<< Предыдущая

стр. 89
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Случай 1.2; rank P = 2. В этом случае, не умаляя общности, можно полагать,
что
Pz1 z1 Pz1 z2
det = 0.
Pz2 z1 Pz2 z2

Следовательно, существует такая функция R ? C 3 (C2 , C1 ), для которой Pz3 =
R(pz1 , pz2 ). С учетом этого соотношения система ДУЧП (47) переписывается сле-
дующим образом:

pzk zk + (Rk ? (zk + z3 Rk ))(Rn ? (zn + z3 Rn ))pzk zn = 0,
(63)
(1 ? zk zk ? z3 )(1 + Rk Rk ) + (z3 ? zk Rk )2 = 0, pz3 = R(pz1 , pz2 ).
2


Здесь обозначено Rk = ?R/?pzk , k = 1, 2. Совершим в (63) следующее контактное
преобразование:

tk = pzk , t3 = z3 , G(t1 , t2 , t3 ) = zk pzk ? p, Gtk = zk , k = 1, 2,
Gt3 = ?pz3 , Gt1 t1 = ? ?1 pz2 z2 , Gt1 t2 = ?? ?1 pz1 z2 , Gt2 t2 = ? ?1 pz1 z1 ,
Gt3 t3 = ?? ?1 det pza zb 3 Gt1 t3 = ? ?1 (pz1 z2 pz2 z3 ? pz2 z2 pz1 z3 ),
a,b=1 ,
Gt2 t3 = ? ?1 (pz1 z3 pz2 z1 ? pz1 z1 pz2 z3 ),

где ? = pz1 z1 pz2 z3 ? p21 z2 = 0.
z
В новых переменных ta , G(t) система ДУЧП (63) принимает вид

1 + Rt2 ? (Gt2 + t3 Rt2 )2 Gt1 t1 ? 2[Rt1 t2 ? (Gt1 + t3 Rt1 ) ?
2
1)
? (Gt2 + t3 Rt2 )Gt1 t2 + 1 + Rt1 ? (Gt1 + t3 Rt1 )2 Gt2 t2 = 0;
2
(64)
(1 ? t2 ? Gtk Gtk )(1 + Rtk Rtk ) + (t3 ? Rtk Gtk )2 = 0;
2) 3
3) Gt3 = R(t1 , t2 ).

Интегрируя последнее уравнение из (64), получаем

G = ?t3 R(t1 , t2 ) + iQ(t1 , t2 ), (65)

где Q ? C 3 (C2 , C1 ) — произвольная функция.
Подставляя выражение (65) в первые два уравнения из (64) и расщепляя по-
лученные соотношения по переменной t3 , приходим к системе двумерных ДУЧП
для определения функции R(t1 , t2 ), Q(t1 , t2 ):

(1 + Qtk Qtk )(1 + Rtn Rtn ) ? (Rtk Qtk )2 = 0,
1)
(1 + Qtk Qtk + Rtk Rtk )?2 Q ? (Rtk Rtn + Qtk Qtn )Qtk tn = 0, (66)
2)
(1 + Qtk Qtk + Rtk Rtk )?2 R ? (Rtk Rtn + Qtk Qtn )Rtk tn = 0,
3)
2 2
где ?2 = ?t1 + ?t2 .
Подставляя общее решение системы (66) в формулы (65), (46), (26) (при ? = 1)
и переписывая полученный результат в явно P (1, 3)-инвариантном виде, приходим
к формулам (13)–(15) при C = 0 (опускаем соответствующие выкладки ввиду
ограниченности объема статьи).
Таким образом, произвольное решение системы ДУЧП (12) при условии rank
uxµ x? 3
µ,?=0 = 3 принадлежит классу функций (13)–(15). Как установлено в [6]
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 373

при исследовании совместности системы ДУЧП (1), (2), система (12) не имеет
решений в случае, когда rank uxµ x? 3 µ,?=0 < 3 Тем самым теорема 3 доказана.
Идея доказательства теорем 4–7 аналогична использованной выше. Именно:
вначале, используя контактное преобразование вида (23), линеаризуем и интегри-
руем уравнение эйконала (общее решение которого дается одной из формул (26),
(32), (37) при соответствующем выборе параметра ?), а затем, комбинируя локаль-
ные и нелокальные преобразования зависимых и независимых переменных, при-
водим системы ДУЧП для определения функций B(y1 , y2 , y3 ), ?(y1 , y2 ), B(y1 , y2 ),
?a (y0 ), B(y0 ), которые получаются в результате подстановки формул (26), (32),
(37) в соответствующие нелинейные волновые уравнения, к интегрируемым ДУ-
ЧП.
Далее мы ограничимся тем, что приведем схемы доказательств теорем 4–7.
Согласно [6] система нелинейных ДУЧП (16) совместна только в том случае,
когда rank uxµ x? = 2. Поэтому применяем к этой системе контактное преобразо-
вание (31), продолжая его до производных второго порядка

H11 = u22 ? ?1 , H12 = ?u12 ? ?1 , H22 = u11 ? ?1 ,
u01 u12 u11 u13
? ?1 , ? ?1 ,
H01 = ? H23 = ?
u02 u22 u12 u23
u13 u12 u11 u01
? ?1 , ? ?1 ,
H13 = ? H02 = ?
u23 u22 u12 u02
(67)
u00 u01 u02 u01 u02 u03
? ?1 , ? ?1 ,
= ? u01 = ? u11
u11 u12 u12 u13
H00 H03
u02 u12 u22 u12 u22 u23
u11 u12 u13
u11 u12
? ?1 ,
u12 u22 u23
H33 = ?= = 0.
u12 u22
u13 u23 u33

Здесь Hµ? ? ? 2 H/?yµ ?y? , uµ? ? ? 2 u/?xµ ?x? , µ, ? = 0, 3.
Общее решение уравнения эйконала, записанного в переменных y, H(y), имеет
вид (32) при ? = 1. Подставляя (32) в первое уравнение из (16) и расщепляя
его по переменным y0 , y3 , получаем систему нелинейных ДУЧП для определения
?(y1 , y2 ), B(y1 , y2 ):

(?2 ? + yk yn ?yk yn )(1 + ?yk ?yk + T 2 (?)) ? (T (?)yk + ?yk ) ?
? (T (?)yn + ?yn )?yk yn = ?2T (?)(1 + ?yk ?yk + T 2 (?)),
2 ?1
det ?yk yn 2 2 2
k,n=1 = T (?)(1 + ?yk ?yk + T (?))(1 + yk yk + ? ) ,
(68)
(?2 B + yk yn Byk yn )(1 + ?yk ?yk + T 2 (?)) ? (T (?)yk + ?yk ) ?
? (T (?)yn + ?yn )Byk yn = ?2T (B)(1 + ?yk ?yk + T 2 (?)),
2 ?1
det Byk yn 2 2 2
k,n=1 = T (B)(1 + ?yk ?yk + T (?))(1 + yk yk + ? ) ,

(?2 B)(?2 ?) ? Byk yn ?yk yn = 2T (?)T (B)(1 + ?yk ?yk + T 2 (?)) ?
? (1 + yk yk + ? 2 )?1 .

Здесь использованы обозначения T (f ) = yk fyk ? f , ?2 f = fy1 y1 + fy2 y2 .
374 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Интегрируя уравнения (68) и возвращаясь к исходным переменным согласно
формулам (31), приходим к выражениям (17), (18).
Далее, согласно [6] система нелинейных ДУЧП (5), (6) при F (u) = (u + C)?1
имеет решения, удовлетворяющие одному из двух условий:
a) rank uxµ x? = 2;
(69)
б) rank uxµ x? = 1.
В случае а) применяем к этой системе контактное преобразование (31), (67).
Общее решение уравнения эйконала, записанного в переменных y, H(y) имеет
вид (32) при ? = 1. Подставляя (32) в уравнение 2u = (u ? C)?1 , записанное в
переменных y, H(y), и расщепляя его по переменным y0 , y3 , получаем систему
нелинейных ДУЧП для функций ?(y1 , y2 ), B(y1 , y2 ):
1 + ?yk ?yk + T 2 (?) = 0, 2
det ?yk yn = 0,
k,n=1
(1 + yk yk + ? 2 ) det Byk yn 2
=
k,n=1
(70)
= T (B)[(T (?)yk + ?yk (T (?)yn + ?yn )Byk yn ],
(1 + yk yk + ? 2 )(?2 B?2 ? ? ?yk yn Byk yn ) =
= T (?)[(T (?)yk + ?yk )(T (?)yn + ?yn )Byk yn ].
Интегрируя эти уравнения и возвращаясь к исходным переменным согласно
формулам (31), получаем (19).
В случае б) к системе (5), (6) при F (u) = (u + C)?1 следует применить конта-
ктное преобразование (36), продолжив его до производных второго порядка
H00 = u?1 , H0a = ?u0a u?1 , Hab = (u0a u0b ? u00 uab )u?1 , (71)
00 00 00

где Hµ? ? ? 2 H/?yµ ?y? , uµ? ? ? 2 u/?xµ ?x? , a, b = 1, 3, µ, ? = 0, 3.
Общее решение уравнения эйконала, записанного в переменных y, H(y), задае-
тся формулой (38) при ? = 1. Из требования, чтобы (38) удовлетворяло и первому
уравнению исследуемой системы, вытекают такие уравнения для функций ?a (y0 ),
B(y0 ):
?a = (1 ? ?b ?b )(y0 ?a ? ?a ), a = 1, 3,
? ?? ?
? ?
B = (1 ? ?b ?b )(y0 B ? B), ?a ?a = y 2 ? 1.
?? 0

Интегрируя эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений и возвраща-
ясь к исходным переменным x, u(x), устанавливаем, что полученное выражение
является частным случаем формулы (19).
При F (u) = 0 система ДУЧП (5), (6) также имеет два непересекающихся
класса решений, удовлетворяющих одному из условий (69). В случае а) ее общее
решение задается формулой (32) при ? = 1, где ?(y1 , y2 ), B(y1 , y2 ) удовлетворяют
системе двумерных нелинейных ДУЧП
1 + ?yk ?yk + (yk ?yk ? ?)2 = 0,
[yk (yn ?yn ? ?) + ?yk ][yl (yn ?yn ? ?) + ?yl ]Byk yl = 0.
Интегрируя уравнения (71), подставляя полученный результат в (32) при ? = 1 и
возвращаясь к исходным переменным согласно формулам (31), получаем выраже-
ние (20).
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 375

В случае б) общее решение исследуемой системы ДУЧП задается формулой
(38) при ? = 1, где функции ?a (y0 ), B(y0 ) удовлетворяют соотношениям вида

?a ?a = y0 ? 1.
2
(72)
?a ?a = 1,
??

Переписав (38) при ? = 1 в исходных переменных по формулам (36), после
? ?
несложных преобразований получаем выражение (20) при Bµ ? Aµ , R2 = R1 .
Нам осталось рассмотреть систему ДУЧП (3). Общее решение этой системы в
зависимости от значения дискретного параметра r = rank uxµ x? задается:
а) формулой (26) при ? = 0, если r = 3 и функция B(y1 , y2 , y3 ), удовлетворяет
переопределенной системе нелинейных ДУЧП

Bya yb ya yb = 0, Bya yc Byb yc ya yb = 0, a, b = 1, 3;

б) формулой (32) при ? = 0, если r = 2 и функции B(y1 , y2 ), ?(y1 , y2 ) удовле-
творяют системе уравнений

?ya ya ? ? = 0,
?2 ?[? 2 + ?yk ?yk yn yn ? 2??yk yk ] + yk yn ?yk yn +
+ 2??yk ?yn ?yk yn ? ?yk yn ?yk ?yn (yl yl ) = 0,
?2 B[? 2 + ?yk ?yk yn yn ? 2??yk yk ] + Byk yn yk yn +
+ 2?Byk yn yk ?yn ? Byk yn ?yk ?yn (yl yl ) = 0, k, n, l = 1, 2.

в) формулой (37) при ? = 0, если r = 1 и функции B(y0 ), ?a (y0 ) удовлетворяют
системе уравнений

1 ? ?a ?a = 0, y0 ? ?a ?a = 0.
2
??

Интегрируя записанные уравнения, подставляя полученные результаты в фор-
мулы (26), (32), (38) при ? = 0 и возвращаясь к исходным переменным x, u(x)
согласно формулам (25), (31), (36), приходим к выражениям (21а), (21б).

4. Явные решения системы ДУЧП (1), (2). В случае, когда u = u(x) — это
действительная функция от четырех действительных переменных xµ , система (1),
(2) с помощью замены переменных (4) приводится к виду

2u = F (u), (73)
uxµ uxµ = ?,

где ? = ?1, 0, 1. При этом согласно [6] система (73) совместна, если и только если

F (u) = N ?(u + C)?1 , (74)

где N = 0, 1, 2, 3, C ? R1 .
Используя полученные выше результаты, построим многопараметрические
классы точных решений системы (73), (74) в классе действительно-значных фун-
376 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

кций u(x):
F (u) = 3(u + C)?1 , ? = 1,
1)
(u + C)2 = (xµ + Cµ )(xµ + Cµ );
F (u) = 2(u + C)?1 , ? = 1,
2)
(u + C)2 = (x0 + C0 )2 ? (x1 + C1 )2 ? (x2 + C2 )2 ;
F (u) = (u + C)?1 , ? = 1,
3)
(u + C)2 = (x0 + C0 )2 ? (x1 + C1 )2 ;
4) F (u) = 0, ? = 1,
u = x0 + C0 ,

где Cµ ? R1 , µ = 0, 3.
Перечисленные выше решения получаются из формул (12)–(20), если считать
в них функции Aµ (? ), Bµ (? ), Rµ (? ) постоянными. Все они могут быть получены
с помощью симметрийной редукции пуанкаре-инвариантной системы ДУЧП (73),
(74) к обыкновенным дифференциальным уравнениям [10]. Ниже мы приведем
решения системы (73), (74) при ? = ?1, которые в принципе не могут быть
получены в рамках классического подхода Ли.
Заметим, что уравнения (73) при ? = ?1 получаются из (5), (6) с помощью
замены u > iu. С учетом этого факта общее решение системы
2u = ?3u?1 , uxµ uxµ = ?1 (75)
в классе комплекснозначных функций принимает вид
u2 = ?(xµ + Aµ (? ))(xµ + Aµ (? )),
(76)
?
(xµ + Aµ (? ))Bµ (? ) = 0, Bµ Aµ = Bµ Bµ = 0.

Положим в (76) A0 = ? , A1 = C sin C , A2 = C cos C , A3 = 0, C ? R1 , Bµ = Aµ ,
? ?

<< Предыдущая

стр. 89
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>