<< Предыдущая стр. 92(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
In conclusion we briefly consider the reduction of the arbitrary Poincar?-invariant
e
wave equation to ODE. As it was established in [18] every P (1, n)-invariant PDE for
the scalar function u = u(x) can be represented in the form where H(R1 , . . . , Rn ;
S1 , . . . , Sn , u) = 0
Rj = uµ1 uµ1 µ2 · · · uµj?1 µj uµj , Sj = uµ1 µ2 uµ2 µ3 · · · uµj µ1 ,
and H is some continuous function.
It turns out that ansatz (2), where ? = ?(x) satisfies system (5), reduces every
PDE of the form (19) to ODE.
Using Lemma 2 we obtain
(??)j?1 (j?1)
Sj (?(?)) = ?j ?j + ?j Sj (?) = ?j ?j + ?j
? ? ? ? F (?),
(j ? 1)!
Rj (?(?)) = ?2 ?j?1 ?j ,
?? j = 1, n.
Substituting these formulae to (19) we get
?
H(R1 , . . . , Rn , S1 , . . . , Sn u)|u=?(?) = H(?, ?, ?, ?).
??
Thus knowing the exact solutions of the d’Alembert–Hamilton system we can
construct using ansatz (2) the exact solutions of the arbitrary Poincar?-invariant
e
equation (19).
388 W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov, I.A. Yegorchenko

Appendix

Exact solutions of the d’AIembert–Hamilton system (5)
in 1 + 3-dimensional Minkowsky space
?
N F (?) ? = ?(x)
1 1 0 x0
1/2
? ?1 x2 ? x2
2 1 0 1
1/2
2? ?1 x2 ? x2 ? x2
3 1 0 1 2
1/2
3? ?1 x2 ? x2 ? x2 ? x2
4 1 0 1 2 3
?1
5 0 x1 cos(h1 ) + x2 sin(h2 ) + h2
?1 x0 ? x1 cos(g1 ) ? x2 sin(g1 ) ? g2 = 0
6 0
1/2
?? ?1 (x1 + h1 )2 + (x2 + h2 )2
?1
7
1/2
?2? ?1 x2 + x2 + x2
?1
8 1 2 3

9 0 0 h1

Note. Here h1 , h2 are arbitrary smooth functions on x0 + x3 and g1 , g2 are arbitrary smooth
functions on ? + x3 .

Acknowledgments. This work was started when one of the authors (W.I. Fu-
shchych) visited the University of Minnesota, Institute for Mathematics and its App-
lications. W. Fushchych acknowledges Peter Olver and Avner Friedman for the invita-
tion and the hospitality at the University of Minnesota.

1. Fushchych W.I., The symmetry of mathematical physics problems, in Algebraic-Theoretical Studies
in Mathematical Physics, Kiev, Institute of Mathematics, 1981, 6–28.
2. Fushchych W.I., On symmetry and some exact solutions of some many-dimensional equations of
mathematical physics, in Theoretical-Algebraic Methods in Mathematical Physics Problems, Kiev,
Institute of Mathematics, 1983, 4–23.
3. Fushchych W.I., Serov N.I., The symmetry and some exact solutions of the nonlinear many-
dimensional Liouville, d’Alembert and eikonal equations, J. Phys. A, 1983, 16, 3645–3654.
4. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I., The symmetry analysis and exact solutions of nonlinear
equations of mathematical physics, Kiev, Naukova Dumka, 1989.
5. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Symmetry reduction for nonlinear relativistically invari-
ant equations, J. Math. Phys., 1984, 25, 791–806.
6. Collins C.B., Complex potential equations I. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1976, 80, 165–187.
7. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of nonlinear d’Alembert and Hamilton
equations, Preprint N 468, Minneapolis, Institute for Mathematics and its Applications, 1988.
8. Fushchych W.I., Zhdanov R.Z., On some new exact solutions of the nonlinear d’Alembert–Hamilton
system, Phys. Lett. A, 1989, 141, 113–115.
9. Cieciura G., Grundland A., A certain class of solutions of the nonlinear wave equation, J. Math.
Phys., 1984, 25, 3460–3469.
10. Ibragimov N.Kh., Group properties of certain differential equations, Novosibirsk, Nauka, 1967 (in
Russian).
11. Fubini G., Nuovo Cimento A, 1976, 34, 521.
12. Fushchych W.I., On the symmetry and exact solutions of many-dimensional non-linear wave equati-
ons, Ukrain. Math. J., 1987, 39, 116–123.
On the reduction of the nonlinear multi-dimensional wave equations 389

13. Fushchych W.I., Tsifra I.M., On reduction and solutions of non-linear wave equations with broken
symmetry, J. Phys. A, 1987, 20, L45–L47.
14. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Symmetries of Maxwell’s equations, Dordrecht, Reidel, 1987.
15. Bluman G.W., Cole J., The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., 1969,
18, 1025–1042.
16. Olver P., Applications of Lie groups to differential equations, New York, Springer, 1986.
17. Grundland A.M., Harnad J., Winternitz P., Wave phenomena: modem theory and applications,
Amsterdam/New York, Elsevier, 1984.
18. Fushchych W.I., Yegorchenko I.A., Differential invariants of the Poincar? and conformal algebra,
e
Dokl. Acad. Nauk Ukrain. SSR, Ser. A, 1989, № 5, 21–22.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2002, Vol. 4, 390–399.

Нелиевские интегралы движения
для частиц произвольного спина
и для систем взаимодействующих частиц
А.Г. НИКИТИН, В.И. ФУЩИЧ
Найдены новые интегралы движения уравнений Кеммера–Дэффина–Петье, Штю-
кельберга, Рариты–Швингера, Дирака–Фирца–Паули, Боба, описывающих мини-
мальное и аномальное взаимодействие частиц спина s ? 2 с полем точечного за-
ряда, а также для ряда релятивистских и квазирелятивистских двух- и трехчасти-
чных уравнений. Эти интегралы принадлежат классу дифференциальных операторов
порядка 2s с матричными коэффициентами и имеют дискретный спектр.

New integrals of motion are found for the Kemmer–Duffin–Petiau equation, the
Stukelberg one, the Rarita–Schwinger equation, the Dirac–Fierz–Pauli one and the
Bhabna equation which describe minimal and anomal interaction of particles of spin
s ? 2 with the Coulomb field, and for a number of relativistic and quasirelativistiс
two- and three-particle equations. These motion integrals belong to a class of 2s-order
differential operators with matrix coefficients and have a discrete spectrum.

Хорошо известно, что для многих уравнений квантовой теории, описывающих
движение заряженной частицы в различных внешних полях, существуют интегра-
лы движения, которые не связаны непосредственно с геометрической симметрией
описываемой системы. В случае нерелятивистской бесспиновой частицы в поле Ку-
лона это вектор Рунге–Ленца, а для релятивистского электрона в поле Кулона —
интегралы Дирака [1] и Джонсона–Липпмана [2].
Упомянутые интегралы движения позволяют объяснить вырождение спектра
энергий соответствующих физических объектов, а интеграл Дирака существен-
но упрощает решение уравнения движения методом разделения переменных, обу-
словливая расцепление уравнений для радиальных функции на незацепляющиеся
подсистемы.
Целью настоящей работы является описание дополнительных интегралов дви-
жения для заряженной частицы со спином s ? 2 в поле Кулона, а также для систем
взаимодействующих частиц. Оказывается, такие интегралы движения существу-
ют для всех релятивистских волновых уравнений, инвариантных относительно
пространственной инверсии, и для широкого класса двухчастичных уравнений со
сферически-симметричным потенциалом.
Ниже получены новые интегралы движения для уравнений Кеммера–Дэффина,
Штюкельберга. Рариты–Швингера, Дирака–Фирца–Паули и Баба, описывающих
взаимодействие частиц спина s ? 2 с полем точечного заряда, и указан алгоритм
построения таких интегралов для частиц произвольного спина. Эти интегралы
являются дифференциальными операторами порядка 2s с матричными коэффи-
циентами и могут рассматриваться как обобщение интеграла Дирака на случай
произвольных s.
Теор. и матем. физика, 1991, 88, № 3, 406–415.
Нелиевские интегралы движения для частиц произвольного спина 391

В работе найдены новые интегралы движения для целого класса двухчасти-
чных уравнений — Брейта [3], Барута–Коми [4], Кроликовского [5], обобщенного
уравнения Брейта для связанных кварковых состояний [6, 7]и других. Дополни-
тельный интеграл движения получен также для трехчастичного уравнения Кроли-
ковского [8].
Следует подчеркнуть, что дополнительные интегралы движения в принципе не
могут быть найдены в рамках классического лцевского группового анализа диф-
ференциальных уравнений (современное изложение основных положений и при-
ложений такого анализа см. в [9–11]). Мы исходим из обобщенного нелиевского
подхода, предложенного и развитого в [12–14].
1. Интеграл Дирака для электрона
1
Как было впервые замечено Дираком [1], гамильтониан частицы со спином и
2
зарядом e в поле точечного заряда qe
?
pa = ?i (1.1)
H = ?0 ?a pa + ?0 m + V, , a = 1, 2, 3,
?xa
1/2
где ?0 , ?a — матрицы Дирака, V = qe2 /x, x = x2 + x2 + x2 , коммутирует с
1 2 3
оператором следующего вида:
1 1
Q = ?0 2Sa Ja ? ? ?0 2S · J ? (1.2)
,
2 2
где
(1.3)
Ja = ?abc xb pc + Sa ,
i
Sa = 4 ?abc ?b ?c — матрицы спина.
Иными словами, помимо трех очевидных интегралов движения — компонент
вектора углового момента Ja — для уравнения Дирака с кулоновским потенциа-
лом существует дополнительный интеграл движения (1.2), который представляет
собой дифференциальный оператор с матричными коэффициентами. Такие опера-
торы не являются генераторами группы Ли, поэтому интеграл Дирака в принципе
не мог быть найден в рамках классического группового анализа дифференциаль-
ных уравнений.
Используя тождество
2S · J = J 2 ? L2 + S 2 , L = x ? p, (1.4)
нетрудно показать, что в пространстве квадратично интегрируемых функций спектр
оператора (1.2) дискретен и задается формулой [1]
? = ±l, (1.5)
Q? = ?(j + 1/2)?, j = 1/2, 3/2, . . . .
Прямым вычислением проверяются следующие полезные соотношения:
[Q, S · p]+ ? QS · p + S · pQ = 0, [Q, S · x]+ = 0.
Q2 = J 2 + 1/4, (1.6)
Используя (1.6), нетрудно заметить, что оператор (1.2) является интегралом
движения не только для частицы, минимально взаимодействующей с полем Куло-
на, но и для более сложных взаимодействий. В частности, справедливо следующее
утверждение, которое мы приводим без доказательства.
392 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

Утверждение 1. Общий вид сферически-симметричного потенциала V = V (x),
при котором гамильтониан (1.1) коммутирует с оператором: (1.2), определяе-
тся соотношением

(1.7)
V = V1 + V2 ?0 + V3 ?a xa + V4 ?0 ?a xa ,

где V1 , . . . , V4 — произвольные функции от x.
В случае V1 = qe2 /x, V3 = kqe2 /x3 , V2 = V4 = 0 соотношение (1.7) задает
потенциал аномального взаимодействия Паули с полем точечного заряда, а при
V1 = V2 , V3 = V4 = 0 — общий вид потенциала взаимодействия, обеспечиваю-
щего конфайпмент в кварковых моделях, использующих одночастичное уравнение
Дирака [15] (мы не конкретизируем явный вид V3 и V4 , который для наших це-
лей несуществен). Можно показать, что условие симметрии гамильтониана (1.1)
с произвольным потенциалом V относительно группы трехмерных вращений O(3)
и относительно преобразования пространственной инверсии

?(x0 , x) > P ?(x0 , x) = r?(x0 , ?x), (1.8)

где r = ?0 , также сводится к требованию, чтобы V имел форму (1.7). Иными
словами, требование P -инвариантности гамильтониана (1.1) с произвольным O(3)-
инвариантным потенциалом V является необходимым и достаточным условием
существования интеграла Дирака для этого гамильтониана. Мы увидим ниже,
что симметрия относительно преобразования пространственной инверсии влечет
существование дополнительных интегралов движения и для других одно- и дву-
хчастичных уравнений движения.
Итак, интеграл Дирака является оператором симметрии (т.е. оператором, пере-
водящим решения в решения, более строгое определение см. в [16]) для целого
класса уравнений вида
?
? H, (1.9)
L? = 0, L=i
?x0
где H — гамильтониан, задаваемый формулами (1.1), (1.7). Действительно, в силу
изложенного выше выполняется соотношение коммутации [14, 16]

(1.10)
[Q, L]? = 0,

где ? — произвольное решение уравнения (1.9).
2. Интегралы движения для векторных частиц
Покажем, что для векторных частиц, взаимодействующих с полем точечного
заряда, также существуют дополнительные интегралы движения, и найдем их в
явном виде.
Рассмотрим уравнение Кеммера–Дэффина–Петье (КДП) с аномальным взаи-
модействием для частицы спина 1 в поле Кулона

[? µ ?µ ? m ? ekS µ? Fµ? ]? ? L? = 0. (2.1)

Здесь µ, ? = 0, 1, 2, 3.
? qe
? eAµ , S µ? = i[? µ , ? ? ], (2.2)
?µ = i A0 = , Aa = 0,
?xµ x
Нелиевские интегралы движения для частиц произвольного спина 393

Fµ? — тензор электромагнитного поля
qexa
(2.3)
Fµ? = i[?µ , ?? ], F0a = , Fab = 0, a, b = 0,
x3
? µ — десятирядные матрицы, удовлетворяющие алгебре КДП,

? µ ? ? ? ? + ? ? ? ? ? µ = g µ? ? ? + g ?? ? µ , (2.4)

k — константа аномального взаимодействия. Уравнение (2.1) может быть записано
в форме Шредингера (1.9), где
qe2 iqe2 ?a xa ikqe2 ?a xa
 << Предыдущая стр. 92(из 135 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>