<< Предыдущая

стр. 9
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

u
+ ln(x0 ? xn );
n
0 1 l
L3,3 : , ?=
x0 ? xn
(x0 ? xn )1/(1?k)
x2 + · · · + x2
u
?= 1 2 l
L4,1 : , ;
x0 ? xn 2
1(1?k)
(x2 + · · · + x2 )
1 l
x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
u n
, ?= 0 1 l
L5,1 : ;
2
2/(1?k) xl+1
xl+1
30 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

x21 +1 + · · · + x21 +l2
u
?= 2 l 2 l
L6,1 : , 2 ? x2 .
x0 ? x1 ? · · · ? xl1
1/(1?k)
x21 +1 + · · · + x21 +l2 n
l l


Применяя анзац ? = ?(?), редуцируем уравнение д’Аламбера к обыкновенно-
му дифференциальному уравнению с неизвестной функцией ?(?)

8 2(1 + k)
L2,1 : 4(? 2 ? ?)? + ? + 6? ? 4l ? + ? + ??k = 0;
? ?
1?k (1 ? k)2

4 + l(1 ? k) 1
L3,1 : ?? + ? + ??k = 0;
? ?
1?k ?
8? ? 4 4k 2(l + 2)
: 4?(? ? 1)? + ? + ??k = 0;
L3,2 ? + 2?l ? +
? +
1?k (1 ? k) 1?k
2

4 + 2l ? 2lk
? + ??k = 0;
L3,3 : 4? +
? ?
1?k
2l(1 ? k) + 4k
8
: 4? 2 (1 ? ?)? + ? + 4? 2 ? 2?l ? ? ? + ??k = 0;
L4,1 ? ?
1?k (1 ? k)2

8 2(1 + k)
L5,1 : 4(? ? ? 2 )? + + 2l + 4 ? 6? ? ? ? + ??k = 0;
? ?
1?k (1 ? k)2

8
L6,1 : 4(? ? ? 2 )? + + 2l1 + 4 ? 8? + 2?l2 ? ?
? ?
1?k
2l2 (1 ? k) + 4k
? ? + ??k = 0.
(1 ? k)2


Выпишем некоторые точные решения д’Аламбера
2
1/2
L3,1 : u?4/l = ?(l) x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 + c(x0 ? xn ) ,
0 1 l n
? 4+l
1 ? l ? n ? 1;
?(l) = , k= ,
l(l + 2) l
?(k,l)
?(1 ? k)2 x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 1 ? c(x0 ? xn ) 2
n
0 1 l
1?k
L3,2 (? = 0) : u = ,
?(k,l)
2c?(k, l) (x0 ? xn ) 2
?(k, l) = l + 2 ? kl, 1 ? l ? n ? 1;
L3,2 : u1?k = ?(k, l) x0 ? xn ? c x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ,
0 1 l n
?(1 ? k) 2
, 1 ? l ? n ? 1;
?(k, l) =
2c(l ? kl + 2)
L3,2 : u1?k = ?(k, l) x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ,
0 1 l n
?(1 ? k) 2
?(k, l) = ? , 1 ? l ? n ? 1;
2(l ? kl + 2)
2
(x0 ? xn )?2 (k,l) ? c x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2
n
0 1 l
1?k
L3,2 :u = ?1 (k, l) ,
(x0 ? xn )?2 (k,l)

?(1 ? k)2 4 + l ? kl
?1 (k, l) = , ?2 (k, l) = ;
4c(1 + k)(2 + l ? kl) 2
О точных решениях нелинейного уравнения д’Аламбера 31

x0 ? xn
L3,3 : u2/l = ?(k, l) 2,
[(x2 ? x2 ? · · · ? x2 ? x2 ) + (x0 ? xn ){ln(x0 ? xn ) + c}]
n
0 1 l
4l(l + 1 2+l
?(k, l) = ? , 1 ? l ? n ? 1;
, k=
? l
?(1 ? k)2
= ?(k, l) x1 + · · · + xl , ?(k, l) = , 1 ? l ? n.
1?k 2 2
L4,1 :u
2(l ? kl + 2k)

Запись L : u = u(x) означает, что решение u = u(x) уравнения (1) инвариантно
относительно подалгебры L.

1. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
2. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solution of the nonlinear multidimen-
sional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, Рhys. А: Маth. Gеn., 1983, 16, 3645–3656.
3. Фущич В.И., Симметрия в задачах математической физики, в сб. Теоретико-алгебраические
методы исследования в математической физике, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1981, 6–28.
4. Grundland А.М., Наrnad I., Winternitz Р., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Рhys., 1984, 26, № 4, 791–806.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 32–40.

Максимальные подалгебры ранга n ? 1
алгебры AP (1, n) и редукция нелинейных
волновых уравнений. I
В.И. ФУЩИЧ, А.Ф. БАРАННИК
Введено понятие канонического разложения произвольной подалгебры алгебры
AO(1, n). С помощью этого разложения описаны все максимальные подалгебры L
ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) удовлетворяющие условию L ? V = P1 , . . . , Pn , где
V = P0 , P1 , . . . , Pn — пространство трансляций.


1. Введение. Целью настоящей работы является применение групповых мето-
дов к нахождению точных решений нелинейного уравнения
2u + F (u) = 0 (1)
2
в пространстве Минковского R1,n , где 2u = u00 ? u11 ? · · · ? unn , uµ? = ?xµ ?x? , ?u

u ? u(x), x = (x0 , x1 , . . . , xn ) ? R1,n ; µ, ? = 0, 1, . . . , n, F (u) — гладкая функция.
Уравнение (1) инвариантно относительно группы Пуанкаре P (1, n). Ее алгебра Ли
AP (1, n) реализуется следующими операторами:
Jµ? = g µ? x? ?? ? g ?? x? ?µ . (2)
P µ = ?µ ,
Будем предполагать, что F (u) = ?uk или F (u) = ? exp u. Тогда максимальной
алгеброй инвариантности уравнения (1) является расширенная алгебра Пуанкаре
?
AP (1, n) = AP (1, n) + S , где S = ?xµ ?µ + k?1 ?u при F = ?uk и S = ?xµ ?µ +
? 2u

2?u при F = ? exp u [1]. Генераторы поворотов Jµ? порождают алгебру AO(1, n),
?
генераторы трансляций Pµ порождают коммутативный идеал V , причем AP (1, n) =
? ?
V + AO(1, n), где AO(1, n) = AO(1, n) ? S . В [2, 3] описаны максимальные
?
подалгебры ранга n подалгебры AP (1, n). В [4, 5] проведена редукция уравнения
? ?
(1) по некоторым подалгебрам алгебр AP (1, 2) и AP (1, 3) и получен ряд его точных
решений.
Данная работа состоит из двух частей. В первой части работы определяется
каноническое разложение произвольной подалгебры алгебры AO(1, n). В п. 6 ука-
занное разложение применяется к описанию максимальных подалгебр L ранга
n ? 1 алгебры AP (1, n), удовлетворяющих условию L ? V ? P1 , . . . , Pn . Во вто-
рой части работы решена задача описания максимальных подалгебр ранга n ра-
?
сширенной алгебры Пуанкаре AP (1, n). В пп. 8 и 9 построены инварианты этих
максимальных подалгебр, проведена редукция уравнения (1) по каждой из них и
найдены широкие классы точных решений.
2. Основные понятия. Пусть R — поле вещественных чисел, Rn — n-мерное
арифметическое векторное пространство над R, V — псевдоевклидово пространс-
тво типа (1; n), состоящее из (1 + n)-мерных столбцов, {P0 , P1 , . . . , Pn } — базис V ,
Укр. матем. журн., 1990, 42, № 11, C. 1552–1559.
Максимальные подалгебры ранга n ? 1 алгебры AP (1, n) 33

элементы которого являются единичными столбцами. Обозначим через O(1, n)
группу псевдоортогональных преобразований пространства V . Будем предпола-
гать, что O(1, n) реализована в виде вещественных матриц порядка n + 1. Тогда
ее алгебра Ли AO(1, n) состоит из всех вещественных матриц

0 X
,
XT A

где X ? Rn , A — кососимметрическая матрица порядка n, X T — матрица,
транспонированная к X. Полагая [?, Z] = ? · Z, [Z, Z ] = 0 для произвольных
? ? AO(1, n), Z, Z ? V , превратим векторное пространство V +AO(1, n) в ал-
?
гебру Ли, которая называется алгеброй Пуанкаре и обозначается AP (1, n). Оче-
видно, AP (1, n) = V ? AO(1, n). Алгебра AP (1, n) является алгеброй Ли группы
Пуанкаре P (1, n), которая состоит из всех вещественных матриц порядка n + 2
вида
B Y
,
0 1

где B ? O(1, n), Y ? V . Следовательно, алгебра AP (1, n) реализуется как алгебра
квадратных матриц порядка n + 2
?Z
,
00

где ? ? AO(1, n), Z ? V .
Пусть Eik — матрица порядкаn + 2, имеющая единицу на пересечении i-й
строки и k-го столбца и нули на всех остальных местах (i, k = 0, 1, . . . , n+1). Базис
алгебры AP (1, n) образуют матрицы J0a = ?E0a ? Ea0 , Jab = ?Eab + Eba , P0 =
E0,n+1 , Pa = Ea,n+1 (a < b; b = 1, 2, . . . , n). Алгебра AP (1, n) изоморфна алгебре
дифференциальных операторов (2), действующих в пространстве вещественных
функций от переменной x ? R1,n .
?
Расширенной группой Пуанкаре P (1, n) называется мультипликативная группа
матриц
?B Y
,
0 1
?
где B ? O(1, n), ? ? R, ? > 0, Y ? V . Ее алгебра Ли AP (1, n) является полупрямой
суммой AP (1, n) ? S , где S = E00 + E11 + · · · + Enn .
?
Пусть G — подгруппа Ли группы P (1, n), AG = X1 , . . . , Xs — алгебра Ли
группы G. Не постоянная функция f (x, u), x ? R1,n , называется инвариантом
группы G, если f (x, u) постоянна на G-орбите каждой точки (x, u). Функция
f (x, u) является инвариантом G тогда и только тогда, когда Xi f (x, u) = 0 для
всех i = 1, . . . , s. Если r — ранг алгебры AG и r < n + 1, то существует система
s1 = n + 1 ? r функционально независимых инвариантов f1 (x, u), . . . , fs1 (x, u),
обладающая тем свойством, что любой инвариант f группы G можно выразить
через инварианты f1 , . . . , fs1 , т.е. f (x, u) = ?(f1 (x, u), . . . , fs (x, u)). Эту систему
инвариантов будем называть полной системой инвариантов группы G или алгебры
AG.
34 В.И. Фущич, А.Ф. Баранник

?
Пусть L1 и L2 — подалгебры алгебры AP (1, n). Если для некоторого элемента
C ? P (1, n) подалгебры CL1 C ?1 и L2 обладают одними и теми же инвариантами,
?
то подалгебры L1 , L2 будем называть эквивалентными [3, 6]. В классе всех по-
?
далгебр алгебры AP (1, n), эквивалентных между собой, существует с точностью
?
до P (1, n)-сопряженности только одна максимальная подалгебра.
Подалгебра L ? AO(1, n) называется подалгеброй класса 0, если V не содер-
жит вполне изотропного подпространства, инвариантного относительно L. Будем
говорить, что подалгебра L ? AO(1, n) принадлежит классу 1 или имеет изотро-
пный ранг 1, если ранг максимального вполне изотропного подпространства, ин-
вариантного относительно L, равен 1. Для подалгебры класса 0 изотропный ранг

<< Предыдущая

стр. 9
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>