )?1 + P2 (x1 )?u ? = P2 e?
x0 x0 u/2
? e
sin ?=0
?
? x1 = ? cos2 x0 eu/2
?0 + eu/2 ?1 + tg 4u 2 2 4
x0
eu/2 sh x0 + x1 = ? eu/2 sh2 x0 ?=0
?
?0 + eu/2 ?1 ? cth 4 ?u 2 2 4
uk eu/2 ? ?=0
?
? 4x?1 ?u
?0 + 1 x0 eu/2 + x1 + ? x2 eu/2 = 0
0
0
u k+1 = x ?k+1 (x ) ?=0
?
(k + 1)x1 ?1 + u?u 1 0
uk+1 = hk+1 (x ?
h(x0 )?0 + h (x0 )u?u 0 )?(x1 ) ? = ?1 ?1/(k+1)
?=0
?
?0 + uk/2 ?1 ? 4u(kx0 )?1 ?u x1 + uk/2 x0 + ?(x4 uk ) = 0
0
u ? = x2
?
? 1 + x 0 ?u u = x0 x1 + ?(x0 ) 0
?
? ? 2W ? ? ?2 = 0
?1 + [2W (x0 )x1 + ?(x0 )]?u u = x2 W (x0 ) + ?(x0 )x1 + ?(x0 )
1
1/2
?
4? ? 15W ? = 0
2x1 ?1 + [u + 3W (x0 )x2 ]?u
1 1
u = x2 W (x0 ) + x1 ?(x0 )
x2 ? ? 2? = a2 x8
x2 ?1 + [2x1 + a1 x5 ]?u u = x?2 x2 + a1 x3 x1 + ?(x0 )
0 0 1 0 0? 10
0
? = 12?1/2
?
W (x0 )?0 + W (x0 )u?u u = W (x0 )?1/2 (x1 )
1/2
4x2 ? ? 15? = 0
2x2 x1 ?1 + [ux2 + 3x2 ]?u
0 0 1 1 0?
u = x?2 x2 + x1 ?(x0 )
0
u?1/2 2? = x2
?
?0 + x1 u1/2 ?u 2u1/2 = x0 x1 + ?(x1 ) 1
? = 12?1/2
?
W (x1 )?1 + 2W (x1 )u?u u1/2 = W (x1 )?1/2 (x0 )
?
? ? 2W ? = 0
?0 + 4W (x1 )x0 u1/2 ?u u1/2 = x2 W (x1 ) + ?(x1 )
0
a1
u1/2 x2 x?2 x x3
= +
x 2 ?0 + [4x0 + a1 x5 ]u1/2 ?u + ?(x1 ) 4x2 ? ? 8? = a2 x1
1 1 1? 1
01 2 01
В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета
Продолжение табл. 1
Редуцированные
F (u) Оператор Анзац
уравнения
1/2 3/2
u?2/3 4x2 ? ? 15? = 0
x0 x2 ?0 + [u1/2 x2 + 3x2 ]u1/2 ?u + ?(x1 ))
1 1 0 1 1?
u1/2 x2 = x0 (x0
x2 ? ? 2? = 0
x1 ?0 + 3u2/3 ?u u1/3 = x0 x?1 + ?(x1 ) 1?
1
?
? ? 2? 2 ? = 0
?0 + ?(x1 )u2/3 ?u u1/3 = x0 ?(x1 ) + ?(x1 )
? = a?1/3
?
?(x1 )?1 ? 3? (x1 )u?u u1/3 = ? ?1 (x1 )?1/3 (x0 )
1
x1 x1
u?1 ? ?=
?
?1 + u tg u = ?(x0 ) cos?2
2u 2 2
1
?
u cth x1 ?u
?1 ? u = ?(x0 ) sh?2 x1
2 2
? = ?2
?
u = P2 (x0 )e?(x1 ) ? = 2a1 e?
P2 (x0 )?0 + P2 (x0 )u?u
u2 x2 ? ? 2? = 0
x 0 ? 1 + ?u u = x?1 x1 + ?(x0 ) 0?
0
?
? ? 2? 2 ? = 0
?1 + ?(x0 )?u u = ?(x0 )x1 + ?(x0 )
x30
?=0
?
= ?(2u ? x2 )
?0 + u?1 + x0 ?u ux0 ? x1 ? 0
3
eu ?2 eu
+ )e?(x0 ) ?=0
?
(x1 ± ?x0 )?1 + ?u = (x1 ± ?x0
? = 2e?
?
(x1 ± ?x0 )?1 + 2?u eu = (x1 ± ?x0 )2 e?(x0 )
Условная симметрия нелинейного волнового уравнения

u?4/5 ?
2W (x1 )?1 ? 5W (x1 )u?u u1/5 = ?1/5 (x0 )W ?1/2 (x1 ) ? = a1 ?1/5
u4 ?
?2W (x0 )?0 + W (x0 )u?u u5 = W ?5/2 (x0 )?(x1 ) ? = a1 ?1/5
u?4/3 0=0
?0 + u?2/3 ?1 ? 3x?1 u1/3 ?u x0 + x1 u2/3 + ?(x1 u1/3 ) = 0
1
u?4 0=0
?0 + u?2 ?1 + x?1 u?u x0 + x1 u2 + ?(ux?1 )u2 = 0
0 0
H 4 (u) H 3 (u)? H(u) exp H 2 (u))du 0=0
+ ?u
(a0 x0 + a1 x1 )[H(u)?0 + 1] x0 ? ?1 H(u)(a0 + a1 du = ?(?1 )
291
292 В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета

Таблица 2
F (u) Решение уравнения
F (u)du ? ?2 u + ?1 (?2 x0 ? x1 ) = 0, ?(u) = x?1 x1 , F 1/2 (u)x0 ? x1 + ?(u)
F (u) ? C 1 (R) =0
2 0
eu = ex0 x1 , eu = (x2 + a1 ) cos?2 x0 , eu = (x2 + a1 ) sh?2 x0
eu 1 1
k+1 = xk+1 x
uk u 1
0
4
1/2 5/2 ?3/2
u = x0 x1 + 12 + a1 , u = W (x0 )x2 , u = x?2 x2 + x1 (a1 x0 + a2 x0
x0
),
u 1 1
0
2
u = x?2 x2 + 3a1 x1 x3 + 6 x8 + a2 x?1 + a3 x2 , u = W (x0 )x2 + ?(x0 )
a1
1 0 0 0 1
0 0
x4
u?1/2 u1/2 = W (x1 )x2 , 2u1/2 = x0 x1 + 24 + a1 , u1/2 = W (x1 )x2 + ?(x1 ),
1
0 0
1/2 = x1/2 x?2 (x3/2 + a x5/2 + a x?3/2 ),
u 11 21
0 1 0
2
u1/2 = x2 x?2 + 3a1 x0 x3 + 6 x8 + a2 x?1 + a3 x2
a1
01 1 1 1
1
1/3 = x x?1 + x2 , u1/3 = x ?(x )
u?2/3 u 01 0 1
1
2 + a ) cos?2 x , u = ex1 x , u = (?x2 + a ) sh?2 x
u?1 u = (x0 1 1 0 1 1
0
1/3
u = x?1 x1 + x2 , u = ?(x0 )x1 , u = x1
u2 0
0
eu = ex0 (x1 ± ?x0 ), 2eu = (x1 ± ?x0 )2 cos?2 x0 , 2eu = (x1 ± ?x0 )2 sh?2 x0
eu + ?2
u?4/5 u = [W (x1 )]?5/2 x0
u4 u5 = [W (x0 )]?5/2 x1
u?4/3 x0 + x1 u2/3 + ?(x1 u1/3 ) = 0
x0 + x1 u2 + ?(x?1 u)u2 = 0
u?4 0
H 4 (u) H(u)(a0 + a1 H 2 (u))du du = ?(?1 )
x0 ? ?1 H(u) exp

где a, a0 , a1 , ?1 , ?1 — произвольные групповые параметры, ?1 = 0, ?2 = 0,
f (x0 , x1 ) — известное решение уравнения (1).
Результаты, приведенные выше, обобщены на случай произвольного количества
независимых переменных x = (x0 , x) ? R1,n в уравнении (1), т.е. для уравнения
u00 ? ?[F (u)?u] = 0. (8)
Операторы вида
Q = ?0 + (F (u))1/2 ?1 + C(x0 , x1 , u)?u (9)
Q = ?1 + C(x0 , x1 , u)?u ,
приведенные в табл. 1, обобщаются следующим образом:
Qa = ?a [?0 + C(x0 , ?x, u)?u ] + (F (u))1/2 ?a ,
Qa = ?a + ?a C(x0 , ?x, u)?u ,
где ? = {?1 , ?2 , . . . , ?n } — произвольный постоянный единичный вектор; a = 1, n.
В анзацах, соответствующих операторам (9), нужно заменить x1 на ?x. Редуци-
рованные уравнения при этом не изменяются.
Анзацы, полученные при помощи операторов Q = ?0 + C(x0 , x1 , u)?u для мно-
гомерного уравнения (8) имеют вид

(10)
F (u)du = f (x0 )?(x) + g(x0 , x),

где f (x0 ) и g(x0 , x) — заданные функции, ?(x) — новая неизвестная функция.
Подставляя (10) в (8), имеем
1
??g + F ?1 (f ? + g00 ) ? F F ?3 (f?? + g0 )2 .
? ? (11)
?? =
f
Условная симметрия нелинейного волнового уравнения 293

Если правая часть уравнения (11) является функцией только от ? и x, то уравнение
принимает вид
(12)
?? = G(x, ?)
и становится редуцированным для уравнения (8). В частности, при
a) F (u) = uk , k = ?1, f (x0 ) = hk+1 (x0 ), g(x0 , x) = 0, редуцированное уравне-
ние будет нелинейным уравнением Лапласа
?? = ??1/(k+1) ; (13)
б) F (u) = u?1 , f (x0 ) = 1, g(x0 , x) = ln v(x0 ), v(x0 ) — решение уравнения
v = ?, ? = const. В этом случае (12) — уравнение Лиувилля
?
(14)
?? = ? exp ?;
в) F (u) = exp u, f (x0 ) = exp w(x0 ), g(x0 , x) = 0, w(x0 ) — решение уравнения
w = ? exp w, редуцированное уравнение — линейное уравнение Лапласа
?
(15)
?? = ?.
Интересно отметить, что анзац
u1/3 = u1 (x) + u2 (x)x0 , (16)
где u1 (x) и u2 (x) — новые неизвестные функции, редуцирует уравнение
u00 = ? u?2/3 ?u (17)
к системе двух уравнений
?u1 = 2u1 (u2 )2 , ?u2 = 2(u2 )3 , (18)
а анзац
x2
= u (x) + u (x)x0 + u (x) 0 ,
1/2 1 2 3
(19)
 << Предыдущая стр. 69(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>