<< Предыдущая стр. 81(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
?(?) = ?(1 + 2k) ln c ? ,
(1 + 2k) 1 + ?2
?? = 0,
?
?? ? ? ?? ?
?(Q03 + Q31 )(?0 + ?3 )(?1 ? ??2 )? =
2k?(1 + ?2 )
?? ? ? ?
1 + ?2 ?(Q01 + Q31 )(?0 + ?3 )? =
=i .
1 + 2k
Now consider an example of obtaining an exact solution of the standard Dirac
equation with non-zero mass
(i?? ? m)?? = 0 (4.13)
using symmetry AP (2) (1, 3) (3.10) of system (3.2) (or, to be more exact, of the
?(2)
equivalent system (3.6). Let us take a two-dimensional subalgebra J23 , P0 ? P1 of
AP (2) (1, 3). The corresponding ansatz for (3.5) has the form
x2
?(x) = exp S23 tan?1
?(2)
? ?(?),
x3 (4.14)
? = {?1 , ?2 }, ?2 = (x2 + x2 )1/2 .
?1 = x0 + x1 , 2 2

Taking into account the identities
?(2) ?(1) (1)
? ?
S23 = S23 + Q23 , [S23 , Q23 ] = 0
we find from (4.14) the ansatz for ?? :
1 1
(x3 ? ?2 ?3 x2 ) ?? (?) ?
?? (x) = 1+
?2
2
(4.15)
i 1
? (?3 x2 ? ?2 x3 ) ?1 ?+ (?).
?2 +
2 ?2
Further, it is convenient to introduce the notation
1 i 1
(?? ? i?2 ?1 ?+ ). (4.16)
Z(?) = ?? + ?2 ?1 ?+ , H(?) =
2?2 2?2 2
By means of (4.16) we rewrite (4.15) as
?? = (x3 ? ?2 ?3 x2 )Z + H. (4.17)
On the connection between solutions of Dirac and Maxwell equations 335

After substitution of (4.17) into (4.13) we get the following system of reduced equa-
tions
?H ?Z
= ?imH,
2?3 Z + (?0 + ?1 ) + ?3 ?2
??1 ??2
(4.18)
2 ?Z ?H
= ?im?2 Z.
2
(?0 + ?1 )?2 + ?3 ?2
??1 ??2
We shall look for solutions of this system in the form
?2
Z = ?2 A(?2 ) exp[i(?0 + ?1 )f (?1 )],
H = B(?2 ) exp[i(?0 + ?1 )f (?1 )],
where A and B are some 4 ? 4 matrices and f is an arbitrary differentiable function.
Now one can easy solve (4.18) and write down the solution of (4.13),
1
(4.19)
?? (x) = (?2 x2 + ?3 x3 )J1 (im?2 ) exp[i(?0 + ?1 )f (?1 )]x ,
?2
where J1 and J0 are Bessel functions and ? is a four-component constant.
It is noteworthy that ansatz (4.15) has, due to its construction, a vector rather
than spinor nature and therefore solution (4.19) of the Dirac equation (4.13) cannot be
obtained within the framework of local symmetry of (4.13). Indeed, ansatz (4.15) (and
therefore solution (4.19)) is invariant with respect to operators P0 ? P3 and J23 + 1 ,
2
4
(J23 = x2 P3 ? x3 P2 ? 1 ?2 ?3 ), the latter being a non-Lie one (differentional oprator of
2
second order).
In conclusion, let use note that there is a simple connection between P (2) (1, 3)-
invariant ans?tze and P (1) (1, 3) invariant ones. Since
a
?(2) ?(1) ?
Sµ? = Sµ? + Qµ?
(see (3.4), (3.10) and (3.11)), we can write
?
?(2) (x) = exp(f (x)Q)?(1) (x), (4.20)
where f (x) is some smooth function, Q is an element of six-dimensional Pauli–
Touschek algebra (3.11). It is natural to consider relation (4.20) as a conection
between bosonic and fermionic fields.
Acknowledgments. We would like to express our gratitude to the referees for
their useful suggestions.

1. Fushchych W.I., Nucl. Phys. B, 1970, 21, 321–330.
2. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1973, 6, 133–137.
3. Fushchych W.I., Shtelen W.M., J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, 271–277.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Teoret. i Mat. Fizika, 1987, 72, 35–44.
5. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Phys. Rep., 1989, 172, 123–174.
6. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact solutions of nonlinear of
equations of mathematical physics, Kiev, Naukova Dumka, 1989.
7. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., J. Math. Phys., 1984, 25, 791–806.
8. Ibragimov N.H., Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1969, 185, 1225–1228.
336 W.I. Fushchych, W.M. Shtelen, S.V. Spichak

9. Ljolje K., Fortschr. Phys., 1988, 36, 9–32.
10. Olver P., Applications of Lie groups to differential equations, Berlin, Springer, 1986.
11. Patera J., Winternitz P., Zassenhaus H., J. Math. Phys., 16, 1597–1624.
12. Petroni N.C., Guert P., Vigier G.P., Kiprianidis A., Phys. Rev. D, 1985, 31, 3157–3164.
13. Petroni N.C., Guert P., Vigier G.P., Kiprianidis A., Phys. Rev. D, 1986, 33, 1674–1680.
14. Sntelen W.M., in Symmetry and Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics, Ed.
W.I. Fushchych, Kiev, Institute of Mathematics, 1987, 31–36.
15. Sntelen W.M., in Symmetry and Solutions of Equations of Mathematical Physics, Ed. W.I. Fush-
chych, Kiev, Institute of Mathematics, 1989, 110–113.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 337–340.

Редукция и решения нелинейного
уравнения для векторного поля
В.И. ФУЩИЧ, И.А. ЕГОРЧЕНКО

Substitutions reducing the non-linear system of equations for the vector potential

p? p? Aµ ? pµ p? A? = Aµ F (A? A? , x? A? )

to the ordinary differential equations are considered. The families of exact solutions of
this system are constructed.

Рассматривается задача редукции многомерной нелинейной системы уравнений
для вектора потенциала

p? p? Aµ ? pµ p? A? = Aµ F (A? A? ) (1)

к двумерным и одномерным системам. Здесь µ, ? = 0, 1, 2, 3; A? = A? (x), x =
(x0 , x1 , x2 , x3 ), F — произвольная дважды дифференцируемая функция. Операторы
pµ , имеют вид pµ = igµ? ?/?x? , где gµ? = diag (1, ?1, ?1, ?1) — метрический
тензор, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
В [1] найдены семейства точных решений уравнения (1)

(2)
Aµ = aµ ?(bx), Aµ = bµ ?(ax),

где a2 = ?b2 = 1, ab = 0 (a2 ? aµ a? = a2 ? a2 ? a2 ? a2 ).
0 1 2 3
Уравнение (1) инвариантно относительно алгебры Пуанкаре AP (1, 3). В [2] по-
строены анзацы и проведена редукция (1) по неэквивалентным трехмерным подал-
гебрам алгебры AP (1, 3). Однако в результате такой редукции получаются нели-
нейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, нера-
зрешимые в квадратурах и весьма сложные для исследования. Поэтому представ-
ляет интерес построение анзацев более общей структуры, чем (2), редуцирующих
(1) к уравнениям для одной функции.
Будем рассматривать анзац

(3)
Aµ = zµ ?(z, ?),

где z и ? — некоторые функции от x, zµ ? ?z
?xµ . Подставляя (3) в (1), получаем
уравнение

zµ {?22 ?? ?? + ?2 2? + ?12 z? ?? } ? ?µ ?2 2z ? z? ?µ? ?2 +
(4)
+ zµ? ?? ?2 ? z? z? ?µ ?12 ? ?µ ?? z? ?22 = zµ ?F (z? z? ?2 ),

где ?1 ? ?2 ? ? и z должны быть независимы, ?2 ? 0.
?? ??
?z , ?? ,

Доклады АН Украины, 1991, № 4, 23–25.
338 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

Выпишем условия на z и ?, при которых (4) приводится к паре уравнений в
частных производных на функцию ?.
?? ?? = ?1 (z, ?), 2? = ?2 (z, ?), z? z? = ?3 (z, ?),
2z = ?4 (z, ?), z? ?? = ?5 (z, ?), (5)
zµ? ?? = ?µ ?6 (z, ?) + zµ ?7 (z, ?), z? ?µ? = ?µ ?8 (z, ?) + zµ ?9 (z, ?).
? ?
Здесь ?i — функции, удовлетворяющие условиям: ?? ?5 = ?6 + ?8 , ?z ?5 = ?7 + ?9 .
Отметим, что исследование совместности и решение систем типа (5) пред-
ставляет собой сложную задачу. Проще задать, например, z и затем искать ?,
удовлетворяющие системе (5). Рассмотрим в качестве примера анзац
Aµ = xµ ?(x2 , ?). (6)
Если заменить ? > 2? , то это анзац типа (3), z = x2 . Система (5) тогда имеет
вид
?? x? = h(x2 , ?), ?? ?? = ?1 (x2 , ?), ?? x? = ?2 (x2 , ?). (7)
Анзацы вида (6) эквивалентны относительно замены ? > ? (x2 , ?), что дает
?
возможность привести (7) к виду
(? = 0, ±1), 2? = ? (x2 , ?), ?? x? = h(x2 , ?). (8)
?? ? ? = ?
?N
Если ? = ? (?), то можно воспользоваться результатами работы [3], откуда ? = ?,
N = 0, 1, 2, 3. В этом случае легко показать, что h(?) ? ?.
Таким образом, ? определяется из уравнений
?N
(? = 0, ±1), 2? = (9)
?? ?? = ? (N = 0, 1, 2, 3), ?µ xµ = ?.
?
Общее решение первых двух уравнений для ? = 0 приведено в [3]. Приведем
несколько примеров решений системы (9).
? = by + k(ay + dy), ? = ?1, N = 0;
? = ((ay)2 ? (dy)2 )1/2 , ? = 1, N = 1;
? = ?1, N = 1;
? = ((by)2 + (cy)2 )1/2 , (10)
? = ((ay)2 ? (by)2 ? (cy)2 ? (dy)2 )1/2 , ? = 1, N = 3;
? = ay + dy, ? = 0, N = 0.
Здесь a2 = ?b2 = ?c2 = ?d2 = 1, ab = bc = cd = ac = ad = bd = 0, y? = x? + l? ;
k, l? = const.
Анзац (6), где w удовлетворяет системе (9), редуцирует уравнение (1) к паре
уравнений для ?
N
?2 = ?F (x2 ?2 ), (11)
??22 + 2??12 +
?
??22 + 2x2 ?12 + 3?2 = 0. (12)

Требование совместности редуцированной системы накладывает условия и на
функцию F . Анзацы вида (3) оказываются применимыми только для некоторых
классов нелинейных уравнений.
Редукция и решения нелинейного уравнения для векторного поля 339

Общее решение (12) имеет вид
1 ?
v (13)
?= ? ,
x2 x2
? d?
тогда из (11) получаем ? = ?(? ), ? = d?

? ?N ? 3? ? = x2 ?F
2
?
?
(? ? ? 2 )? + (14)
.
x2
?
Уравнение (14) будет уравнением только на ?, если F (?) = B?, B = const. То-
гда (14) приобретает вид

?1 ?
(? ? ? 2 )? + (?N ? 3? 2 )? = B?3 . (15)
?
Если ? = 0, то заменой ? = yR(y), ? = y 1/2 (15) приводится к уравнению Эмдена–
Фаулера

? 2?
R + R + BR3 = 0.
y
Рассмотрим теперь уравнение для векторного потенциала Aµ
p? p? Aµ ? pµ p? A? = Aµ F (A? A? , x? A? ). (16)
?
Анзац (6), (13) приводит (16) к следующему уравнению для ?:

? + ?N ? 3? ? = x2 ?F
2
?2
?
(? ? ? )?
2
(17)
,? .
x2
?
Если F (?1 , ?2 ) = ?1 ?(?2 ), то (17) имеет вид

 << Предыдущая стр. 81(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>