<< Предыдущая

стр. 8
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

p2 u(t, x, y) = p 2 + p 2 + m2 + m2 +
0 1 2
k k+3
(22)
1/2 1/2
p2 m2 2p2 m2
+2 + + u(t, x, y).
1 2
k k+3




1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
2. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений, в Симметрия и решения
нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики AН УССР, 1987, 4–16.
3. Фущич В.И., О симметрии и точных решениях многомерных нелинейных волновых уравнений,
Укр. мат. журн., 1987, 39, № 1, 116–123.
4. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of the nonlinear d’Alambert–Hamilton
system, Phys. Lett. A, 1989, 141, № 3–4, 113–115.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 25–27.

О некоторых новых волновых уравнениях
математической физики
В.И. ФУЩИЧ

Предложены уравнения для описания взаимодействия скалярных и тензорных полей.


1. В стандартной нерелятивистской квантовой механике взаимодействие двух
частиц (волн) описывается с помощью уравнения Шредингера
12 12
(1)
p0 u(t, x, y) = pk + p + V (t, x, y) u(t, x, y),
2m2 k+3
2m1
где p0 = ?i ?t , pk = ?i ?xk , pk+3 = ?i ?x? = ?i ?yk , xk+3 ? yk , k = 1, 2, 3,
? ? ?
k+3
V (t, x, y) — потенциал взаимодействия, u(t, x, y) — волновая функция системы
двух частиц, m1 , m2 — массы частиц.
Возможен и другой подход к описанию взаимодействия двух частиц (волн).
Сопоставим невзаимодействующим частицам волновые функции u1 (t, x) и u2 (t, y).
Взаимодействие скалярных волн u1 и u2 опишем с помощью такой системы
12
p0 u1 (t, x) = p u1 (t, x) + V1 (t, x, y, u1 , u2 ),
2m1 k
(2)
12
p0 u2 (t, x) = p u2 (t, x) + V2 (t, x, y, u1 , u2 ).
2m2 k+3
Конкретное взаимодействие волн u1 и u2 описывается заданием потенциалов V1
и V2 , которые, вообще говоря, нелинейным образом зависят от u1 и u2 . При ли-
нейном взаимодействии
V1 = V11 (t, x, y)u1 + V12 (t, x, y)u2 ,
V2 = V21 (t, x, y)u1 + V22 (t, x, y)u2 .
В отсутствии взаимодействия между частицами система (2) распадается на два
независимых уравнения Шредингера, которые инвариантны относительно алгебры
? ? ? ?
, Pk = pk = ?i , Pk+3 = pk+3 = ?i = ?i
P 0 = p0 = i ,
?t ?xk ?xk+3 ?yk
(3)
Jkl = xk pl ? xl pk , Jk+3 l+3 = xk+3 pl+3 ? xl+3 pk+3 ,
Gk = tpk ? xk m1 , Gk+3 = tpk+3 ? xk+3 m2 .
Чтобы для модели (2) выполнялся принцип относительности Галилея, достато-
чно потребовать инвариантности системы (2) относительно операторов Gk и Gk+3 .
Такое требование существенно сужает класс допустимых потенциалов V1 и V2 .
Описанию линейных и нелинейных уравнений вида (2), инвариантных относи-
тельно алгебры (3), будет посвящена отдельная публикация.
Теоретико-алгебраический анализ уравнений математической физики, Киев, Институт математики
АН УССР, 1990, C. 9–11.
26 В.И. Фущич

2. Опишем взаимодействие двух скалярных полей u1 и u2 помощью гипербо-
лической системы уравнений. Рассмотрим систему
p2 u1 (t, x) = p2 u1 (t, x) + m2 u1 (t, x) + V1 (t, x, y, u1 , u2 ),
0 1
k
(4)
p0 u2 (t, x) = pk+3 u2 (t, x) + m2 u2 (t, x) + V2 (t, x, y, u1 , u2 ).
2 2
2

При отсутствии взаимодействия, система (4) распадается на два независимых
уравнения Клейна–Гордона–Фока, которые инвариантны относительно алгебра
? ? ?
, Pk = pk = ?i , Pk+3 = pk+3 = ?i
P0 = p0 = i ,
?t ?xk ?yk
(5)
Jkl = xk pl ? xl pk , Jk+3 l+3 = xk+3 pl+3 ? xl+3 pk+3 ,
J0k = tpk ? xk p0 , J0 k+3 = tpk+3 ? xk+3 p0 .
В случае нетривиального взаимодействия, естественно потребовать инвариан-
тность (4) относительно алгебры (5). Важно подчеркнуть, что системе (4), в отли-
чие от других релятивистских уравнений для двух частиц, содержит только одну
временную переменную.
Взаимодействие двух электромагнитных волн, характеризующихся векторами
E1 (t, x), H1 (t, x) и E2 (t, y), H2 (t, y) описывается системой

? E1 (t, x)
= rotx H1 (t, x) + V1 (t, x, y, E1 , H1 , E2 , H2 ),
?t
? H1 (t, x)
= ?rotx E1 (t, x) + V2 (t, x, y, E1 , H1 , E2 , H2 ),
?t
? E2 (t, y)
= roty H2 (t, y) + V3 (t, x, y, E1 , H1 , E2 , H2 ),
?t
? H2 (t, y)
= ?roty E2 (t, y) + V2 (t, x, y, E1 , H1 , E2 , H2 ).
?t
Конечно, на векторы E1 , H1 , E2 , H2 можно накладывать, в зависимости от
конкретной задачи, дополнительные условия. Например, div E1 = 0, div H1 = 0,
div E2 = 0, div H2 = 0.
Взаимодействия тензорного Aµ? (t, x), векторного Bµ (t, x) и скалярного u(t, x)
полей можно описать системой
? 2 u(t, x) ?u(t, x)
(6)
Aµ? (t, x) + Bµ (t, x) + C(t, x)u(t, x) = 0.
?xµ ?x? ?xµ
Коэффициенты системы (6) удовлетворяют следующим уравнениям:
p? p? Aµ? (t, x) = ?1 Aµ? (t, x), (7)

p? p? Bµ (t, x) = ?2 Bµ (t, x), (8)

p? p? C(t, x) = ?3 C(t, x), (9)

?1 , ?2 , ?3 — произвольные параметры.
Подчеркнем, что уравнение (6) при фиксированных функциях Aµ? , Bµ , C не
инвариантно относительно группы Пуанкаре. Однако, если эти функции удовле-
творяют уравнения (7)–(9), то система (6)–(9) инвариантна относительно группы
О некоторых новых волновых уравнениях математической физики 27

Пуанкаре. Симметрийные свойства системы (6)–(9) дают возможность строить
семейство точных решений.
Возможно описание взаимодействующих частиц с помощью следующего урав-
нения четвертого порядка:

p4 ? 2p2 p2 + p2 + m2 + m2 ? 2 p2 + m2 p 2 + m2 +
0 0 1 2 1 2
k k+3 k k+3

2 2
+ p2 + m2 + p 2 + m2 u(t, x, y) = F (|u|)u(t, x, y).
1 2
k k+3
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 28–31.

О точных решениях нелинейного
уравнения д’Аламбера в пространстве
Минковского R1,n
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК
Symmetry reduction of the nonlinear d’Alembert equation 2u + ?uk = 0 in the Min-
kowski space R1,n is studied. Some exact solutions of this equation are found.

Рассмотрим нелинейное уравнение д’Аламбера в псевдоевклидовом пространс-
тве R1,n (n > 1)
2u + ?uk = 0, (1)
2
где 2u = u00 ? u11 ? · · · ? unn , uµ? = ?xµ ?x? , u ? u(x), x = (x0 , x1 , . . . , xn ),
?u

µ, ? = 0, 1, . . . , n).
Известно [1], что если k = 1, то максимальной алгеброй инвариантности урав-
?
нения (1) является расширенная алгебра Пуанкаре AP (1, n), обладающая базисом
J0a = x0 ?a + xa ?0 , Jab = xb ?a ? xa ?b , Pµ = ?µ , S = ?xµ ?µ + k?1 ?u (a, b = 1, . . . , n).
2u

Генераторы поворотов Jµ? порождают алгебру AO(1, n), генераторы трансляций
? ?
?
Pµ порождают коммутативный идеал V , причем AP (1, n) = V + AO(1, n), где
?
AO(1, n) = AO(1, n) ? S . В [2–4] проведена симметрийная редукция уравне-
? ?
ния (1) по некоторым подалгебрам алгебр AP (1, 2) и AP (1, 3) и получен ряд его
точных решений.
?
В настоящем сообщении подалгебры алгебра AP (1, n) используются для пои-
ска инвариантных решений уравнения (1). Для этого описываем максимальные
?
подалгебры ранга n алгебры AP (1, n), не содержащиеся в AP (1, n) и удовлетворя-
ющие условию L ? V ? P1 , . . . , Pn . Если L — одна из таких подалгебр, ? (x, u),
?(x) — ее основные инварианты, то анзац ? = ?(?) редуцирует уравнение (1) к
обыкновенному дифференциальному уравнению с неизвестной функцией ?(?).
В дальнейшем будем использовать такие обозначения:
AE(n ? l ? 1) = Pl+1 , . . . , Pn?1 , Jl+1,l+2 , . . . , Jn?2,n?1 (0 ? l ? n ? 2);
AO(l) = J12 , . . . , Jl?1,l (2 ? l ? n);
AO(l1 ; l2 ) = Jl1 +1,l2 +2 , . . . , Jl1 +l2 ?1,l1 +l2 (0 ? l1 < l2 , l1 + l2 ? n);
? ?
AE (l) = G1 , . . . , Gl , J12 , . . . , Jl?1,l ; AE (l) = AE (l) + J0n ;
?
?1 (?1 ) = G1 + ?1 P1 , . . . Gr1 + ?1 Pr1 + AO(r1 );
?
?2 (?2 ) = Gr1 +1 + ?2 Pr1 +1 , . . . , Gr1 +r2 + ?2 Pr1 +r2 + AO(r1 ; r2 );
··································································
?
?t (?t ) = G?+1 + ?t P?+1 , . . . , G?+rt + ?t P?+rt + AO(?; rt ),
где ? = r1 + r2 + · · · + rt?1 , ? + rt = n ? 1.
Доклады АН УССР, Сер. А, Физ.-мат. и техн. науки, 1990, № 6, C. 31–34.
О точных решениях нелинейного уравнения д’Аламбера 29

Теорема 1. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n ? 1 алгебры AP (1, n)
и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена одной из следующих алгебр:

1) L1 = AE(n ? 1); 2) L2 = AO(l) ? AE(n ? l ? 1) (1 < l < n);
3) L3 = AE (l) ? AE(n ? l ? 1) (1 ? l ? n ? 1);
4) L4 = J0n ? AO(l) ? AE(n ? l ? 1) (2 ? l ? n ? 1);
?
5) L5 = AE (l) ? AE(n ? l ? 1) (2 ? l ? n ? 1);
?
6) L6 = AE (l1 ) ? AO(l1 ; l2 ) ? AE(n ? l ? 1) (l = l1 + l2 );
7) L7 = G1 + P0 ? Pn ? AE(n ? 2); 8) L8 = ?1 ? ?2 ? · · · ? ?t ;
9) L9 = J0n + ?P1 ? AE(n ? 2);
10) L10 = (AE (l) + J0n + ?Pl+1 ) ? AE(n ? l ? 2).
?

?
Теорема 2. Пусть L — максимальная подалгебра ранга n алгебры AP (1, n), не
?
содержащаяся в AP (1, n), и L ? V ? P1 , . . . , Pn . Тогда L P (1, n)-сопряжена
одной из следующих алгебр:

1) L1,1 = L1 ? S ; 2) L1,2 = L1 + J0n + ?S (? = 0);
?
? ? ?
3) L1,3 = L1 + J0n + S + P0 + Pn ; 4) L2,1 = L2 + S ; 5) L3,1 = L3 + S ;
? ?
6) L3,2 = L3 + J0n + ?S (? = 0); 7) L3,3 = L3 + J0n + S + P0 + Pn ;
? ? ?
8) L4,1 = L4 + S ; 9) L5,1 = L5 + S ; 10) L6,1 = L6 + S ;
11) L7,1 = L7 + J0n ? 2S ; 12) L8,1 = L8 + J0n ? S .
? ?

Нетрудно убедиться, что уравнение (1) не имеет решений, инвариантных отно-
сительно L8,1 . Учитывая, что редукция уравнения (1) по подалгебрам L1,1 , L1,2 ,
L1,3 и L7,1 была проведена в [2, 4], в дальнейшем подалгебры 1–3, 11 и 12 теоремы
2 не рассматриваются. Выпишем полные системы инвариантов подалгебр, пред-
ставленных в теореме 2. Запись L : f1 (x), . . . , fs (x) будет означать, что функции
f1 (x), . . . , fs (x) образуют полную систему инвариантов алгебры L.

x2 + x2 + · · · + x2
u
?= 1 2 l
L2,1 : , ;
x2
2/(1?k)
x0 0
1/2
x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
u n
?= 0 1 l
L3,1 : , ;
x0 ? xn
2/(1?k)
x0
u
L3,2 : ,
1/(1?k)
(x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 )
n
0 1 l

? = ? ln x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ? ln(x0 ? xn );
0 1 l n

x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2

<< Предыдущая

стр. 8
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>