<< Предыдущая стр. 86(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
? ?
358 W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov

The general solution of the first system in (13) is given by the formula [6]
?(?) = exp{i??1 (??)1/2k ?}?,
?
where ? is a constant four-componet column.
By substitutiong the above expression into the first ansatz in (12) we obtain the
new family of exact solutions of the nonlinear spinor equation (1) containing the three
arbitrary functions ?n (x0 + x3 ), n = 1, 3
?(x) = ?1 exp{(2?1 )?1 [(?1 x1 + ?2 )?1 + ((2k ? 1)?1 x2 + ?3 )?2 ](?0 + ?3 )} ?
k
? ? ?
(14)
? exp{i??1 (??)1/2k (?1 x1 + ?2 )}?.
?
Let us emphasize that ans?tze (12) are noninvariant under the three-parameter
a
subgroups of the symmetry group admitted by Eq. (1) (in the case involved it is the
?
extended Poincar? group P (1, 3) (see Ref. [6])) and, consequently, they cannot be
e
obtained in the framework of the traditional Lie approach.
3. Conditional invariance of nonlinear Dirac equation
Let us now construct the non-Lie ans?tze (12) using the conditional invariance of
a
the nonlinear Dirac equation (1).
Definition. Equation (1) is conditionally invariant with respect to the operators
(15)
Q? = ?? µ (x)?µ + ?? (x), ? = 1, N ,
where ?? µ (x) are real scalar functions and ?? (x) are variable 4 ? 4 matrices if the
system
?
{i?µ ?µ ? ?(??)1/2k }? = 0, Q? ? = 0, ? = 1, N (16)
is invariant in the Lie sense under the one-parameter transformations groups gene-
rated by the operators Q? .
Described another way, Eq. (1) possesses conditional symmetry if the set of its
solutions contains the nonempty subset that does not coincide with the whole set
having nontrivial symmetry.
We shall point out the explicit form of the operators Qn , n = 1, 3 such that (14)
satisfies system (16). For this purpose it is necessary to solve the following system
of algebraic equations on the functions ??µ , ?? :
?nµ ?µ ? = 0,
?n ? [?nµ ?µ exp{?0 + (?1 ?1 + ?2 ?2 )(?0 + ?3 )}] ? (17)
? exp{??0 ? (?1 ?1 + ?2 ?2 )(?0 + ?3 )}.
Here ?, ?0 , ?1 , and ?2 are scalar functions determined by the first set of formulas
in (7) and n = 1, 3.
Solving Eqs. (17) one has
1
Q1 = (?0 ? ?3 ),
2
1
Q2 = ?1 ?2 + (1 ? 2k)?1 ?2 (?0 + ?3 ),
?
2
(18)
1
Q3 = ?1 (?0 + ?3 ) ? ?1 (x1 ?1 + x2 ?2 ) ? ?2 ?2 ? k ?1 +
? ? ?
2
+ (2?1 )?1 [(2?1 ?2 ? ?1 ?2 )?1 + 2(?3 ?1 ? ?1 ?3 )?2 ](?0 + ?3 ) +
?? ? ? ?
+ (2?1 )?1 (2?1 ? ?1 ?1 )(?1 x1 + (2k ? 1)?2 x2 )(?0 + ?3 ).
?2 ?
On the non-Lie reduction of the nonlinear Dirac equation 359

It is evident that the operators Q2 and Q3 are not linear combinations of the
generators of the extended Poincar? group; consequently, they do not belong to the
e
Lie algebra of the symmetry group of Eq. (1). By direct verification one can be
convinced that the following relations hold:
?
Q1 L = 0,
1
? ?1
?
Q2 L = 2(2k ? 1)?1 ?2 Q1 ? + 2k ?1 ?1 (?0 + ?3 )Q2 ? + (2k ? 1)?1 ?2 (?0 + ?3 )L,
? ?
2
?1
?
Q3 L = 2?1 [(?1 ?1 ? 2?1 )(?1 x1 + (2k ? 1)?2 x2 ) + (?1 ?2 ? 2?1 ?2 )?1 +
?2
? ? ??
?2
+ 2(?1 ?3 ? ?3 ?1 )?2 ]Q1 ? + 2?1 [(1 ? k)(2?1 ? ?1 ?1 )x2 + ?1 ?3 ?
?2
? ? ? ?
? ?1
? ?3 ?1 ]Q2 ? + 2?1 ?1 (?0 + ?3 )Q3 ? ?
?
? {?1 + (2?1 )?1 (2?1 ? ?1 ?1 )(?1 x1 + (2k ? 1)?2 x2 )(?0 + ?3 ) +
?2
? ?
+ (2?1 )?1 [(2?1 ?2 ? ?1 ?2 )(?1 + 2(?3 ?1 ? ?1 ?3 )?2 ](?0 + ?3 )}L,
?? ? ? ?
?
where Qa designates the first prolongation of the operator Qa ,
?
L = i?µ ?µ ? ? ?(??)1/2k ?.

In addition, the commutational relations of the form
[Q2 , Q3 ] = ?2?1 Q2
[Q1 , Q2 ] = [Q1 , Q3 ] = 0, ?

hold true.
Hence follows that the nonlinear Dirac equation (1) is conditionally invariant with
respect to the operators (18).
In the same way it is established that the second and third ans?tze in (12) can be
a
obtained by using conditional invariance of Eq. (1).
In conclusion, let us note that ansatze (12) reduce to ODEs the more general
spinor equations
{i?µ ?µ ? [f1 ((??)(??4 ?)?1 ) + f2 ((??)(??4 ?)?1 )(??)1/2k }? = 0,
? ? ? ? ?

where fa ? C 1 (R1 , C1 ).
4. Discussion
We emphasize once more that ansatze for the spinor field ? constructed above
cannot be obtained with the help of symmetry reduction by subgroups of the invarian-
ce group of Eq. (1), These ans?tze can be constructively described within the frame-
a
work of the conception of “conditional invariance” introduced for the first time in
Refs. [5] and [7] (see Appendix 4 of Ref. [7]). It seems impossible to obtain the
complete description of conditional symmetry of the nonlinear Dirac equation (1) since
(1) since the determining equations on the coefficients of the infinitesimal operators,
unlike the classical case, are nonlinear equations.
Conditional symmetry of some other nonlinear mathematical physics equations has
been investigated in Refs. [8–11]. Let us also mention that the wide classes of exact
solutions of Eq. (1) that correspond to its Lie symmetry were constructed in Ref. [12].
360 W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov

1. Ovsjannikov L.V., Group analysis of differential equations, Moscow, Nauka, 1978.
2. Olver P.J., Applications of Lie groups to differential equations, New York, Springer,1986.
3. Fushchych W.I., Tsifra I.M., J. Phys. A: Math. Gen., 1987, 20, L45.
4. Fushchych W.I., in Symmetry and Solutions of the Nonlinear Mathematical Physics Equations, Kiev,
Institute of Mathematics, 1987, p. 4.
5. Fushchych W.I., Ukr. Mat. Zh., 1987, 39, 116.
6. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Phys. Rep., 1989, 172, 123.
7. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, Kluwer, 1987.
8. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., Symmetry analysis and exact solutions of nonlinear
mathematical physics equations, Kiev, Naukova Dumka, 1989.
9. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, 1988, № 10, 28.
10. Fushchych W.I., Serov N.I., Dokl.Akad. Nauk Ukr. SSR, 1990, № 7, 24.
11. Fushchych W.I., Chopik V.I., Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, 1990, № 4, 30.
12. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., Nonlinear spinor equations: symmetry and exact solutions, Kiev,
Naukova Dumka, 1991.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 361–378.

Общие решения нелинейного волнового
уравнения и уравнения эйконала
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ, И.В. РЕВЕНКО
Предложен конструктивный метод интегрирования переопределенной системы не-
линейных комплексных волновых уравнений Д’Аламбера и эйконала 2u = F1 (u),
uxµ uxµ = F2 (u). С помощью этого метода получено полное аналитическое описание
множества гладких решений этой системы.

1. Введение. Проблема построения широких классов точных решений нелиней-
ных пуанкаре-инвариантных скалярных уравнений посредством метода редукции
их к обыкновенным дифференциальным уравнением сводится к следующей задаче:
конструктивно описать все гладкие точные решения связки уравнений вида [1–3]

2u = F1 (u), 2 = ? 2 /?x2 ? ?3 , (1)
0

?u
(2)
uxµ uxµ = F2 (u), uxµ = ,
?xµ

где u = u(x0 , x1 , x2 , x3 ) ? C 2 (C4 , C1 ); F1 , F2 ? C 1 (C1 , C1 ) — произвольные фун-
кции.
Связка уравнений (1), (2) возникает и в других задачах математической физики
[4].
Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам предполагается суммиро-
вание в псевдоевклидовом пространстве R(1, 3) с метрическим тензором gµ? =
diag (1, ?1, ?1, ?1), т.е.
3
gµ? uxµ ux? = u2 0 ? u2 1 ? u2 2 ? u2 3 .
uxµ uxµ = x x x x
µ,?=0

В случае, когда F2 = 0, система (1), (2) совместна тогда и только тогда, когда
F1 = 0 [4–5]. Поэтому система дифференциальных уравнений

2u = 0, (3)
uxµ uxµ = 0

будет рассмотрена отдельно.
В случае, когда F2 (u) = 0, система уравнений (1), (2) с помощью локальной
замены зависимой переменной
u
[F2 (? )]?1/2 d?
u>u = (4)

приводится к виду

2u = F (u), (5)
Укр. мат. журн., 1991, 43, № 11, 1471–1486.
362 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

(6)
uxµ uxµ = 1.

В настоящей работе установлены необходимые и достаточные условия совме-
стности переопределенной системы дифференциальных уравнений в частных прои-
зводных (ДУЧП) (5), (6) и построены общие решения систем (3) и (5), (6) в классе
гладких функций.
2. Формулировка результатов. Приведем основные результаты работы в виде
следующих утверждений.
Теорема 1 [6]. Уравнения (5), (6) совместны тогда и только тогда, когда
F (u) = N (u + C)?1 , (7)
где C ? C1 — произвольная константа, N — дискретный параметр, принима-
ющий одно из значений 0, 1, 2, 3.
Теорема 2. Общее решение уравнения эйконала
? ? C 1, (8)
uxµ uxµ = ?,
задается одной из следующих неявных формул:
(9)
1) u(x) = Aµ (v1 , v2 , v3 )xµ + B(v1 , v2 , v3 ),
где va = va (x), a = 1, 3, — гладкие функции, определяемые формулами
?Aµ ?B
xµ + = 0, a = 1, 3,
?va ?va
а Aµ , B — произвольные гладкие функции, удовлетворяющие
3 3
Aµ Aµ = ?, rank ?Aµ /?va = 3;
µ=0 a=1

(10)
2) u(x) = Aµ (v1 , v2 )xµ + B(v1 , v2 ),

где vk = nk (x), k = 1, 2, гладкие функции, определяемые формулами
?Aµ ?B
xµ + = 0, k = 1, 2,
?vk ?vk
а Aµ , B — произвольные гладкие функции, удовлетворяющие
3 2
Aµ Aµ = ?, rank ?Aµ /?vk = 2;
µ=0 k=1

(11)
3) u(x) = Aµ (z)xµ + B(z),

где z = z(x) — гладкая функция, определяемая формулой
?Aµ dB
xµ + = 0,
dz dz
Aµ , B — произвольные гладкие функции такие, что выполнено Aµ Aµ = ?.
Теорема 3. Общее решение системы ДУЧП
2u = 3(u + C)?1 , (12)
uxµ vxµ = 1
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 363

определяется формулой
(u + C)2 = (xµ + Aµ (? ))(xµ + Aµ (? )), (13)
где функция ? = ? (x) определяется неявным образом:
(14)
(xµ + Aµ (? ))Bµ (? ) = 0,
функции Aµ (? ), Bµ (? ) удовлетворяют соотношениям
(15)
Bµ Aµ = 0, Bµ Bµ = 0
(здесь и далее точка над функцией одного аргумента означает производную
по нему).
Теорема 4. Общее решение системы ДУЧП
2u = 2(u + C)?1 , (16)
uxµ uxµ = 1
задается одной из следующих формул:
1) (u + C)2 = (xµ + Rµ (? ))(xµ + Rµ (? )) + [Bµ (? )(xµ + Rµ (? ))]2 , (17)
?
 << Предыдущая стр. 86(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>