<< Предыдущая

стр. 72
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

5) G = u?1 , F3 = enx1
X1 , X3 , X9 = x0 ?0 + 2u?u , X10 = x0 ?0 + x1 ?1 + nx1 u?u .
Теоремы 1 и 2 доказаны с помощью метода Ли [8].
Полученные результаты могут быть использованы для построения точных ре-
шений системы уравнений (1).
300 В.И. Фущич, Н.И. Серов, В.К. Репета

1. Фущич В.И., О дополнительной инвариантности релятивистского уравнения движения, Теорет.
и мат. физика, 1971, 7, № 1, 3–12.
2. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической фи-
зики, Докл. АН СССР, 1979, 246, № 4, 846–850.
3. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, М., Наука, 1990, 400 с.
4. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.X., Основные типы инвариантных уравнений одно-
мерной газовой динамики, Препринт N 49, ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, M., 1988,
26 с.
5. Ames W.F., Lohner R.I., Adams E., Group properties of utt = (f (u)ux )x , in Non-linear phenomena
in mathematical sciences, Editor V. Lakshmikanthan, N.Y., Academic Press, 1982, 1–6.
6. Фущич В.И., Серов Н.И., Репета В.К., Условная симметрия, редукция и точные решения нели-
нейного волнового уравнения, Докл. АН УССР, 1991, № 5, 29–34.
7. Фущич В.И., Репета В.К., Точные решения некоторых уравнений газовой динамики и нелиней-
ной акустики, Докл. АН УССР, 1991, № 8, 35–42.
8. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 301–305.

Чи iнварiантнi рiвняння Максвелла
щодо перетворень Галiлея?
В.И. ФУЩИЧ, В.М. ШТЕЛЕНЬ
It is shown that Maxwell equations for vacuum are invariant about the Galilei trans-
formations x = x + vt, t = t. The corresponding transformations of electromagnetic
field turn out to be nonlocal ones unlike the Lorentz transformations. Analogous results
are obtained for the Dirac and Klein–Gordon–Fock equations.

Показано, що рiвняння Максвелла (РМ) для вакууму iнварiантнi щодо пере-
творень Галiлея: x = x+vt, t = t. При цьому, однак, вiдповiднi перетворення для
полiв E та H виявляються, на вiдмiну вiд перетворень Лоренца, нелокальними.
Аналогiчний результат одержано для рiвняння Дiрака i рiвняння Клейна–Гордона–
Фока.
З часiв Лоренца, Пуанкаре, Ейнштейна на сформульоване в заголовку питання
iснує негативна вiдповiдь. За наш час добре вiдомо, що РМ
?E ?H
= ?rot E, div H = 0, (1)
= rot H, div E = 0,
?t ?t
iнварiантнi щодо перетворень Лоренца i нсiнварiантнi щодо перетворень Галiлея
(2)
xa = xa + va t, t = t, a = 1, 2, 3,
де va — довiльнi постiйнi (швидкiсть iнерцiальної системи вiдлiку). Якщо ми не-
явно припускаємо, що поля E i H при переходi вiд однiєї iнерцiальної системи
до iншої перетворюються локальним чином, тобто перетворенi поля E та H за-
лежать тiльки вiд E та H, (i, звичайно, вiд параметрiв va ), але не залежать вiд
похiдних вiд E i H, то випливає негативна вiдповiдь на обговорюване питання.
Якщо припустити, що перетворення полiв можуть бути нелокальними, то одержи-
мо позитивну вiдповiдь.
Теорема 1. Рiвняння Максвелла (1) iнварiантнi щодо перетворень Галiлея (2)
при умовi, що електромагнiтне поле E, H перетворюється згiдно закону
E = E ? v ? H ? (v · x) rot H + O v 2 ,
(3)
H = H + v ? E + (v · x) rot E + O v 2 .
Доведення. Впевнимося в правильностi теореми безпосередньою перевiркою. Iз (2)
випливає, що
? = ?, ?t = ?t ? v · ?. (4)
Пiдставляючи формули (3), (4) у “штрихованi” рiвняння системи (1) i нехтуючи
членами квадратичними по v, знаходимо
(div E) = div E = div E ? div (v ? H) ? div [(v · x) rot H] =
= div E + v · rot H ? v · rot H = div E = 0.
Доповiдi АН УРСР, 1991, № 3, С. 22–26.
302 В.И. Фущич, В.М. Штелень

Тут використано тотожностi

div (v ? H) = ?v · rot H,
(5)
div [(v · x) rot H] = v · rot H.

Далi
? ?
(?t E ? rot H) = (?t ? v · ?)E ? rot H = E ? v ? H ?
?
? (v · x) rot H ? (v · ?)E ? rot H ? rot (v ? E) ? rot [(v · x) rot E]

(крапкою позначено диференцiювання по t). Враховуючи тотожностi

rot (v ? E) = ?(v · ?)E + v div E,
(6)
rot [(v · x) rot E] = (v · x) rot rot E + v ? rot E

i використовуючи рiвняння (1), отримуємо
? ? ? ?
(E ? rot H) = E ? v ? H ? (v · x) ? rot H ? (v · ?)E ? rot H +
+ (v · ?)E ? v div E ? (v · x) rot rot E ? v ? rot E =
? ? ?
= E ? rot H + v ? (H + rot E) ? (v · x) rot (H + rot E) ? v div E = 0.

Цiлком аналогiчно доводиться iнварiантнiсть решти рiвнянь системи (1) щодо пе-
ретворень (2), (3).
Теорема доведена.
Порiвнюючи перетворення (2), (3) з iнфiнiтезимальними перетвореннями Ло-
ренца

t = t + v · x + O v2 ,
x = x + vt + O v 2 , (7)

E = E ? v ? H + O v2 , H = H + v ? E + O v2 , (8)

одразу видно, що простота геометричних перетворень (2) тягне за собою складний
(нелокальний) характер перетворень для полiв (3). Для того щоб вияснити смисл
одержаного результату, запишемо РМ (1) у еквiвалентному виглядi [1]
??
= H?, H = i?2 (S · ?),
i ?
(9)
?t
div E = div H = 0,
де

?I3
?
0
? = стовпчик (E1 E2 E3 H1 H2 H3 ), (10)
?2 = i
? ,
?
I3 0

I3 , ? — одинична та нульова матрицi розмiрностi 3 ? 3,
0
? ? ? ? ? ?
0 ?i
00 0 00i 0
S1 = ? 0 0 ?i ? , S2 = ? 0 0 0 ? , S3 = ? i 0 0 ?. (11)
?i 0 0
0i0 00 0
Чи iнварiантнi рiвняння Максвелла щодо перетворень Галiлея? 303

Неважко впевнитися, що система (9) iнварiантна щодо наступних алгебр Пуанка-
ре:
?
(x0 ? t),
I
P µ = Pµ = , µ = 0, 3,
?xµ
(12)
?
Sc 0
= xa Pb ? xb Pa + i?abc = x0 Pa ? xa P0 + ?2 Sa
I I
Jab , J0a ?
?
0 Sc
i
P0 = ?iH = ?2 (S · ?), Pa = Pa , Jab = Jab ,
II II I II I
?
(13)
i 1
J0a = tPa ? (Hxa + xa H) + ?2 Sa .
II
?
2 2
I
Оператори J0a породжують добре вiдомi перетворення Лоренца. В той же час
II
оператори J0a , будучи нелiївськими, очевидно, приводять до цiлком iнших пере-
творень. Щоб знайти цi перетворення можна скористатися формулами, запропоно-
ваними в [2–4], згiдно з якими

t = exp(tv · ?)t exp(?v · ?) = t, x = exp(tv · ?)x exp(?v · ?) = x + vt,(14)

? (x ) = exp{tv · ?} exp{?tv · ? + ?2 (S · v + x · v · S · ?)}?(x), (15)
?

де функцiя ?(x) визначена в (10).
Iнфiнiтезимальнi перетворення (3), як легко впевнитися, випливають з (15) в
першому порядку по v. Кiнцевi геометричнi перетворення (14) збiгаються з галiле-
ївськими перетвореннями (2). Зауважимо, що зображення алгебри Пуанкаре, зада-
нi формулами (12), (13), взагалi кажучи, нееквiвалентнi, але на множинi розв’язкiв
рiвнянь Максвелла (9) вони збiгаються, оскiльки
I II
(J0a )2 ? = (J0a )2 ?,
I II
(16)
J0a ? = J0a ?, ...,

де ? — довiльний розв’язок РМ. Це говорить про те, що перетворення Лоренца
i (14), (15) на розв’язках РМ еквiвалентнi. Iнварiантнiсть РМ щодо перетворень
Галiлея стала можливою за рахунок нелокальностi перетворень електромагнiтного
поля. Iдею дуальностi просторово-часової симетрiї релятивiстських рiвнянь вперше
розглянуто в роботах [5, 6].
Важливим застосуванням перетворень (14), (15) є можливiсть коректного впро-
вадження наближеної галiлеївської iнварiантностi (з єдиним абсолютним часом)
РМ. Очевидно, що перетворення (2), (3) можна розглядати як наближенi галiлеїв-
ськi перетворення РМ. Формула (15) дозволяє вирахувати явний вигляд перетво-
рень Галiлея для електромагнiтного поля в будь-якому порядку по v. Наприклад,
друге наближення має вигляд
1 12
E = E ? v ? H ? v · x + v 2 t rot H + v E ? v(v · E) +
2 2
+ (v · x)((v · ?)E ? 2v ? rot E) + (x · v)2 ?E + O v 3 ,
(17)
1 12
H = H + v ? E + v · x + v 2 t rot E + v H ? v(v · H) +
2 2
+ (v · x)((v · ?)H ? 2v ? rot H) + (x · v)2 ?H + O v 3 ,
304 В.И. Фущич, В.М. Штелень

Перетворення Лоренца з точнiстю до v 2 задаються формулами
1
x = x + vt + v(v · x) + O v 3 ,
2
1
t = t + x · v + v2 t + O v3 ,
2 (18)
12
E =E?v?H + v E ? v(v · E) + O v 3 ,
2
12
H =H +v?E+ v H ? v(v · H) + O v 3 .
2
Порiвнюючи формули (2), (17) з (18), бачимо, що перетворення (17) вiдрiзняються
вiд лоренцiвських перетворень для електромагнiтного поля (18) лише членами, в
якi входять похiднi вiд E i H. Геометричнi перетворення x > x , t > t (18)
суттєво вiдрiзняються вiд перетворень Галiлея (2) навiть в першому порядку по v.
Час t у формулi (18) змiнюється при переходi рухомої системи вiдлiку.
Сформулюємо аналогiчний результат для рiвняння Дiрака та рiвняння Клей-
на–Гордона–Фока.
Запишемо рiвняння Дiрака у виглядi
??
= H?, H = ?i?0 ?a ?a + ?0 m, (19)
i
?t
де ?µ — матрицi Дiрака 4 ? 4, ? = ?(x) — 4-х компонентна комплексна функцiя
(стовпчик), m — довiльна постiйна. Рiвняння (19) iнварiантне щодо операторiв [6]
i
J0a = t?a ? (Hxa + xa H),
II
(20)
2
що породжують перетворення [2–4]
t = t, x = x + vt,
i
? (x ) = exp{tv · ?) exp ?tv · ? + (Hv · x + (v · x)H) ?(x) =
(21)
2
v v i
cth ? 1 tv · ? + (Hv · x + v · xH + v 2 tH) ?,
= exp
2 2 2
1/2
2 2 2
де v = v1 + v2 + v3 .
Розглянемо рiвняння Клейна–Гордона–Фока
(2 + m2 )? = 0 (22)
i запишемо його в еквiвалентному виглядi [6]
?? 1
= H?, H= E 2 + ? 2 ?1 + E 2 ? ? 2 i?2 , (23)
i
?t 2?
де E = m2 ? ?, ? = ?(x) — 2-х компонентна функцiя
i ??
?1
(24)
?= , ?1 = , ?2 = ?,
? ?t
?2
? = 0 — довiльна постiйна, ?1 , ?2 — матрицi Паулi 2?2. Рiвняння (23) iнварiантне
щодо оператора вигляду (20), який призводить до перетворень (21).
Чи iнварiантнi рiвняння Максвелла щодо перетворень Галiлея? 305

Вiдзначимо, що на вiдмiну вiд рiвняння Дiрака оператори (20) для рiвнян-
ня (23) нелокальнi навiть на множинi його розв’язкiв, де вони мають вигляд

<< Предыдущая

стр. 72
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>