<< Предыдущая

стр. 88
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x0 Wa (y0 )Wa (y0 ) ? + Wb (y0 ) +
a=1 a=1
b=1

3
и выполнено равенство y0 ?
2 2
Wa (y0 ) = ?.
a=1
Вводя в (38), (39) обозначения
1/2
3
Aa (z) = ?Wa (z),
2
y0 (x) = z(x), A0 (z) = ?+ Wa (z) , a = 1, 3,
a=1

приходим к формулам (11).
Кроме того, нам необходимо рассмотреть вырожденный случай, когда матрица
U = uxµ x? 3
µ,?=0 нулевая, т.е. uxµ x? = 0, µ, ? = 0, 3. Отсюда следует

(40)
u(x) = cµ xµ + c4 ,
368 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

причем комплексные константы cµ , c4 удовлетворяют соотношению

(41)
cµ cµ = ?.

Легко видеть, что формулы (40), (41) получаются из (11), если положить Aµ = cµ ,
B = c4 .
Таким образом, общее решение нелинейного ДУЧП задается одной из формул
(9)–(11). Теорема доказана.
Доказанная теорема иллюстрирует основные этапы применения метода нело-
кальных преобразований, последовательная реализация которого позволила полу-
чить полное аналитическое описание множества гладких решений нелинейного
уравнения эйконала (8). Отметим, что это множество разбивается на три непере-
секающихся класса, каждый из которых характеризуется дискретным параметром
r = rank U . Причем это разбиение является пуанкаре-инвариантным, т.е. разли-
чные классы не переводятся друг в друга преобразованиями из группы Пуанкаре
P (1, 3).
Доказательство теоремы 3. Идея доказательства состоит в следующем: со-
вершив контактное преобразование вида (23), линеаризовать и проинтегрировать
второе уравнение системы (12), а затем подставить полученный результат в пер-
вое уравнение, записанное в новых переменных. Полученные системы ДУЧП с
меньшим количеством независимых переменных интегрируются в общем виде.
Множество решений системы (12) также разбивается на три непересекающихся
класса в зависимости от значения величины r = rank uxµ x? 3 µ,?=0 . Мы рассмо-
трим каждый из случаев r = 1, 2, 3 отдельно.
Случай 1; r = 3. Не умаляя общности, можно считать, что выполнено (24).
Совершим в (12) преобразование (25), для чего необходимо продолжить его до
производных второго порядка (см., например, [8]). После несложных, но довольно
громоздких, преобразований получаем

u22 u23 u12 u23
??1 , ??1 ,
H12 = ?
H11 =
u23 u33 u13 u33
u12 u22 u11 u13
??1 , ??1 ,
H31 = ? H22 =
u13 u23 u13 u33
u11 u12 u11 u12
??1 , ??1 ,
H23 = ? H33 =
u13 u23 u12 u22
(42)
u01 u02 u03 u11 u12 u13
??1 , ??1 ,
= ? u12 = ? u01
u22 u23 u02 u03
H01 H02
u13 u23 u33 u13 u23 u33
u11 u12 u13
??1 ,
= ? u12 u22 u23
H03
u01 u02 u03
?1
H00 = ? det uµ? 3 3
µ,?=0 ? , ? = det uab a,b=1 .

В приведенных формулах использованы обозначения Hµ? = Hyµ y? , uµ? = uxµ x? ,
µ, ? = 0, 3. Следует подчеркнуть, что при условии (24) замена переменных (25),
(42) является взаимно-однозначной.
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 369

Совершая при необходимости замену переменных u > u + C, можно добиться,
чтобы в (12) C = 0.
Переходя в (12) к переменным yµ , H(y) согласно формулам (25), (42), имеем

+ M2 (H) + 3[T (H)]?1 det Hya yb
3 3
det Hyµ y? = 0,
µ,?=0 a,b=1
1/2
3 (43)
Hy 0 = ? 1 + 2
ya ,
a=1

где T (H) = ya Hya ? H, символом M2 (H) обозначена сумма главных миноров
матрицы Hyµ y? 3 µ,?=0 второго порядка.
Подставляя общее решение второго уравнения системы (43), задаваемое фор-
мулой (26) при ? = 1, в первое уравнение и умножая полученный результат на
[T (H)], замечаем, что полученное выражение переписывается в виде полинома
второй степени попеременной y0 , т.е.
2
a1 y0 + a2 y0 + a3 = 0, a1 = ?3 B + ya yb Bya yb + 3T (B),
a2 = M2 (B) + (?3 B)Bya yb ya yb ? ya yb Bya yc Byb yc ? 3[T (B)]2 , (44)
a3 = (1 + ya ya ) det Bya yb 3 3
a,b=1 + [T (B)] .

Здесь и далее под повторяющимися индексами, обозначенными буквами a, b, c,
подразумевается суммирование от 1 до 3; k, l, n — от 1 до 2.
Так как величины a1 , a2 , a3 не зависят от переменной y0 , то из (44) немедленно
следует, что a1 = a2 = a3 = 0. Следовательно, система двух нелинейных ДУЧП
(12) при условии rank uxµ x? = 3 приведена к системе трех нелинейных ДУЧП с
тремя независимыми переменными
?3 B + ya yb Bya yb = ?3T (B);
1)
M2 (B) + ya yb Bya yb · ?3 B ? ya yb Bya yc Byb yc = 3T 2 (B);
2) (45)
?1
a,b=1 = ?T (B)(1 + ya ya )
det Bya yb 3 3
3) .

Система (45) существенно упрощается, если сделать в ней замену переменных

za = ya (1 + yb yb )?1/2 , p(z1 , z2 , z3 ) = (1 + ya ya )?1/2 B(y1 , y2 , y3 ). (46)

Совершив в (45) замену (46), после довольно громоздких преобразований будем
иметь
?3 p ? za zb pza zb = 0, M2 (p) ? (?3 p)za zb pza zb + za zb pza zc pzb zc = 0,
(47)
det pza zb 3a,b=1 = 0,

где, как и ранее, ?3 p = pza za , M2 (p) — сумма главных миноров второго порядка
матрицы P = pza zb 3 a,b=1 .
Из третьего уравнения системы (47) следует, что матрица P является выро-
жденной. Поэтому ее ранг равен либо 1, либо 2. Рассмотрим отдельно каждый из
этих случаев.
Случай 1.1; rank P = 1. Из этого условия согласно теореме о неявной функции
следует существование таких функций R1 , R2 ? C 2 (C1 , C1 ), для которых

(48)
pzk = Rk (pz3 ), k = 1, 2.
370 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Подставляя (48) во второе уравнение системы (47), видим, что оно удовлетворя-
ется тождественно при произвольных R1 , R2 . Первое же уравнение принимает
вид
?? ?
1 + Rk Rk ? (zk Rk + z3 )2 pz3 z3 = 0,

откуда либо
(49)
pz3 z3 = 0,
либо
?? ?
1 + Rk Rk ? (zk Rk + z3 )2 = 0, (50)
где Rk = dRk /dpz3 , k = 1, 2.
Пусть справедливо равенство (49), тогда, дифференцируя (48) по z3 , имеем
pz3 z1 = pz3 z2 = 0.
Дифференцируя (48) по z1 , z2 , окончательно заключаем, что pza zb = 0, a, b =
1, 3, откуда
cµ ? C1 . (51)
p = ca za + c0 ,
Пусть теперь pz3 z3 = 0, тогда выполнено равенство (50). Для того чтобы проин-
тегрировать систему нелинейных ДУЧП первого порядка (48), (50), совершим
контактное преобразование
tk = zk , t3 = pz3 , G(t1 , t2 , t3 ) = z3 pz3 ? p,
Gtk = ?pzk , Gt3 = z3 , k = 1, 2.
В результате имеем
?? ?
Gtk = ?Rk (t3 ), 1 + Rk Rk ? (tk Rk + Gt3 )2 = 0. (52)
k = 1, 2,
Интегрируя первые два уравнения системы (52), получаем
G = ?Rk (t3 )tk + Q(t3 ), (53)
где Q ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция. Подставляя (53) в третье уравнение
системы (52), получаем
?? ? ? ? ?? ?
1 + Rk Rk ? (tk Rk ? Rk tk + Q)2 = 1 + Rk Rk ? Q2 = 0. (54)
Следовательно, формула (53) при условии (54) задает общее решение системы
ДУЧП (52). Возвращаясь к исходным переменным za , p(z), имеем общее решение
системы (48), (50)
?? ?
p = Rk (t3 )zk + t3 z3 ? Q(t3 ), 1 + Rk Rk ? Q2 = 0, (55)
где t3 = t3 (z) — гладкая функция, определяемая из соотношения
? ?
Rk (t3 )zk + z3 ? Q(t3 ) = 0. (56)
Для того чтобы формулы (55), (56) приобрели явно O(3)-инвариантный вид,
?
переопределим параметрическую функцию следующим образом: t3 (z) = R3 (? (z))
и введем обозначения
? ? ? ?
Q(? ) = ?Q(R3 (? )).
Rk (? ) = Rk (R3 (? )), k = 1, 2,
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 371

С учетом этого формулы (55), (56) перепишутся в виде
?? ?
? ? ?? ?
Ra Ra ? Q2 = 0, (57)
p(z) = Ra (? )za + Q(? ),

где ? = ? (z) — гладкая функция, определяемая из соотношения
? ?
? ? (58)
Ra (? )za + Qa (? ) = 0.

Таким образом, общее решение системы ДУЧП (47) задается одной из фор-
мул (51) либо ((57), (58)). Совершая в этих формулах замену переменных (45),
получаем общие решения системы нелинейных ДУЧП (44)

B(y1 , y2 , y3 ) = Ca ya + C0 (1 + ya ya )1/2 , (59)

?? ?
? ? ?? ?
Ra Ra ? Q2 = 0,
B(y1 , y2 , y3 ) = Ra (? )ya + Q(? )(1 + ya ya )1/2 , (60)

где ? = ? (y) — гладкая функция, определяемая неявной формулой
? ?
? ?
Ra (? )ya + Q(? )(1 + ya ya )1/2 = 0. (61)

Очевидно, решение (59) содержится в классе (60), (61). Подставляя формулу (60)
в (26) при ? = 1, имеем
? ?
H(y) = ?(1 + ya ya )1/2 (y0 + Q(? )) ? ya Ra (? ),

где функция ? = ? (y1 , y2 , y3 ) определяется соотношением (61).
Наконец, переписывая полученное выражение в исходных переменных x, u(x)
(см. формулы (25)), приходим к следующему классу решений системы ДУЧП (12)
при c = 0:
? ?
u(x) = xa ya ? H = (xa + Ra (? ))ya + (1 + ya ya )1/2 (x0 + Q(? )), (62)

где ya = ya (x) определяется из равенств

xa = Hya = ?Ra (? ) ? ya (1 + yb yb )?1/2 (x0 + Q(? )),
? ? a = 1, 3,

откуда
1/2
? ? ? ?
ya = ?(xa + Ra ) (x0 + Q)2 ? (xb + Rb )(xb + Rb ) .

Подставляя полученные соотношения в формулу (62), получаем
1/2
? ? ?
u(x) = (x0 + Q(? ))2 ? (xa + Ra (? ))(xa + Ra (? )) ,

где ? = ? (x) функция, определяемая из уравнения
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
Ra (? )ya + Q(? )(1 + ya ya )1/2 ? (x0 + Q(? ))Q(? ) ? (xa + Ra (? ))Ra (? ) = 0,
? ??
?? ? ??
а Q, Ra — произвольные гладкие функции, связанные равенством Q2 ? Ra Ra = 0.
? ?
Вводя в полученных соотношениях обозначения A0 = Q, Aa = Ra , получаем
формулы (13)–(15) при Bµ ? Aµ , µ = 0, 3.
372 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

<< Предыдущая

стр. 88
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>