<< Предыдущая

стр. 7
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2 2ut ? m x2 + x2 + x2 2ut ? m x2 + x2 + x2
1 2 3 1 2 3
= ?(?), ?= ,
mt ? u 1/2
m (x2 + x2 + x2 )
1 2 3
(4 + ??)?2 + 4??? + 4?2 (? + 1) = 0.
? ?

4) P0 ? K0 ? ?(K4 ? P4 ), J12 , J13 , J23 (? > 0, ? = 1):
2
2(mt ? u)2 + 2ut ? m x2 + x2 + x2 ? 1
1 1 2 3
= ?(?),
2 (x2 + x2 + x2 )
m
v
1 2 3
2ut ? m x2 + x2 + x2 ? 1
2(mt + u)
v1 2 3
? = ? arctg 2 + x2 + x2 + 1) + arctg ,
2ut ? m (x1 2(mt ? u)
2 3
(??2 ? + ? + 4)?2 + ?2 (? + 4)2 = 0.
? ?
v v
5) ?2D + J04 , ?P0 + P4 + 3G3 , K0 + K4 + 3H3 :
v v v v
v (mt + u + m 2x5 ) + 3(mt + u ? m 2x5 )x4 (mt + u ? m 2x5 )3
v v ?
63 +
m 2x3 2 2m3 x3
3 3
v v 3
3(mt + u ? m 2x5 )2 + 8m2 x4
? ?
8m6 x3
v v3
3(mt + u ? m 2x5 )2 + 8m2 x4
? 12 (mt ? u)2 + 2m2 = ?(?),
4x
4m 3
mt ? u
v , ?9[?2 ? 256(? 2 + 1)2 ]?2 + 6??? ? ? 2 ? 1 = 0.
?= ? ?
m2


1. Boyer C.P., Penafiel M.N., Conformal symmetry of the Hamilyon–Jacobi equation and quantization,
Nuovo Cim. B, 1976, 31, № 2, 195–210.
2. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ в точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
3. Олвер П., Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М., Мир, 1987, 639 с.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., The symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal
equations, Lett. Nuovo Cim., 1982, 34, № 16, 498.
5. Баранник Л.Ф., Фущич В.И., О непрерывных подгруппах конформной группы пространства
Минковского R1,n , Препринт № 88.34, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1988, 48 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 21–24.

Об одном обобщении метода С. Ли
В.И. ФУЩИЧ
Предложено обобщение метода С.Ли решения дифференциальных уравнений в част-
ных производных.

В прошлом веке С. Ли заложил идейные основы мощного метода решения
дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП). В последнее вре-
мя классические идеи С. Ли необычайно бурно развиваются как в теоретическом,
так и в прикладном направлении. Возрождение интереса к классическим подхо-
дам к ДУЧП обусловлено, видимо, тем, что существует огромное число статей и
монографий по теоремам существования, однако слишком мало работ по констру-
ктивным методам отыскания решений.
Современное математическое моделирование различных процессов квантовой
физики, оптики, акустики, электродинамики, океанологии, гидродинамики, био-
физики приводит нас к многомерным нелинейным ДУЧП, которые не могут быть
решены линейными методами. Большинство из таких нелинейных моделей не мо-
гут рассматриваться как линейные модели плюс некоторая малая нелинейная до-
бавка.
Лиевский подход к решению ДУЧП совершенно не связан с предположением
о малости нелинейных членов. Для него важно лишь то, чтобы ДУЧП обладало
нетривиальной группой инвариантности [1]. В этом случае многомерное ДУЧП мо-
жет быть редуцировано к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ),
которые, во многих важных случаях, могут быть решены. Возникают естественные
вопросы: как решить те ДУЧП, которые не обладают нетривиальной локальной
симметрией? Как обобщить метод Ли?
В настоящей работе предложено обобщение классического метода С. Ли. Идея
такого обобщения сформулирована в [2, 3].
Для конкретности рассмотрим два уравнения: нелинейное скалярное волновое
и спинорное уравнения
pµ pµ u(x) + F (u, u? , x)u = 0, (1)
?
?µ pµ ?(x) + F1 (??, x)?(x) = 0, (2)

p0 = i ?x0 , pa = ?i ?xa , ?µ — матрицы Дирака, u — комплекснозначная скалярная
? ?

функция, ? — четырехкомпонентный спинор, F , F1 — произвольные гладкие фун-
кции, x ? R(1, 3) — пространство Минковского, u? — комплексно-сопряженная
?
функция, ? — дираковски-сопряженный спинор.
1. Предположим, что уравнение (1) инвариантно относительно группы Пуанкаре
P (1, 3). В этом случае F не зависит от x [1]. Базисные элементы алгебры Пуанкаре
AP (1, 3) этой группы инвариантности имеют вид
?
Jµ? = ?µ p? ? ?? pµ , (3)
P µ = pµ = i , µ, ? = 0, 3.
?xµ
Теоретико-алгебраический анализ уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1990, C. 4–9.
22 В.И. Фущич

Лиевский алгоритм построения решений ДУЧП состоит в следующем. Реше-
ния (1) ищем в виде следующего анзаца [1, 3]:

(4)
u = f (x)?(?), ? = (?1 , ?2 , ?3 ).

Симметрийные свойства уравнения (1) дают возможность отыскать в явном
виде функции f (x) и новые переменные ?1 , ?2 , ?3 , при которых четырехмерное
уравнение (1) редуцируется к трехмерному ДУЧП для функции ?. Повторяя этот
процесс, т.е. построив анзацы вида (4) для трехмерного, а затем для двумерного
ДУЧП, приходим к ОДУ.
Идея обобщения метода Ли основана на следующем наблюдении [2, 3]. Если
не вдаваться в детали исследования групповых свойств уравнения и процесса ре-
дукции многомерного уравнения (1) к ОДУ, то метод Ли можно сформулировать
весьма кратко. Присоединим к уравнению (1) следующее уравнение:

(5)
(aµ? Jµ? + bµ Pµ )u(x) = 0,

где aµ? , bµ — произвольные константы.
Соотношение (5) является линейным ДУЧП первого порядка. Решая (5) и тре-
буя, чтобы это решение удовлетворяло уравнению (1), построим решение исходно-
го нелинейного уравнения (1). Решения уравнения (1), построенные указанным
способом, совпадут с решениями, полученными по методу Ли.
Формула (5) указывает путь для обобщения лиевского метода решения ДУЧП.
Он состоит в обобщении соотношения (5). Присоединим уравнению (1) следующее
нелинейное уравнение первого порядка:

{aµ? (x, u, u)Jµ? + bµ (x, u, u)Pµ }u(x) = F2 (x, u, u), (6)
1 1 1

где aµ? (x, u, u), bµ (x, u, u), F2 (x, u, u) — некоторые гладкие функции x, u, u =
1 1 1 1
?u ?u ?u ?u
.
?x0 , ?x1 , ?x2 , ?x3
Если существуют решения уравнения (6) при некоторых фиксированных фун-
кциях aµ? , bµ , F2 , которые удовлетворяют (1), то такие решения не могут быть
получены с помощью метода Ли. Очевидно, что решение уравнения (6) может
быть решением (1), если уравнения (1) и (6) совместны. Поэтому необходимо
исследовать совместность системы (1), (6). В общей постановке это очень трудная
проблема. Однако, при конкретном выборе aµ? , bµ , F2 эта задача может быть
решена. Так, например, если
?u
bµ (x, u, u) = (7)
aµ? = 0, , F2 = 1,
?xµ
1

задача о совместности уравнений (1) и (6) полностью решена [4] , т.е. указан
явный вид функций F , при которых система (1), (6) совместна.
2. Для спинорной системы (2), инвариантной относительно группы P (1, 3),
уравнение типа (6) имеет вид

{Aµ? (x, ?? , ?)Jµ? + Bµ (x, ?? , ?)Pµ }? = F3 (x, ?? , ?)?, (8)

где Aµ? = ?Aµ? , Bµ — матрицы.
Об одном обобщении метода С. Ли 23

В том частном случае, когда Aµ? = aµ? E, Bµ = bµ E, E — единичная матрица,
решения уравнения (8), удовлетворяющие системе (2), будут совпадать с решени-
ями, полученными по лиевскому методу. Во всех остальных случаях построенные
решения (2), с использованием уравнения (8), дают новые решения. В частности,
когда
(9)
Aµ? = Sµ? , Bµ = 0,
получим решения, которые не могут быть построены лиевским методом.
3. В этом пункте приведем несколько задач, которые автору представляются
важными для развития нелиевских методов решения ДУЧП.
3.1. Исследовать совместность и построить решения следующих скалярных
уравнений:
pµ pµ u(x) = F (u, u, 2u),
1
(10)
?1 (Jµ? u)(Jµ? u) + ?2 (pµ u)(pµ u) + ?3 (Kµ u)(K µ u) = F4 (x, u),
Kµ = 2xµ x? p? ? x? x? pµ ;

pµ pµ u = F (x, u, 2u),
1
(11)
2
?u ?u ? 2 u
?u
= F5 (x, u, u),
?4 xµ x? + ?5
?xµ ?x? ?xµ ?x? ?xµ ?x? 1

?1 , . . . , ?5 — произвольные параметры.
3.2. Исследовать лиевскую и нелиевскую симметрии уравнений
pµ pµ u(x) = F (|u|)u,
1/2 (12)
?? ?? ??
? = u? u.
= +? ,
?x0 ?xa ?xa
Рассмотреть случаи, когда параметр ? = 0 и ? = 0, F = 0 и F = |u|k , F = m2 ,
m — действительный параметр.
3.3. Исследовать совместность и построить семейства частных решений спи-
норных систем ДУЧП
?
?µ pµ ? + F1 (??)? = 0,
?
?1 (Sµ? Jµ? )? + ?2 (?Sµ? ?)Jµ? ? +
(13)
? ? ?
+ ?3 (??µ ?)Pµ ? + ?4 (??µ ?)Kµ ? = F6 (??)?,
Kµ = 2xµ x? p? ? x? x? pµ + 2Sµ? x? ;
?
p? p? ? + F7 (??, ?? p? ? · ?? p? ?)? = 0,
(14)
?
?1 (Sµ? Jµ? )? + ?2 ?µ pµ ? + ?3 ?4 ?µ pµ ? = F8 (??)?;
?
p? p? ? + F (??)? = 0,
(15)
?jµ ? ? ?
= 0, jµ = ?1 ??µ ? + ?2 ??4 ?µ ? + ?3 ?pµ ?;
?xµ
?
p? p? ? + F (??)? = 0,
(16)
? ?
??µ pµ ? = ?4 F10 (??).
24 В.И. Фущич

3.4. Исследовать локальную и нелокальную симметрию уравнений Шредингера
для двух частиц
12 12
p0 u(t, x, y) = pk + p + V (t, x, y) u(t, x, y),
2m2 k+3
2m1
(17)
? ? ?
pk = ?i pk+3 = ?i = ?i
, , k = 1, 2, 3.
?xk ?xk+3 ?yk
Потенциал V (t, x, y) удовлетворяет условиям

p2 V = ?1 V, p2 V = ?2 V, (18)
k k+3

или
?V ?V
(19)
= ?x V, = ?y V,
?t ?t
или
?2V ?2V
(20)
= ?x V, = ?y V,
?t2 ?t2
или
?V ?V ?V ?V ?V ?V
(21)
+ ?3 = 0, + ?4 = 0,
?t ?xa ?xa ?t ?ya ?ya
?1 , ?2 , ?3 , ?4 — произвольные параметры.
3.5. Исследовать симметрию псевдодифференциального уравнения

<< Предыдущая

стр. 7
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>