<< Предыдущая

стр. 84
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


2 2 2 2 2 (33)
y1 , y1 + y2 , y1 + y2 + y3 .

Однако значительно проще сначала применить преобразования (31) к уравнениям
(4) и в полученную систему для y и t подставлять выражения (33):
?
2(f? + fya (?ab ?cb (yc ? ?c ) + ?a )) + fya ya = R(?),
? fya ya = 0,
?
fy ?y + ?? + ?y (?ab ?cb (yc ? ?c ) + ?a ) = 0,
? (34)
a a a

N
(xa = ?ba (yb ? ?b ), t = ? ).
?? = , ?y a y a = 1
?
Решив систему (34), получим следующие выражения для f (с точностью до
преобразований (25)):
1) n = 2, n = 3, N = 0,
1
f = ?2atx1 + at3
? = x1 + at2 , + bt;
6
Нелиевские анзацы и условная симметрия уравнения Шредингера 349

2) n = 2, n = 3, N = 1,
x1
x2 + x2 ,
?= f = A arctg + Bt;
1 2
x2
3) n = 3, N = 2,
x2 + x2 + x2 ,
?= f = ct.
1 2 3

Здесь a, b, c, A, B — произвольные постоянные. Приведенным решениям си-
стемы (4) соответствуют известные лиевские анзацы для уравнения Шредингера
[1–3, 6].
5. Заключение. Мы описали все анзацы вида (3), редуцирующие уравнение
Шредингера (1) к нелинейным дифференциальным уравнениям, где функция u
зависит от двух или трех пространственных переменных.
Очевидно, анзацы, для которых соответствующие им инфинитезимальные опе-
раторы не входят в алгебру инвариантности уравнения, и аналогичные (3) (? = t),
можно получить и для произвольного n:
1
x(Et + A)?1 x,
f= x = (x1 , . . . , xm ),
2
A — постоянная матрица (m ? m), m ? n, однако для n > 3 могут существовать
и другие решения.

1. Fushchych W.I., Serov N.I., On some exact solutions of three-dimensional nonlinear Schr?dinger
o
equation, J. Phys. A, 1987, 20, L929–L933.
2. Tajiri M., Similarity reductions of the one and two dimensional nonlinear Schr?dinger equations, J.
o
Phys. Soc. Japan, 1983, 52, № 6, 1908–1917.
3. Gagnon L., Winternitz P., Lie symmetries of a generalized non-linear Schr?dinger equation. I. The
o
symmetry group and its subgroups, J. Phys. A, 1988, 21, № 7, 1493–1511.
4. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? в сб. Симметрия и
решения нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики, 1987, 4–16.
5. Fushchych W., Nikitin A., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, Holland, D. Reidel, 1987,
217 p.
6. Фущич В.И., Штелень В.M., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
7. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some exact solutions of nonlinear d’Alembert and Hamilton
equations, Preprint, Minneapolis, Inst. for Mathematics and Applications, Univ. of Minnesota, 1988,
5 p.
8. Фущич В.И., Серов Н.И., Условная инвариантность и точные решения уравнений Буссинеска,
в сб. Симметрия и решения уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН
УССР, 1989, 96–103.
9. Фущич В.И., Никитин А.Г., Симметрия уравнений квантовой механики, M., Наука, 1990, 400 с.
10. Collins С.В., Complex potential equations. I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1976, 80, 165–184.
11. Фущич В.И., Жданов Р.3., Ревенко И.В., Совместность и решения нелинейных уравнений Да-
ламбера и Гамильтона, Препринт 90.39, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 65 с.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 350–354.

Несимметрийный подход к построению
точных решений одного нелинейного
волнового уравнения
В.И. ФУЩИЧ, И.В. РЕВЕНКО, Р.З. ЖДАНОВ
The exact solutions containing an arbitrary function are obtained for the nonlinear wave
equation.

Группой симметрии двухмерного нелинейного волнового уравнения

utt = a2 (u)ux (1)
+ b(u)
x

при произвольных функциях a(u), b(u) является двухпараметрическая группа сдви-
гов

(2)
t = t + C1 , x = x + C2 , u = u,

C1 , C2 — константы.
Расширение этой группы происходит при конкретизации функций a(u) и b(u).
Этот вопрос детально изучен в [1]. Построению широких классов точных решений
уравнения (1) с использованием его условной симметрии посвящена работа [2].
Ниже без использования в явном виде симметрииных свойств, уравнения (1)
построены семейства его точных решений, содержащие произвольные функции.
Для этого, следуя [3, 4], мы применяем классический метод промежуточного ин-
теграла [5, 6].
Определение. Дифференциальное уравнение в частных производных (ДУЧП)
первого порядка

(3)
G(ut , yx , u, t, x) = 0

называется промежуточным интегралом уравнения (1), если всякое решение
(3) тождественно удовлетворяет соотношению (1).
Справедлива
Теорема 1. Уравнение (1) допускает промежуточный интеграл только в таких
случаях:

b(u) = ?2 A1 (u)A?3 (u);
?
a(u) = A2 (u),
1) 1 1
(4)
? 2 (u)A?3 (u),
b(u) = ?µA
a(u) = A2 (u),
2) 2 2

причем функция G задается формулами

G = ?A2 (u)ux ? ut + ?A?1 (u);
1) 1 1
(5а)
G = ?A2 (u)ux ? ut + H(?t + ?x; ?)A?1 (u).
2) 2 2

Доклады АН УССР, 1991, № 7, 15–19.
Несимметрийный подход к построению точных решений 351

В приведенных формулах ?, ?, ?, µ — произвольные действительные параме-
тры, ? = ±1; A1 (u) — произвольная гладкая функция;
? 1/2
?µ tg (µ1/2 ? + C1 ), µ > 0;
?
H(?; µ) = ?|µ|1/2 th (|µ|1/2 ? + C1 ), µ < 0; (5б)
?
?
?(? + C1 )?1 ,
Функция A2 (u) определяется одним из следующих неявных соотношений:
A2 (u) = (C2 ? ?u)?1 ; (6а)
? = 0, ? = 0,
A2 (u) = (C2 ? 3??u)?1 ; (6б)
? = 0, ? = 0,
A2
A?2 ? ?2 + ? ?3 arctg
??? ?1 = ? 2 > 0, = C2 ? ??u;
2
?
? ?3 A2 ? ?
?2 ?2
??? ?1 = ?? 2 < 0, (6в)
A2 ? + ln = C2 + ??u;
2 A2 + ?
dAi
?
C1 , C2 ? R1 , Ai = .
du
?G
Доказательство. Нетрудно убедиться, что в случае ?ut = 0 соотношение (3) не
является промежуточным интегралом уравнения (1). Поэтому, не умаляя общно-
сти, можно переписать ДУЧП (3) в эквивалентном виде
(7)
ut = F (ux , u, t, x).
Рассмотрим переопределенную систему ДУЧП, состоящую из уравнения (1) и
дифференциальных следствий первого порядка из уравнения (7)
utt ? a2 (u)ux ? b(u) = 0, utt ? Fux utx ? Fu Ft = 0,
x
(8)
utx ? Fux uxx ? Fu ux ? Fx = 0.
Согласно [2, 3], необходимым условием того, чтобы выражение (7) было проме-
жуточным интегралом, является равенство нулю определителя матрицы, состав-
ленной из коэффициентов при utt , utx , uxx . Вычисляя этот определитель, имеем
Fux = a2 (u), откуда F = ?a(u)ux + f (u, t, x), ? = ±1. Подстановка полученного
2

результата в систему (8) приводит ее к виду
utt ? (a2 ux )x ? b = 0,
utt ? ?autx ? (?aux + f )(?aux + fu ) ? ft = 0, (9)
?
utx ? ?auxx ? ux (?aux + fu ) ? fx = 0,
?
da
где a = du .
?
Умножая первое уравнение системы (9) на 1, второе — на ?1, третье — на ?a
и складывая полученные выражения, имеем
?b + ux (?af + 2?afu ) + f fu + ft + ?afx = 0. (10)
?
Наконец, расщепляя равенство (10) по степеням ux , приходим к необходимым
и достаточным условиям того, что (7) является промежуточным интегралом урав-
нения (1).
f fu + ft + ?afx ? b = 0. (11)
af + 2afu = 0,
?
352 В.И. Фущич, И.В. Ревенко, Р.З. Жданов

Анализ системы ДУЧП (11) показывает, что ее общее решение при ft = fx = 0
задается формулами

b(u) = ?2 A1 (u)A?3 (u), f (u) = ?A?1 (u);
?
a(u) = A2 (u),
1 1 1

а при f t + fx = 0 —
2


b(u) = ?µA2 (u)A?3 (u), f (u, t, x) = H(?t + ?x; µ)A?1 (u),
?
a(u) = A2 (u),
2 2 2

где A1 (u) — произвольная гладкая функция, а функции H(?; µ), A2 (u) определены
в (5б), (6). Теорема доказана.
Замечание. В процессе доказательства теоремы было установлено тождество
? ?
G = utt ? [a2 (u)ux ]x ? b(u),
+ ?a(u)
?t ?x
где функции a(u), b(u), G задаются формулами (4), (5). Следовательно, задача по-
строения частных решений нелинейного уравнения (1) сводится к интегрированию
одного из ДУЧП первого порядка

ut ? ?A2 (u)ux ? ?A?1 (u) = 0,
1) 1 1
(12)
ut ? ?A2 (u)ux ? H(?t + ?x; µ)A?1 (u) = 0.
2) 2 2

Но всякое квазилинейное скалярное ДУЧП первого порядка инвариантно отно-
сительно бесконечнопараметрической группы Ли [4]. Из этого вытекает, что урав-
нение (1) имеет подмножества решений, инвариантные относительно более ши-
рокой группы, чем все множество решений в целом. Иначе говоря, нелинейное
ДУЧП (1) при указанных функциях a(u), b(u) обладает нетривиальной условной
симметрией [2, 5].
Общее решение ДУЧП первого порядка вида (12) представляется в виде

(13)
??1 = ?(?2 ),

где ? — дискретный параметр, равный либо 0, либо 1; ? ? C 2 (R1 , R2 ) — прои-
звольная функция; ?1 (u, t, x), ?2 (u, t, x) — первые интегралы соответствующей
системы уравнений Эйлера–Лагранжа.
Для уравнения 1) из (12) система Эйлера–Лагранжа имеет вид
dt dx du
(14)
= 2 (u) = .
?A?1 (u)
??A1
1 1

При ? = 0 одним из первых интегралов этой системы является функция ?1 = u.
Еще один первый интеграл получается в результате интегрирования обыкновенно-
го дифференциального уравнения с раздельными переменными dt = ??A?2 (?1 )dx,
1
2
откуда ?2 = tA1 (u) + ?x. Подобным же образом интегрируются уравнения (14) при

<< Предыдущая

стр. 84
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>