<< Предыдущая

стр. 90
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ = 0, 3. При этом формулы (76) принимают вид
? ?
x0 + ? ? x1 cos + x2 sin = 0,
C C
?2 ?2
+ x2 ? (x0 + ? )2 .
2
u = x1 + C sin + x2 + C cos 3
C C
После несложных алгебраических преобразований находим явный вид функции
1/2
1/2
? (x, u) = ± ±2C u2 ? x2 + xa xa ? u2 ? C 2 ,
3

откуда заключаем, что функция u(x) определяется формулой
? ?
? x2 sin = x0 + ?.
x1 cos
C C
Подобным же образом получается еще один класс точных решений системы (75)
? ?
? x1 ch = C ± u2 ? x2 ,
x0 sh 3
C C
1/2
2
? = ?x ± ? + C± ?
2
x2 x2 x2
u2 ;
0 1 3
Общие решения нелинейного волнового уравнения и уравнения эйконала 377

F (u) = ?2u?1 , ? = ?1,
5)
? ?
C ± u = x0 sh ? x1 ch ,
C C
? = ?x2 ± x2 ? x2 + (C ± u)2 ;
0 1
? ?
C ± u = x1 sin + x2 cos ,
C C
? = ?x0 ± x2 + x2 ? (?C ± u)2 ;
1 2

1
x0 sh ? ? x3 ch? = v ±u ± ?u2 ? xµ xµ ,
2
?u2 ? xµ xµ ? u x2
? = ± arcsin ? arcsin .
2(x2 + x2 ) x2 + x2
1 2 1 2

В приведенных формулах C ? R1 , C = 0.
5. Заключение. В случае, когда количество независимых переменных в системе
(1), (2) равно трем, ее общее решение построено Коллинзом [11]. Однако исполь-
зованный им геометрический метод, как отмечал сам автор, не обобщается на
случай четырех независимых переменных. Полученные им решения содержатся в
приведенных выше классах решений системы (1), (2) при A3 = B3 = R3 = 0.
В 1914 г. Гарри Бейтмен в [12] построил следующий класс точных решений
четырехмерной системы (3): u(x) = Cµ (? )xµ + C(? ), где ? = ? (x) — функция,
? ?
определяемая формулой Cµ (? )xµ + C(? ) = 0, а Cµ (? ), C(? ) — произвольные глад-
??
кие функции, связанные соотношениями Cµ Cµ = 0, Cµ Cµ = 0 Эти формулы,
очевидно, получаются из (21а), если положить ?Cµ /??2 = 0, µ = 0, 3.
Общее решение трехмерной системы (3) при u = u(x0 , x1 , x2 ) в 1932–1933 гг.
построили В.И. Смирнов и С.Л. Соболев [13–15]:
A0 (u)x0 ? A1 (u)x1 ? A2 (u)x2 + B(u) = 0,
где A0 , A1 , A2 , B — произвольные гладкие функции, связанные соотношением
A2 (u) ? A2 (u) ? A2 (u) = 0
0 1 2
Эти формулы, очевидно, получаются из (21 б) при Bµ = 0, µ = 0, 3, A3 = 0.
В 1944 г. Н. П. Еругин [16] обобщил формулу Смирнова–Соболева на четырехмер-
ный случай.
Из приведенных результатов вытекает такой общий качественный вывод. Все
решения линейных и нелинейных скалярных пуанкаре-инвариантных волновых
уравнений следует характеризовать рангом матрицы uxµ x? и значениями пара-
метра ?, входящего в уравнение эйконала (8). Параметр ? может принимать одно
из трех значений: ?1, 0, 1. Важно подчеркнуть, что эти числа дают пуанкаре-
инвариантную характеристику множества решений волновых уравнений.

1. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Lioville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A: Math. Gen., 1983, 16, № 9,
3645–3658.
2. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of nonlinear d’Alembert and Hamilton
equations, Preprint N 468, Minneapolis, Inst. for Mathematics and its Applications, 1988, 5 p.
3. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of the nonlinear d’Alembert–Hamilton
system, Phys. Lett. A, 1989, 141, № 3–4, 113–115.
378 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

4. Фущич В.И., Как расширить симметрию дифференциальных уравнений? Симметрия и решения
нелинейных уравнений математической физики, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1987, 4–16.
5. Cieciura G., Grundland A., A certain class of solutions of the nonlinear wave equation, J. Math.
Phys., 1984, 25, № 12, 3460–3469.
6. Фущич В.И., Жданов Р.3., Ревенко И.В., Совместность и решения нелинейных уравнений Да-
ламбера и Гамильтона, Препринт 90.39, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1990, 65 с.
7. Ames W.F., Nonlinear partial differential equations in engineering, New York, Acad. Press, V. 1,
1965, 511 p.; V. 2, 1972, 301 p.
8. Фущич В.И., Тычинин В.А., О линеаризации некоторых нелинейных уравнений с помощью
нелокальных преобразований, Препринт N 82.33, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1982, 53 с.
?
9. Lie S., Vorlesungen uber continuerliche Gruppen, Leipzig, Teubner, 1893, 805 p.
10. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И., Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики, Киев, Наук. думка, 1989, 336 с.
11. Collins С.В., Complex potential equations I. A technique for solution, Proc. Cambr. Phyl. Soc., 1976,
80, № 1, 165–171.
12. Bateman Н., The mathematical analysis of electrical and optical wave-motion of the basis of
Maxwell’s equations, Cambridge, Univ. Press, 1915, 180 p.
13. Смирнов В.И., Соболев С.Л., Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний, Тр.
Сейсмол. ин-та АН СССР, 1932, 20, 37 с.
14. Смирнов В.И., Соболев С.Л., О применении нового метода к изучению упругих колебаний в
пространстве при наличии осевой симметрии, Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР, 1933, 29, 43–51.
15. Соболев С.Л., Функционально-инвариантные решения волнового уравнения, Тр. физ.-мат. ин-
та им. В.А. Стеклова, 1934, 5, 259–264.
16. Еругин Н.П., О функционально-инвариантных решения, Доклады АН СССР, 1944, 20, № 9,
385–386.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 379–382.

Общие решения нелинейного волнового
уравнения и эйконала
В.И. ФУЩИЧ, Р.З. ЖДАНОВ, И.В. РЕВЕНКО
The necessary and sufficient compatibility conditions are established for the system of
differential equations consisting of the nonlinear wave and eikonal equations in the four-
dimensional pseudo-Euclidian space. A general solution of this system is constructed.

Проблема редукции (понижения размерности) нелинейного волнового уравне-
ния
2v = H(v), (1)
где 2 = ? 2 /?x2 ? ?3 , v = v(x0 , x1 , x2 , x3 ), H — произвольная гладкая функция от
0
v, с помощью анзаца [1]
(2)
v = ?(u)
сводится к системе двух дифференциальных уравнений в частных производных на
одну неизвестную функцию u = u(x0 , x1 , x2 , x3 )
?u ?u
2u = F1 (u), (3)
= F2 (u).
?xµ ?xµ
Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам предполагается суммирова-
ние в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве R(1, 3) с метрикой gµ? =
(1, ?1, ?1, ?1).
Ниже построены общие решения системы (3), (4). Вывод основных формул
весьма громоздкий, поэтому читателя, интересующегося деталями доказательств,
мы отсылаем к работе [2].
Поскольку система дифференциальных уравнений (3), (4) является переопреде-
ленной, нужно исследовать необходимые и достаточные условия се совместности
(отметим, что необходимые условия были установлены в [3, 4]).
Теорема 1. Пусть в (3), (4) u = u(x) ? C 3 (C4 , C1 ), F1 (u), F2 (u) ? C 1 (C1 , C1 ).
Тогда система дифференциальных уравнений в частных производных (3), (4)
совместна, если и только если
(4)
1) F1 (u) = F2 (u) = 0
или
2) F1 (u) = N (f?f )?1 ? f (f?)?3 , F2 (u) = (f?)?2 ,
? (5)
где f = f (u) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольная функция, удовлетворяющая условию
f?(u) ? 0; N — дискретный параметр, принимающий значения 0, 1, 2, 3; f? =
df /du.
Доклады АН УССР, 1991, № 10, 29–31.
380 В.И. Фущич, Р.З. Жданов, И.В. Ревенко

Следствие. Система уравнений

2u = 0, uxµ uxµ = F2 (u)

совместна, если и только если функция F2 (u) задается одним из выражений

a) F2 (u) = C1 exp(C2 u),
C1 , C2 ? C1 .
F2 (u) = (C1 u + C2 )2N/(1?N ) , N = 0, 2, 3;
б) где

Для доказательства этого утверждения следует проинтегрировать обыкновен-
ное дифференциальное уравнение F1 (u) = N (f?f )?1 ? f (f?)?3 = 0 и подставить
?
результат в соотношение F2 (u) = (f?)?2 .
Теорема 2. Общее решение системы дифференциальных уравнений (3), (4) при
F1 = F2 = 0 задается одной из формул

G(Aµ (u)xµ , Bµ (u)xµ , u) = 0,
1)
(6)
u(x) = Cµ (?1 ?2 )xµ + C(?1 , ?2 ).
2)

Здесь G ? C 1 (C3 , C1 ) — произвольная функция, Aµ (u), Bµ (u) — произвольные
комплекснозначные функции, удовлетворяющие соотношениям

Aµ Aµ = 0, Aµ B µ = 0, Bµ B µ = 0, (7)

?a = ?a (x) — комплекснозначные функции, определяемые неявными формулами
?Cµ µ ?C
??a x + ??a = 0, a = 1, 2; Cµ (?1 , ?2 ), C(?1 , ?2 ) — произвольные комплекснозна-
чные функции, удовлетворяющие соотношениям
?Cµ ?Cµ
Cµ C µ = 0, = 0, a, b = 1, 2.
??a ??b
Замечание 1. Общее решение системы (3), (4) при F1 = F2 = 0 в случае, когда
u = u(x0 , x1 , x2 ), дается формулой Смирнова–Соболева [5]

A0 (u)x0 ? A1 (u)x1 ? A2 (u)x2 + A(u) = 0, A2 ? A2 ? A2 = 0. (8)
0 1 3

Очевидно, что формулы (9) получаются из (7), (8) при Bµ = 0, A3 = 0.
Замечание 2. Бейтмен в работе [6] получил класс точных решений, уравнений
(3), (4) при F1 = F2 = 0 вида u(x) = Cµ (? )xµ + C(? ), где ? = ? (x) — фун-
? ?
кция, определяемая неявным соотношением Cµ (? )xµ + C(? ) = 0, а Cµ (? ), C(? ) —
??
произвольные функции, удовлетворяющие равенствам Cµ C µ = 0, Cµ C µ = 0.
Нетрудно показать, что эти решения также содержатся классе (7).
Теорема 3. Общее решение системы дифференциальных уравнений (3), (4) в
случае, когда F1 , F2 имеют вид (6), задается одной формул
1) N = 0

f (u(x)) = Aµ (? )xµ + R1 (? ),

где ? = ? (x) определяется неявным соотношением Bµ (? )xµ +R2 (? ) = 0, а Aµ (? ),
Bµ (? ), R1 (? ), R2 (? ) — произвольные комплекснозначные функции, удовлетво-
?
ряющие условиям: Aµ Aµ = 1, Aµ B µ = 0, Aµ B µ = 0, Bµ B µ = 0;
Общие решения нелинейного волнового уравнения и эйконала 381

2) N = 1

f 2 (u(x)) = (aµ xµ + R1 )2 ? (dµ xµ + R2 )2 ,

где Ra = Ra (bµ xµ + icµ xµ ) ? C 2 (C1 , C1 ) — произвольные функции, aµ , bµ , cµ ,
dµ — произвольные константы, удовлетворяющие соотношениям

?aµ aµ = bµ bµ = cµ cµ = dµ dµ = ?1,
aµ bµ = aµ cµ = aµ dµ = bµ cµ = bµ dµ = cµ dµ = 0;
3) N = 2

a) f 2 (u(x)) ? (xµ + Aµ (? ))(xµ + Aµ (? )) = [Bµ (? )(xµ + Aµ (? ))]2 ,
?
где ? = ? (x) определяется неявной формулой (xµ + Aµ (? ))B µ (? ) = 0; Aµ (? ),
Bµ (? ) — произвольные комплекснозначные функции, удовлетворяющие услови-
?? ? ?
ям Bµ B µ = ?1, Bµ B µ = 0, Aµ = R(? )Bµ при произвольной функции R(? ) ?
C (C , C );
1 1 1


б) f 2 (u(x)) ? (xµ + ?µ )(xµ + ?µ ) = [Bµ (? )(xµ + ?µ )]2 ,
?
где ? = ? (x) определяется неявной формулой (xµ + ?µ )B µ (? ) = 0; ?µ — прои-
звольные комплексные константы, Bµ (? ) — произвольные комплекснозначные
??
функции, удовлетворяющие Bµ B µ = ?1, Bµ B µ = 0;

с) f 2 (u(x)) ? (xµ + Aµ (? ))(xµ + Aµ (? )) = [dµ (xµ + Aµ (? ))]2 ,

где ? = ? (x) определяется неявной формулой
? ?
(xµ + Aµ (? ))Aµ (? ) + (xµ + Aµ (? ))dµ d? A? (? ) = 0;

Aµ (? ) — произвольные комплекснозначные функции, удовлетворяющие соотно-
?? ?
шению Aµ Aµ + (dµ Aµ )2 = 0;
4) N = 3
f 2 (u(x)) = (xµ + Aµ (? ))(xµ + Aµ (? )),

где ? = ? (x) определяется неявной формулой (xµ + Aµ (? ))B µ (? ) = 0; Aµ (? ),
Bµ (? ) — произвольные комплекснозначные функции, удовлетворяющие соотно-
?

<< Предыдущая

стр. 90
(из 135 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>