<< Предыдущая

стр. 83
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u = exp i f (t, x) ? F dt
2 ? ?
d
где f имеют вид (6), (7), ? = ln ?f .
dt
3. Совместность и симметрия системы (4). Так как мы рассматриваем только
действительные функции f и ?, то T (?) в (4) должна быть неотрицательной. Сле-
довательно, уравнение ?a ?a = T (?) локальными преобразованиями можно приве-
сти к виду T (?) ? 0 или T (?) = 1.
1. В случае ?a ?a = 0, ?a = 0, можно положить ? = ?(t). При подстановке
? = t система (4) приобретает вид

(15)
2ft + fa fa = R(t), ?f = Q(t).

Нашей целью является описание всех анзацев вида (3), редуцирующих уравне-
ние (1) к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому без ограниче-
ния общности можно привести (4) к более простому виду таким образом, что
получаемые при решении этой системы анзацы будут эквивалентными, т.е. приве-
дут к одинаковым решениям уравнения (1).
Очевидно, анзацы вида (3) эквивалентны с точностью до преобразований f >
f + ?(?), поэтому можно считать, что R(t) ? 0.
Далее докажем, что условие совместимости системы (15) R(t) = 0 необходимо
для произвольного n и достаточно для n = 2, 3.
Теорема 2. Система

(16)
2ft + fa fa = 0, ?f = Q(t)
Нелиевские анзацы и условная симметрия уравнения Шредингера 345

совместна только в случае, если
?
?(n+1) ? 0. (17)
Q(t) = ,
?
Доказательство. {fab } — матрица вторых производных функции f размерности
(n ? n). Через Sk обозначим tr({fab }k ) и докажем, что
k?1
(?1)k?1 d
(18)
Sk = Q(t).
(k ? 1) dt
Дифференцируя по xb и xc первое уравнение (16), получаем

(19)
fbct + fabc fa + fab fac = 0.

Доказательство проводится методом математической индукции; S1 = Q(t) —
утверждение для k = 1 верно.
Умножив равенство (19) на fba1 · · · fan?1 c , получаем
1 1
(Sn )t + (Sn?1 )a fa + Sn+1 = 0,
n?1
n
так как Sn?1 , по предположению, функция от t, то (Sn1 )a = 0 и Sn+1 = ? n (Sn )t ,
1

т.е. из справедливости утверждения для k = n следует его справедливость для
k = n + 1.
По теореме Гамильтона–Кэли для матрицы W размерности (n ? n) справедливо
соотношение
n?1
n
(?1)k+1 Mk W n?k + (?1)n+1 E det W, (20)
W=
k=1

Mk — сумма главных миноров порядка k матрицы W , E — единичная матрица
размерности (n ? n).
Если взять следы от равенства (20) и от этого же равенства, умноженного
на W , W = {fab }, то получим следующие уравнения для Sk :
n?1
(?1)k Mk Sn?k + (?1)n · n det W = 0,
Sn +
k=1
n?1
(?1)k Mk Sn+1?k + (?1)n · S1 det W = 0,
Sn+1 +
k=1

откуда
n?1
(?1)k Mk (S1 Sn?k ? nSn+1?k ) = 0 (M0 = 1). (21)
k=0

Методом математической индукции легко показать, что
k?1
1
(?1)k?l?1 Ml Sk?1 ,
Mk =
k
l=0
346 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

(k)
откуда, положив Q(t) = ?(t)/?(t) и используя (18), получаем Mk = k ? ? .
1

Подставим в (21) выражения Mk и Sk через ?(t):
?? ? ?
(n?k?1) (n?k)
k?1 ? ? ?
(k) n?k?1 n?k
1 ? ? ? ? (?1) ? ? ? n(?1) ? ?=
(?1)k
? (n ? k ? 1)! ? (n ? k)!
k! ? ?
k=0

(n?k)
n ?
(?1)n?1 (?1)n?1 ?(n+1)
?
k (k)
= Cn ? = = 0,
(n ? 1)!? (n ? 1)! ?
?
k=0

?(n+1) = 0, что и требовалось доказать.
2. ?a ?a = 1. В [10] установлено, что при n = 3 ?? = N/?, N = 0, 1, 2 (при
n = 2 N = 0, 1).
Покажем, что с точностью до эквивалентности анзацев можно положить S(?)
= 0. Уравнение fa ?a + ?t = S(?) имеет общее решение для f :
?t
f = ?(?i ) ? (22)
dx1 + S(?)d?,
?t
?t
= R(x1 , ?i ), ?i — интегралы уравнения fa ?a = 0. Так как анзацы (3) экви-
?1
?
валентны с точностью до преобразования f > f + ?(?), то из (22) следует, что
можно положить S = 0.
Теорема 3. Система уравнений

2ft + fa fa = R(?), ?f = Q(?),
(23)
fa ?a + ?t = 0, ?a ?a = 1, ?? = N/?,

N = 0, 1 при n = 2, N = 0, 1, 2 при n = 3 совместна только в случае, когда
Q(?) = 0, R(?) = c1 ? + c2 , N = 0; R(?) = c1 /? 2 + c2 , N = 1; R(?) = c1 , N = 2;
c1 , c2 — постоянные.
Замечание 2. Доказательство теоремы 3 проводится аналогична доказательству
теоремы 2. При этом нужно использовать дифференциальные следствия уравне-
ний (23) и теорему Гамильтона–Кэли.
Замечание 3. Для дальнейших рассуждении достаточно использовать тот факт,
что система (4) инвариантна относительно операторов
?
Jab = xa ?b ? xb ?a , (24)
?a , Ga = t?a + xa ?t .

Будем искать общее решение этой системы с точностью до преобразований, поро-
ждаемых этими операторами:

xa > ?a xb + ?a , xa > ga t + xa , (25)

?ab , ga , ?a — постоянные, ?ab ?cb = ?ac (символ Кронекера).
4. Решения системы (4). Нахождение решений системы (4) требует большого
числа громоздких вычислений. Поэтому остановимся более подробно на случае
?a ?a = 0, когда получаются нелиевские анзацы; опишем кратко способ построения
решений, а для ?a ?a = 1 приведем список анзацев.
Нелиевские анзацы и условная симметрия уравнения Шредингера 347

1. ?a ?a = 0. Пусть n произвольное. Рассмотрим общее решение уравнения
Гамильтона–Якоби 2ft + fa fa = 0 ранга n (det{fab } = 0) [11]. Рангом решения
называется ранг матрицы {fab },
t2
f = xa ya ? ya + ?(y), 0 = xa ? tya + ?a , (26)
2
y = (y1 , . . . , yn ) — параметры, ? — произвольная функция.
Из (26) следует
d
det T
?1
?f = tr {t?ab ? ?ya yb } T = {t?ab ? ?ya yb }.
dt
= ,
det T
?
По теореме 2 Q(t) = ?(t)/?(t), ?(n+1) ? 0. Следовательно, det T — полином
no t с постоянными коэффициентами. Коэффициенты det T — главные миноры
матрицы
n?1
{?ya yb } = ?, Mk (?1)k tn?k + (?1)n det ?,
det T =
k=0

Mk — главные миноры матрицы ?, M0 ? 1.
Таким образом, решение системы (16) ранга n имеет вид (26), где ?(y) удовле-
творяет условиям
?? = A1 ,
?11 ?12 ? ?n?1,n
+ · · · + n?1,n?1 = A2 ,
?21 ?22 ?n,n?1 ?nn (27)
························
det ? = An .
При n = 2, n = 3 посредством преобразований Эйлера [11] из (27) можно
получить, что
?ya yb = const, ? = lab ya yb + ka ya + ma ,
L = {lab } — постоянная матрица, ka , ma — произвольные постоянные. Пре-
образования (25) позволяют привести выражение для f (26) к виду, когда ka =
ma = 0.
Из (26)
1
y{Et ? 2L}y, x = {Et ? 2L}y,
f=
2
B1 B3
? 2L}?1 x; n = 2, ?2L =
1
откуда f = — для f получается
2 x{Et B3 B2
? ?
a1 b3 b2
выражение (7); n = 3, ?2L = ? b3 a2 b1 ? — для f получается выражение (7).
b2 b1 a3
Общее решение для уравнения Гамильтона–Якоби в (16) ранга 2 при n = 3
имеет вид
t2
f = y1 x1 + y2 x2 + ?(y1 , y2 )x3 ? (y1 + y2 + ?2 (y1 , y2 )) + ?(y),
2
2
348 В.И. Фущич, И.А. Егорченко

0 = x1 + ?y1 x3 ? t(y1 + ??y1 ) + ?y1 ,
(28)
0 = x2 + ?y1 x3 ? t(y2 + ??y1 ) + ?y2 ,

Подставив выражение для ?f из (28) во второе уравнение (16), можно пока-
зать, что ?y1 , ?y2 — постоянные и преобразованиями (25) уравнения (28) приво-
дятся к виду (26) для n = 2, следовательно, и в этом случае f имеет вид (6).
Решение рассматриваемого уравнения Гамильтона–Якоби ранга 1 имеет вид
t
f = ?a (y)xa ? ?a (y)?a (y) + ?(y),
2 (29)
? a xa ? t?a ?a + ?(y).
? ?
0=?

Подставив выражение для ?f из (29) во второе уравнение (16), можно пока-
?
зать, что ?a (y) — постоянные, ?a = ba y + ca .
С учетом (25) можно положить b2 = b3 = ca = 0, b1 = 1. Тогда f = x2 (2t + c0 ).
1
Решение ранга 0 для произвольного n линейно по x, f = c1 x1 + c2 .
2. ?a ?a = 1. Пара уравнений

(30)
?? = N/?, ? a ?a = 1

инвариантна относительно группы вращений, параметры которой зависят от t

(31)
ya = ?ab (t)xa + ?a (t), ?ab ?cb = ?ac .

Действительные решения системы (30) с точностью до преобразований (31) имеют
вид
x2 + x2
x1 , (n = 2);
1 2
(32)
x2 + x2 , x2 + x2 + x2
x1 , (n = 3).
1 2 1 2 3

Однако вся система (4) не инвариантна относительно преобразований (31), поэто-
му подстановка в (4) решений (32) не даст общего решения системы (4).
Чтобы получить общее решение (4), вместо ? нужно подставлять размножен-
ные посредством преобразований (31) следующие решения (4):

<< Предыдущая

стр. 83
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>