<< Предыдущая

стр. 71
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u3 = ? ?
(? + 1)(? + 2) 1
Нелиевская симметрия и точные решения уравнении газовой динамики 297

Подставляя (18) в (1), получаем редуцированные системы ОДУ
?...
??1 = 0,
?
1
, k = ?1 : ?2 ? (?1 )k ?1 = 0,
?= ? ?
?
k+1 ?3
? = 0;
?
? ...
?k 2 ?1 ? 2(k + 1)(k + 2)(?1 )k ?1 = 0,
?
?
2
? = , k = ?1; ?2 : ?2 = 0,
?
?
k ?3
? = 0.
?
Для конкретных значений степени k укажем еще некоторые анзацы и соответ-
ствующие им редуцированные системы ОДУ
k=2
u1 = x?1 x1 + ?1 (x0 ),
? ...
0
1 ?x3 ?1 ? 2x0 ?1 + 4?1 = 0,
u2 = ? x2 x?2 + ?1 (x0 )x1 + ?2 (x0 ), ?
?0
?
210 x2 ?2 ? 2x0 ?1 ?1 + (?1 )2 = 0,
? ?
?0
1 1 ?3
u3 = x3 x?3 + ?1 (x0 )x2 +
? ? ? (?1 )2 ?1 = 0;
? ?
10 1
3 2
+ ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ),
?
k = ?2
?...
u1 = x?2 ?1 (x0 ), ??1 = 0,
?
1
u2 = ?x?1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 ), ?2 = 0,
1? ?
?
?3
? ? (?1 )?1 ?1 = 0;
u3 = ? ln x1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ),
? ? ? ?
k = ?3
2
?...
u1 = x?2 ?1 (x0 ), ??1 = 0,
?
1
u2 = ?x?1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 ), ?3 = 0,
?
1?
?
?2
? ? (?1 )?3/2 ?1 = 0;
u3 = ? ln x1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ),
? ? ? ?
k = ?1
?...
u1 = x?2 ?1 (x0 ), ??1 = 0,
?
1
?2 ? (?1 )?2 ?1 = 0,
u = ln x1 ?1 (x0 ) + ?2 (x0 ),
2
? ? ?
?
?3
u = x1 (ln x1 ? 1)?1 (x0 ) + ?2 (x0 )x1 + ?3 (x0 ),
3
? ? ? = 0.
?
Случай III. Пусть F = (u3 )?1 . Анзацы получаются из (9)–(17) круговой заме-
ной: x0 > x1 , x1 > x0 , u1 > u3 , u3 > u1 . Соответствующие системы редуциро-
ванных уравнений имеют вид
...
?1 ?1 ? a2 ?1 ? ? = 0, ?1 ? 6(?1 )2 = 0,
?1 (?1 ? ? 2 ) ? ? = 0,
? ? ?
?
?2 = ?; ?2 = 0;
?2 x1 = ?;
? ?
?

4x1 ?1 ? 15?1 = 0,
?1 = 0, ?1 = x2 ,
? ? ?
1
2?2 = (?1 )2 ; ? = x1 ?1 ;
2
2?2 = (?1 )2 ;
? ? ?

?1 (?1 ? 2) ? 8? + ? = 0, 3?1 ?1 ? 4?1 ? 4? + ? = 0,
?? ?? ?
?2 = 12x5 ? 3?x2 ;
?2 = 8x2 ;
? ?
1 1 1
298 В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета

?1 ?1 ? 30?1 ? 1800? + ? = 0,
?? ?
? = ?1368x11 ? ?x5 .
2
? 1 1

Все приведенные анзацы можно представить в общем виде
? ?
u = A? + b? + C ? + D,
где u = (u1 , u2 , u3 )T , ? = (?1 , ?2 , ?3 )T , ? и ? — соответственно первая и вторая
? ?
производные от ? по своему аргументу, A, B, C, D — некоторые переменные
матрицы размерности 3 ? 3.
4. Большинство из полученных редуцированных ОДУ можно проинтегрировать
в явном виде. Приведем некоторые точные решения, системы (1).
Случай I. F = u1
u1 = x2 x?2 ,
10
2
u2 = ? x2 x?3 + ?x0 + ?1 ,
310
1 4 ?4
u3 = x x + ?x1 + ?2 ;
12 1 0
1/2
u1 = x1 (?1 x2 + ?2 x0 + ?3 ),
0
1 ?2 5 1 2
2 3/2 1
3
x0 + (?2 + 2?1 ?3 )x3 +
u = x1 (2?1 x0 + ?2 ) + 0
3 25 3
1
+ ?1 ?2 x4 + ?2 ?3 x2 + (?2 + ?5 )x0 + ?6 ,
0 0 3
4
8 5/2 x1
u3 = x1 ?1 + (?2 x4 + x2 (?2 + 2?1 ?3 ) + ?1 ?2 x3 +
2 10 02 0
15
+ 2?2 ?3 x0 + ?2 + ?5 + ?4 ).
3

Случай II. F = (u1 )2
u1 = x1 x?1 + ?1 x2 + ?2 x2 ln x0 ,
0 0
0
1 2 ?2
u2 = ? x1 x0 + x1 (2?1 x0 + ?2 x0 (2 ln x0 + 1)) +
2
2
?2
14 1
?1 + ?2 ln x0 ? +2
+ ?3 x0 + ? + x0 ,
4 4 16
1 1
u3 = x3 x?3 + x2 (2?1 + ?2 (2 ln x0 + 3)) +
10
21
3
+ x6 (?1 + ?2 ln x0 )3 + x1 (x3 (?1 + ?2 ln x0 )2 + ?5 ).
0 0

Случай III. F = (u3 )?1
1 4 ?4 x0
?7/2
+ (?2 x5 + 2?1 ?2 x1 + ?2 x?3 ) + ?3 (x1 ),
1/2
u1 = x0 x1 + ?1 x1 + ?2 x1
2 11 21
2
2 1 3/2 ?5/2
u2 = ? x3 x?3 + x0
3/2
5?1 x1 ? 3?2 x1 +
01
3 3
1 ?2 6 1 2 ?2
x1 ? ?2 x1 + ?1 ?2 x2 + ?3 ,
1
+ 1
26 2
?3/2
u3 = x2 x?2 + x0
1/2 5/2
?1 x1 + ?2 x1 ;
01
Нелиевская симметрия и точные решения уравнении газовой динамики 299

x5
122 1
u1 = + ?1 x2 + ?2 x1 + ?3 (x1 ),
x0 x1 + x0 1
2 12
1 13 1 1 1
u2 = x2 + x0 x1 + ?1 + x6 + ?1 x3 + ?2 x2 + ?3 ,
0
72 1 1 1
2 3 3 2
1
u3 = x0 x1 + x4 + ?1 x1 + ?2 .
12 1
5. Изучим групповые свойства нелинейного волнового уравнения
u00 ? F3 (x1 )(G(u)u1 )1 = 0 (19)
для F3 = const, G = const. Нами получены следующие результаты:
Теорема 1. Ядро основных групп уравнения (19) соответствует одномерной
алгебре инфинитезимальных операторов с базисом X1 = ?0 .
Теорема 2. Уравнение (19) допускает расширение ядра основных групп только
при таких специализациях функций F3 и G:
1) G — произвольная
X1 , X2 = (2 ? n)x0 ?0 + 2x1 ?1 ;
F3 = xn
а) 1
X1 , X3 = nx0 ?0 ? 2?1 ;
nx1
б) F3 = e
2) G = e?u
а) — произвольная
F3 X1 , X4 = ?x0 ?0 + 2x1 ?u ;
= enx1
б) F3 X1 , X3 , X4 ;
= xn
в) F3 X1 , X2 , X4 ;
1
= x3 X2 , X4 , X5 = ?x2 ?1 + x1 ?u ;
г) F3 X1 ,
1 1

3) G = uk
F3 — произвольная X1 , X6 = nx0 ?0 ? 2u?u ;
а)
F3 = enx1
б) X 1 , X3 , X6 ;
F3 = xn
в) X 1 , X2 , X6 ;
1
3k+4
F3 = x1k+1 X1 , X2 , X6 , X7 = (k + 1)x2 ?1 + x1 u?u ;
г) 1

4) G = u?4
F3 — произвольная X1 , X6 , X8 = x2 ?0 + x0 u?u ;
а) 0
nx1
б) F3 = e X 1 , X3 , X6 , X8 ;
F3 = xn
в) X 1 , X2 , X6 , X8 ;
1
8/3
г) F3 = x1 X 1 , X2 , X6 , X7 , X8 ;

<< Предыдущая

стр. 71
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>