<< Предыдущая

стр. 87
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где функция ? = ? (x) определяется неявным образом: xµ + Rµ (? ))Bµ (? ) = 0,
а Rµ (? ), Bµ (? ) — произвольные гладкие функции, удовлетворяющие отноше-
? ??
ниям Rµ = T Bµ , Bµ Bµ = 0, Bµ Bµ = ?1 при произвольной функции T = T (? );
2) (u + C)2 = (xµ + Rµ (? ))(xµ + Rµ (? )) + [dµ (xµ + Rµ (? ))]2 , (18)
где функция ? = ? (x) определяется неявным образом:
? ?
(xµ + Rµ (? ))Rµ (? ) + (xµ + Rµ (? ))dµ (d? R? (? )) = 0,
dµ = const, dµ dµ = ?1, Rµ (? ) — произвольные функции, удовлетворяющие соо-
?? ?
тношению Rµ Rµ + (dµ Rµ )2 = 0.
Теорема 5. Общее решение системы ДУЧП 2u = (u+C)?1 , uxµ uxµ = 1 задается
формулой
(u + C)2 = (aµ xµ + h1 )2 ? (dµ xµ + h2 )2 , (19)
где hk = hk (?µ xµ ) ? C 2 (C1 , C1 ), k = 1, 2, — произвольные функции, aµ , dµ ,
?µ — произвольные комплексные параметры, удовлетворяющие соотношениям
aµ aµ = ?dµ dµ = 1, aµ dµ = aµ ?µ = dµ ?µ = ?µ ?µ = 0.
Теорема 6. Общее решение системы ДУЧП 2u = 0, uxµ uxµ = 1 задается фор-
мулой
(20)
u = Aµ (? )xµ + R1 (? ),
где функция ? = ? (x) определяется неявным образом: Bµ (? )xµ + R2 (? ) = 0, а
?
функции Aµ (? ), Bµ (? ), R1 (? ), R2 (? ) связаны соотношениями Aµ Aµ = 1, Aµ Bµ =
0, Bµ Bµ = 0.
Теорема 7. Общее решение системы ДУЧП (3) задается одной из формул
(21а)
1) u(x) = Aµ (?1 , ?2 )xµ + B(?1 , ?2 ),
364 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

где функции ?k = ?k (x), k = 1, 2, определяются неявным образом:

?Aµ (?1 , ?2 ) ?B(?1 , ?2 )
xµ + = 0, k = 1, 2,
??k ??k
а Aµ (?1 , ?2 ), B(?1 , ?2 ) — произвольные функции, связанные соотношениями

?Aµ ?Aµ
Aµ Aµ = 0, = 0, k, n = 1, 2;
??k ??n

(21б)
2) G(u, Aµ (u)xµ , Bµ (u)xµ ) = 0,

где G ? C 1 (C3 , C1 ) — произвольная функция, Aµ (u), Bµ (u) — произвольные
гладкие функции, связанные соотношениями Aµ Aµ = Bµ Bµ = Aµ Bµ = 0.
Таким образом, теоремы 3–7 содержат полное аналитическое описание решений
системы ДУЧП (1), (2) во всех случаях, когда эта система совместна.
Подробное доказательство теоремы 1 проведено в работе [6], а доказательства
остальных теорем приводятся в следующем пункте.
3. Доказательство теорем 2–7. Приведем подробные доказательства теорем 2,
3, а в остальных случаях ограничимся изложением схемы доказательства. В осно-
ве нашего подхода к интегрированию ДУЧП вида (1), (2) и (8) лежит обобщение
метода нелокальных преобразований [7, 8] на случай многомерных нелинейных
дифференциальных уравнений, предложенное в [6].
Определение 1. Преобразование зависимых и независимых переменных

r ? 1,
xµ = fµ (x, u, u, . . . , u), u = f (x, u, u, . . . , u), (22)
r r
1 1

где fµ , f — r раз непрерывно дифференцируемые функции, символом u обо-
s
значен набор производных от функции u = u(x) s-го порядка, называется
нелокальным преобразованием порядка r.
Основная идея развиваемого метода нелокальных преобразований состоит в
том, чтобы для заданного нелинейного ДУЧП указать в явном виде нелокальное
преобразование (22), приводящее его к линейному уравнению. Если для преобра-
зованного уравнения удается построить общее или частное решение, то, обращая
преобразование (22), получаем решение исходного нелинейного ДУЧП.
Особая роль в теории ДУЧП первого порядка принадлежит контактным преоб-
разованиям — нелокальным преобразованиям вида

xµ = fµ (x, u, u), u = f (x, u, u), uxµ = gµ (x, u, u), (23)
1 1 1

которые сохраняют условия касания первого порядка, т.е.
3 3
du ? uxµ dxµ = 0 =? du ? uxµ dxµ = 0.
µ=0 µ=0

Этот факт связан с тем, что всякие два скалярных ДУЧП первого порядка могут
быть переведены друг в друга подходящим контактным преобразованием [9].
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 365

Доказательство теоремы 2. Из (8) следует, что величины ux0 , ux1 , ux2 , ux3
функционально зависимы, откуда заключаем, что
3
?uxµ 3
det = det uxµ x? = 0.
µ,?=0
?x? µ,?=0

Следовательно, ранг матрицы U = uxµ x? 3 µ,?=0 принимает одно из значений 1, 2,
3. Каждый из этих случаев необходимо рассмотреть отдельно.
Случай 1; rank U = 3. При таком условии существует ненулевой минор матрицы
U третьего порядка. Производя, если это необходимо, замены переменных x0 >
ixa , xa > ix0 , либо xa > xb , xb > xa , 1 ? a ? 3, 1 ? b ? 3, при которых уравнение
(8) остается инвариантным, можем считать, что
3
(24)
det uxa xb = 0.
a,b=1

Произведем в (8) следующее нелокальное преобразование:
3
xa uxa ? u,
y0 = x0 , ya = uxa , H(y) =
(25)
a=1
Hy0 = ?ux0 , Hya = xa , a = 1, 3.

Нетрудно проверить, что (25) — это контактное преобразование, которое яв-
ляется обобщением классического преобразования Эйлера для двух независимых
переменных [7, 8]. Кроме того, это преобразование является взаимно-однозначным
в силу (24).
В новых переменных yµ , H(y) уравнение (8) принимает вид
1/2
3
Hy0 = ? ? + 2
ya ,
a=1

т.е. замена (25) приводит ДУЧП (8) при условии (25) к линейному уравнению,
общее решение которого задается следующей формулой:
1/2
3
H = ?y0 ? B(y1 , y2 , y3 ),
2
(26)
?+ ya
a=1

где B ? C 1 (C3 , C1 ) — произвольная функция. Подставляя (26) в (25), приходим к
такому выражению для u(x):
1/2
3 3 3
xa ya ? H = x0 2
(27)
u(x) = ?+ ya + xa ya + B(y1 , y2 , y3 ),
a=1 a=1 a=1

причем функции ya = ya (x) определяются неявными соотношениями
?1/2
3
xa = Hya = ?x0 ya ? Bya ,
2
(28)
?+ yb a = 1, 3.
b=1
366 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Обозначая в (28)
1/2
3
2
ya (x) = va (x), A0 (v1 , v2 , v3 ) = ?+ vb ,
b=1
A0 (v1 , v2 , v3 ) = ?va , a = 1, 3,
получаем формулы (9).
Случай 2; rank U = 2. В этом случае, не умаляя общности, можно считать, что
2
(29)
det uxa xb = 0.
a,b=1

и, кроме того, существует функция S ? C 1 (C4 , C1 ) такая, что S(ux0 , ux1 , ux2 , ux3 )
= 0 и выражения S(ux0 , ux1 , ux2 , ux3 ), uxµ uxµ ? ?, рассматриваемые как функции
от переменных uxµ , функционально-назависимы.
С учетом сказанного, уравнение (8) при условии (29) представляется в виде
1/2
3
u2 a
ux0 = ?+ , S(ux0 , ux1 , ux2 , ux3 ) = 0
x
a=1
или
1/2
3
u2 k + W 2 (30)
ux0 = ?+ , ux3 = W (ux1 , ux2 ).
x
k=1

Совершим в (30) следующее контактное преобразование:
2
yk Hyk ? H,
x0 = y0 , xk = Hyk , x3 = y3 , u=
(31)
k=1
ux0 = ?Hy0 , ux3 = ?Hy3 ,
uxk = yk , k = 1, 2,
откуда
1/2
Hy0 = ? ? + y1 + y2 + W 2 (y1 , y2 ) Hy3 = ?W (y1 , y2 ).
2 2
,
Интегрируя эту систему ДУЧП, имеем
1/2
H = ?y0 ? + y1 + y2 + W 2 ? y3 W ? B(y1 , y2 ),
2 2
(32)
где B ? C 1 (C2 , C1 ) — произвольная функция.
Подставляя полученный результат в формулы (31), получаем следующее выра-
жение для функции u(x):
1/2
u = x1 y1 + x2 y2 ? H = x0 ? + y1 + y2 + W 2
2 2
(33)
+ x3 W + B(y1 , y2 ),
причем функции y1 (x), y2 (x) определяются неявными соотношениями
?1/2
xk = ?x0 (yk + W Wyk ) ? + y1 + y2 + W 2 ? x3 Wyk ? Byk ,
2 2
k = 1, 2.(34)
Обозначая в (33), (34)
1/2
yk (x) = vk (x), k = 1, 2, A0 (v1 , v2 ) = ? + v1 + v2 + W 2 (v1 , v2 )
2 2
,
Ak (v1 , v2 ) = ?vk , k = 1, 2, A3 (v1 , v2 ) = ?W (v1 , v2 ),
приходим к формулам (10).
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 367

Случай 3; rank U = 1. В этом случае, не умаляя общности, можно считать, что
а) ux0 x0 = 0; б) ? Wa = Wa (ux0 ? C 1 (C1 , C1 ): uxa = Wa (ux0 ), a = 1, 3.
С учетом этого факта уравнение эйконала (8) представляется в виде
1/2
3
2
(35)
ux0 = ?+ Wa (ux0 ) , uxa = Wa (ux0 ), a = 1, 3.
a=1

Совершим в (35) следующее контактное преобразование

y0 = ux0 , ya = xa ,
(36)
H = x0 ux0 ? u, Hy0 = x0 , Hya = ?uxa , a = 1, 3,

которое является взаимно-однозначным при условии ux0 x0 = 0. В новых перемен-
ных yµ , H(y) переопределенная система ДУЧП (35) принимает вид
3
Hya = ?Wa (y0 ), Wa (y0 ) = y0 ? ?,
2 2
a = 1, 3,
a=1

откуда
3
H=? Wa (y0 )ya ? B(y0 ), (37)
a=1

где B(y0 ) ? C 1 (C1 , C1 ) — произвольная функция.
Подставив формулу (37) в (36), получим следующее выражение для функции
u = u(x):
1/2
3 3
u = x0 y0 ? H = x0 2
(38)
?+ Wa (y0 ) + Wa (y0 )xa + B(y0 ),
a=1 a=1

причем функция y0 = y0 (x) определяется из соотношения
?1/2
3 3 3
? ? ?
2
Wa (y0 )xa + B(y0 ) = 0, (39)

<< Предыдущая

стр. 87
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>