<< Предыдущая

стр. 82
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?1 ?
(? ? ? 2 )? + (?N ? 3? 2 )? = ?3 ?(?). (18)
?
B
Если ? = 2, B = const, то (18) — линейное уравнение. Таким образом, при
?2

BAµ Aµ
(19)
F= ,
(xµ Aµ )2
посредством анзаца (6), (13) мы редуцируем нелинейное уравнение к линейному.
При ? = 0 получаем семейство точных решений системы (16), (19):
?1 ?2
xµ ? ?
v v
Aµ = 2 C1 + C2 .
x x2 x2

Здесь C1 , C2 — произвольные постоянные, ?1 , ?2 — корни уравнения ?(?+2)?B =
0.
При ? = 1, N = 0
?
xµ u vx2
Aµ = 2 v .
? 2 ? x2
x
340 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

Функция u = u(? ) определяется в зависимости от знака B + 1 (она является
решением уравнения (? 2 ? 1)? + ? u ? (B + 1)u = 0 [4])
u ?
B + 1 = ?2 > 0,
1)
C1 exp(? arch |? |) + C2 exp(?? arch |? |), |? | > 1,
u=
|? | < 1;
C2 cos(? arccos ? ) + C2 cos(? arcsin ? ),
B + 1 = ??2 < 0,
2)
C1 cos(? arch |? |) + C2 sin(? arch |? |), |? | > 1,
u=
|? | < 1;
C1 exp(? arccos ? ) + C2 exp(?? arccos ? ),
B = ?1,
3)
|? 2 ? 1| + C2 ;
u = C1 ln ? +

C1 , C2 — произвольные постоянные, ? определяются из уравнений (9) для соо-
тветствующих ?, N .

1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
2. Егорченко И.А., Симметрийные свойства нелинейных уравнений для комплексного векторного
поля, Препринт № 89.48, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1989, 39 с.
3. Фущич В.И., Жданов Р.З., Ревенко И.В., Совместность и решения нелинейных уравнений Да-
ламбера и Гамильтона, Препринт № 90.31, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 67 с.
4. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976,
576 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 341–349.

Нелиевские анзацы и условная симметрия
нелинейного уравнения Шредингера
В.И. ФУЩИЧ, И.А. ЕГОРЧЕНКО
Предложен новый подход к построению анзацев, редуцирующих многомерное не-
линейное уравнение Шредингера к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
При этом, кроме известных решений, получаемых с помощью лиевской симметрии,
найдены решения, порождаемые операторами условной инвариантности уравнения
Шредингера.

Введение и постановка задачи. Рассмотрим нелинейное уравнение Шредин-
гера

L = 2iut + ?u ? uF (|u|) = 0. (1)
v
Здесь u — комплекснозначная функция, u = u(t, x), x = (x1 , . . . , xn ), |u| = uu? ,
звездочка обозначает комплексное сопряжение, F — произвольная функция;
?2u
?u ?u
ut ? ua ? ?u ?
, , .
?t ?xa ?xa ?xa
Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование,

xa xa ? xa xa = x2 + x2 + · · · + x2 .
1 2 n

Уравнение (1) инвариантно относительно алгебры Галилея с базисными операто-
рами
? ?
?t ? ?a ? Jab = xa ?b ? xb ?a ,
, ,
?t ?xa (2)
Ga = t?a + ixa (u?u ? u? ?u? ), M = i(u?u ? u?u? )
a, b = 1, . . . , n,
для произвольной функции F .
В [1–3] построены точные решения уравнения (1) методом редукции к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям. При этом использована лиевская симме-
трия уравнения (1), т.е. инвариантность (1) относительно алгебры (2).
Далее будет предложен способ редукции уравнения (1), не использующий в
явном виде его симметрию, к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Этот
способ позволяет построить такие решения уравнения (1), которые не могут быть
получены, если использовать только лиевскую симметрию. В дальнейшем, для
краткости изложения, будем подробно рассматривать построение тех решений,
которые могут быть получены с использованием лиевской симметрии.
Для редукции уравнения (1) используем следующую подстановку:

(3)
u = exp{if (t, x )}?(?),
Укр. мат. журн., 1991, 43, № 12, 1620–1628.
342 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

где f , ? — некоторые неизвестные действительные функции от t и x. Выраже-
ние (3) будет анзацем для (1), если эта подстановка сведет уравнение (1) к обыкно-
венным дифференциальным уравнениям для функции, зависящей только от новой
переменной ?.
Из этого следуют условия на функции f и ?:
2ft + fa fa = R(?), ?f = Q(?),
(4)
fa ?a + ?t = S(?), ?? = V (?), ?a ?a = T (?),
где R, Q, S, V , T — произвольные достаточно гладкие функции, зависящие только
от переменной ?.
Таким образом, задача о редукции уравнения (1) к обыкновенным дифференци-
альным уравнениям сводится к построению в явном виде функций f и ?, удовле-
творяющих системе нелинейных уравнений (4). Если f и ? являются решениями
системы (4), то уравнение (1) посредством анзаца (3) редуцируется к уравнению
2iS(?)? ? R(?)? + iQ(?)? + ? V (?) + ? T (?) = ?F (|?|). (5)
Сначала кратко изложим основные результаты, полученные в работе.
1. Новые анзацы для уравнения Шредингера. Для n = 2, n = 3 найдены
общие решения системы (4) с точностью до эквивалентности относительно под-
становок вида (3).
При n = 2 найден следующий анзац вида (3), который не может быть получен
из операторов симметрии уравнения (1):
1 x2 (t + B1 ) + 2B3 x1 x2 + x2 (t + B2 )
1 2
(6)
? = t, f= ,
(t + B1 )(t + B2 ) ? B3 2
2
где B1 , B2 , B3 — произвольные постоянные.
При B3 = 0 анзац (3), (6) сводится к известному, для которого
x2 x2
1 2
f= + .
t + B2 t + B1
При n = 3 получены следующие анзацы, порождаемые операторами условной
инвариантности: 1) ? = t, f имеет вид (6); 2) ? = t,
1
{?(xa ba )2 + x2 ?2 ?3 + x2 ?1 ?2 + x2 ?1 ?3 + 2x1 x2 ?3 b3 + 2x1 x3 ?2 b2 +
f= 1 2 3
2 (7)
+ 2x2 x3 ?1 b1 }{?1 ?2 ?3 ? b2 ?1 ? b2 ?2 ? b2 ?3 + 2b1 b2 b3 }?1 ,
1 2 3

?k ? t + ak , ak , bk — постоянные.
2. Условная симметрия и решения уравнения (1). Понятие “Условная сим-
метрия (инвариантность) дифференциального уравнения” введено в [4, 5]. Даль-
нейшее развитие и применение этого понятия привело к существенному расшире-
нию возможностей теоретико-алгебраического метода исследования уравнений. С
использованием этого подхода в работах [4–9] построены широкие классы точных
решений многих нелинейных уравнений математической физики.
В настоящей работе мы искали в явном виде решения системы (4) и соо-
тветствующие им анзацы (3). Среди найденных таким образом анзацев есть и
нелиевские, для которых соответствующие им операторы не входят в алгебру (2).
Нелиевские анзацы и условная симметрия уравнения Шредингера 343

Операторы условной инвариантности, соответствующие анзацу (3), ? = t для
произвольного n, описывает следующая теорема.
Теорема 1. Уравнение Шредингера (1), к которому дописаны дополнительные
условия

La = ua ? ifa u = 0, (8)

ивариантно относительно операторов

Qa = r(t, x)(?a + ifa (u?u ? u? ?u? ), (9)
a = 1, . . . , n,

где r(t, x) — произвольная ненулевая функция, f (t, x) удовлетворяет уравнени-
ям

(10)
2ft + fa fa = 0, ?f = Q(t),

Q(t) — некоторая функция.
Замечание 1. Анзац (3) представляет собой общее решение системы (8).
Доказательство теоремы 1. Необходимое и достаточное условие инвариантности
системы (1), (8) относительно операторов (9) имеет вид

ka Q2 (2iut + ?u ? uF (|u|) = 0,
a L=0
La = 0
(11)
ka Q1 (ua ? ifa u) = 0,
a
La =0

где ka — произвольные постоянные, Q1 , Q2 — первое и второе лиевские продол-
a a
жения операторов Qa .
Первое из определяющих уравнений (11) приводится к виду

2i(?t ? ?t ua ) + ?aa + 2?ua ua ? 2?a uab ? ?aa ub = 0,
a b b
? a = ka r.
? = irka fa u,

С учетом дополнительных условий (8) получаем

?2uka r(fat + fb fab ) + irfabb ka = 0

вследствие уравнений (10).
Из второго уравнения (11)

?a + ?u ua ? ?a ub ? ifab ? b u ? ifa ? = 0
b


— тождественное равенство с учетом (8). Теорема доказана.
Запишем операторы условной инвариантности, соответствующие анзацу (3),
? = t, f имеет вид (6), (7).
1) n = 2, f имеет вид (6):

Q1 = (t + B1 )(t + B2 ) ? B3 ?x1 + [x2 B3 + x1 (t + B1 )]M,
2
(12)
Q2 = (t + B1 )(t + B2 ) ? B3 ?x2 + [x1 B3 + x2 (t + B2 )]M,
2


где M ? i[u?u ? u? ?u? ];
2) n = 3, f имеет вид (6): Q1 , Q2 определяются соотношениями (12), ?x3 ;
344 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

3) n = 3, f имеет вид (7):

Qk = T ?k + Nk M, k = 1, 2, 3,
T = (t + a1 )(t + a2 )(t + a3 ) ? b2 (t + a1 )2 ? b2 (t + a2 )2 ? b2 (t + a3 ) + 2b1 b2 b3 ,
1 2 3
Nk = ?xk (bc xc ) + xa ?l ?m + xl ?m bm + xm ?l bl , ? = t + al ,

по k нет суммирования, {1, 2, 3} = {k, l, m}.
Анзац (3), ? = t, f имеет вид (6) или (7), редуцирует (1) к уравнению

(13)
i(Q(t)? + 2? ) = ?F (|?|),

где Q(t) = ?t. Если представить Q(t) в виде Q(t) = ?(t)/?(t), то

c i c
? = v exp ? v (14)
F dt ,
2
? ?
2t+B1 +B2
c — произвольная постоянная; Q(f ) = 2, f имеет вид (6);
(t+B1 )(t+B2 )?B3

3t2 + 2t(a1 + a2 + a3 ) + a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 ? b2 ? b2 ? b2
1 2 3
Q(t) = 2 (t + a ) ? b2 (t + a ) ? b2 (t + a ) ? 2b b b ,
(t + a1 )(t + a2 ) ? b1 1 2 3 123
2 3

f имеет вид (7).
Решения уравнения (1) записываются в виде

1 c c
v v,

<< Предыдущая

стр. 82
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>