<< Предыдущая

стр. 70
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u
2!
u1 (x), u2 (x), u3 (x) — новые неизвестные функции, редуцирует уравнение
u00 = ? u?1/2 ?u (20)
к системе трех уравнений
?u1 = u1 u3 + (u2 )2 , ?u2 = 3u2 u3 , ?u3 = 3(u3 )2 . (21)
Анзацы (16) и (19) осуществляют редукцию (уменьшение) уравнений (17) и (20)
по независимым переменным и антиредукцию (увеличение числа функций) по
зависимым функциям. Очевидно, что такие анзацы не могут быть получены при
помощи операторов лиевской или условной симметрии.
1. Ames W.F. Lohner R.I. Group properties of utt = (f (u)ux )x , Int. J. Non-Linear Mech., 1981, 16,
№ 5/6, 439–447.
2. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн. 1987, 39, № 1, 116–123.
3. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений, в сб. Симметрия и
решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР,
1987, 4–6.
4. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 294–300.

Нелиевская симметрия и точные решения
одномерных уравнении газовой динамики
В.И. ФУЩИЧ, Н.И. СЕРОВ, В.К. РЕПЕТА
The method for investigation of the non-Lie symmetry of gas dynamics is suggested.
The non-Lie ans?tzes are used to construct exact solutions of the equations. The local
a
symmetry of nonlinear wave equation u00 = F3 (x1 )(G(u)u1 )1 is studied.

1. Нелиевская (нелокальная) симметрия линейных уравнений математической
физики изучена довольно подробно [1–3]. Термин “нелиевская симметрия”, вве-
денный в [2], означает симметрию уравнения, которая не может быть вычислена
по классическому алгоритму С. Ли. Нелокальная симметрия нелинейных уравне-
ний математической физики мало изучена. Это связано с тем, что только в редких
случаях алгоритм С. Ли дает возможность эффективно вычислять высшие симме-
трии.
В настоящей работе предложен метод исследования нелиевской симметрии и
построения нелиевских анзацев для уравнений газовой динамики.
В лагранжевых переменных одномерное адиабатическое движение газа опи-
сывается системой уравнений (см., напр., [4] и цитированную там литературу)

u1 ? u2 = 0, u2 ? u3 = 0, u3 ? F (u1 , u3 )u2 = 0. (1)
0 1 0 1 0 1
1
i
Здесь ui = ?xj , i = 1, 3, j = 0, 1, F (u1 , u3 ) = ?S/?u3 , S — энтропия, (u1 )?1 ? ? —
?u
j ?S/?u
плотность, u — скорость, u ? p — давление.
2 3

Локальная и квазилокальная симметрия (1) изучена в [4].
2. Для исследования системы (1) поступим следующим образом. Во-первых, с
помощью нелокальной замены

u1 = w11 , u2 = w01 , u3 = w00 (2)

приведем систему (1) к одному скалярному уравнению третьего порядка

w000 ? F (w11 , w00 )w011 = 0. (3)

Во-вторых, полученное уравнение (3) преобразуем при некоторых выборах фун-
кции F к нелинейному волновому уравнению второго порядка. В-третьих, исполь-
зуя локальную симметрию волнового уравнения, строим нелиевские анзацы для
исходной системы (1). В дальнейшем будем следовать этому алгоритму.
Для конкретной реализации нашего алгоритма рассмотрим несколько случаев.
?
Случай I. Пусть в (3) F = F1 (w11 ) является производной от произвольной
гладкой функции F1 относительно w11 . Интегрируя уравнение (3) по переменной
x0 , а затем дифференцируя дважды по переменной x1 , получаем

w0011 ? [F1 (w11 )]11 = 0. (4)
Доклады АН УССР, 1991, № 11, С. 27–33.
Нелиевская симметрия и точные решения уравнении газовой динамики 295

Полагая v = w11 , приходим к нелинейному волновому уравнению
?
v00 ? (F1 (v)v1 )1 = 0. (5)
Случай II. Пусть в (3) F = F2 (w00 ) — произвольная гладкая функция w00 .
Дифференцируя уравнение (3) по переменной x0 и положив v = w00 , приходим к
уравнению
?1
v11 ? F2 (v)v0 (6)
= 0.
0

Случай III. Пусть F = r w00 , r — произвольное действительное число. Инте-
w11
грируя (3) по переменной x0 , а затем дифференцируя дважды по x1 получаем
уравнение четвертого порядка
w0011 ? (F3 w11 )11 = 0,
rr
(7)
?1
Замена vF3 = w11 приводит (7) к уравнению второго порядка
v00 ? F3 (x1 )(v r )11 = 0. (8)
Итак, если уравнения (5), (6), (8) обладают нетривиальной локальной симме-
трией, то эта симметрия будет, вообще говоря, нелокальной для исходной системы
уравнений (1). Используя локальную симметрию уравнений (5), (6), (8), построим
нелиевские анзацы для уравнений (1), которые редуцируют двумерную систему
дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений (ОДУ). Лиевская и условная симметрия уравнения
(5), (6), (8) изучена в [5–7].
3. Нелиевские анзацы для системы (1), полученные по указанной схеме, имеют
следующий вид.
Случай I. Пусть F = u1 . Решение системы (1) ищем в виде
u1 = ?1 (?), ? = x1 + ax0 , u2 = a?1 (?) + ?2 (x0 ),
(9)
u3 = a2 ?1 (?) + ?2 (x0 )x1 + ?2 (x0 ),
?
a — произвольный действительный параметр;
u1 = ?1 (?), ? = x1 x?1 , u2 = ?1 (?) ? ? ?1 (?) + ?2 (x0 ),
? ? ?
0
(10)
u3 = 2?1 (?) ? 2? ?1 (?) + ?1 (?)? 2 + x1 ?2 (x0 ) + ?3 (x0 );
? ? ?

131
u1 = x2 ?1 (x0 ), u2 = x1 ? (x0 ) + ?2 (x0 ),
?
1
3 (11)
1 41
3
x1 ? (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 );
u= ? ?
12
2 3/2 1
1/2
u1 = x1 ?1 (x0 ), u2 = x ? (x0 ) + ?2 (x0 ),
?
31 (12)
4 5/2 1
3
x1 ? (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 );
u= ? ?
15
12
u1 = x0 x1 + ?1 (x0 ), u2 = x1 + ?1 (x0 )x1 + ?2 (x0 ),
?
2 (13)
1
u = x2 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 );
3
? ?
21
296 В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета

2 2 3/2
u1 = x2 x?2 + x1 ?1 (x0 ), u2 = ? x3 x?3 + x1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 ),
1/2
?
10
310 3 (14)
1 4
u = x4 x?4 + ?1 (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 );
3
? ?
10
2 15

u1 = ?1 (?) + 4x2 , ? = x1 + x2 , u2 = 2x0 ?1 (?) + ?2 (x0 ) + 8x0 x1 ,
? ?
0 0
(15)
u3 = 4x2 ?1 (?) + 2?1 (?) + 4x2 + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 );
0? ?
1


u1 = 9 x0 ?1 (?) + x4 , ? = x1 + x3 ,
? 0 0
u2 = 9 ?1 (?) + 3x3 ?1 (?) + 4x3 x1 + ?2 (x0 ) , (16)
0? 0
3
9x5 ?1 (?) 12x2 ?1 (?) 6x2 x2 2 3
u =9 0? + + + x1 ? (x0 ) + ? (x0 ) ;
?
0 01


u1 = x2 ?1 (?) + x1 x?1 + 6x4 , ? = x0 x1 + x6 ,
0? 0 0
0
2
u2 = ?1 (?) + ?1 (?) x0 x1 + 6x6 ? x3 x3 + 288x1 x7 + 18x2 x2 + ?2 (x0 ),
? 0
310 0 10
(17)
1 4 ?4
52
3 1 41
u = ? (?) x1 + 6x0 + 30x0 ? (?) + x1 x0 +
?
2
+ 12x1 x0 + 1008x0 x1 + ? (x0 )x1 + ?3 (x0 ).
3 62 2
?

Анзацы (9)–(17) редуцируют систему (1) к следующим системам ОДУ:
?3 1 ?...
??1 (?1 + ? 2 ) + ?2 ? ?1 + ?1 = 0,
?a ? + ?1 ? ? ?1 ?1 a + ?2 = 0,
? ? ?
? ?
?2 = ?1 x?2 ,
?2 = ? 1 ,
? ?
?3 ? 0
? ?3
? = ?2 x?1 ;
? ? a?1 x0 = ?2 ;
? ? 0
?1 ?...
?? = 6(?1 )2 + ?, ??1 = 0,
?? ?
?2 ? ?1 ?1 = 0,
2
? = 0,
? ? ?
?3 ?
? ?3
? = 0;
? ? = 0;
?
?... ? ...
??1 = 2x0 , ?4x3 ?1 ? 15x0 ?1 + 30?1 = 0,
?
? ?0
?2 = x0 ?1 + ?1 , ?2 = ?1 ?1 ,
? ? ? ?
? ?
?3 ?3
? = ?1 ?1 ;
? ? ? = 0;
?
?1 1 ?
?? (? ? 2) + 16? + ? = 0, ?3(?1 )2 ? 8?1 ? 4? 2 = 0,
?? ??
?
?2 ? 60x4 = 0,
2 2
? + 32x0 = 0,
? ?
?3 ?3 0
? ?
? ? 84x7 = 0;
? + 2?x0 = 0;
? ? 0
? 12
?(? ) ? 60?1 ? 1800? 2 ? 2? = 0,
??
?2 = 24552x10 ,
?
?3 0
?
? = 24768x15 + 4?x3 .
? 0 0

Здесь и ниже ?, ?1 , ?2 — произвольные постоянные.
Случай II. Пусть F = (u1 )k . Решение системы ищем с помощью анзацев
1
x?+1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 ),
u1 = x? ?1 (x0 ), u2 = ?
1
?+1 1
(18)
1
x?+2 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ).

<< Предыдущая

стр. 70
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>